ハミルトン光学

Formulation of geometrical optics

ハミルトン光学^[1]とラグランジュ光学^[2]は、ハミルトン力学やラグランジュ力学と多くの数学的形式を共有する幾何光学の2つの定式化です

ハミルトンの原理

物理学において、ハミルトンの原理とは、一般化座標で記述されるシステムの、2つの指定されたパラメータσ _Aとσ _Bにおける2つの指定された状態間の発展は、作用汎関数の停留点（変化がゼロとなる点）となることを述べています。ここで、およびはラグランジアンです。条件は、オイラー・ラグランジュ方程式が満たされる場合、すなわち、となる場合にのみ有効です。 ${\displaystyle \left(q_{1}{\left(\sigma \right)},\dots ,q_{N}{\left(\sigma \right)}\right)}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \delta S=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}L\left(q_{1},\cdots ,q_{N},{\dot {q}}_{1},\cdots ,{\dot {q}}_{N},\sigma \right)\,d\sigma =0}$$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{k}=dq_{k}/d\sigma }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \delta S=0}$ $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=0}$$ ${\displaystyle k=1,\dots ,N}$

運動量は と定義され、オイラー・ラグランジュ方程式は と書き直すことができます。ここでです。 $${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}}$$ $${\displaystyle {\dot {p}}_{k}={\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}}$$ ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma }$

この問題を解く別の方法は、（ラグランジアンのルジャンドル変換をとる）ハミルトニアンを として定義することです。このハミルトニアンに対して、ラグランジアンの全微分がパラメータσ、位置、およびσに対するそれらの導関数にどのように依存するかを見ることで、新しい微分方程式のセットを導くことができます。この導出はハミルトン力学の場合と同じですが、時間t が一般パラメータσに置き換えられる点が異なります。これらの微分方程式はを伴うハミルトン方程式です。ハミルトン方程式は1階微分方程式であり、オイラー・ラグランジュ方程式は2階微分方程式です。 $${\displaystyle H=\sum _{k}{{\dot {q}}_{k}}p_{k}-L}$$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {q}}_{k}\,,\quad {\frac {dH}{d\sigma }}=-{\partial L \over \partial \sigma }\,.}$$ ${\displaystyle k=1,\dots ,N}$

ラグランジュ光学

ハミルトンの原理について上記で示した一般的な結果は、光学にも適用できます。^{[3] [4]} 3次元 ユークリッド空間では、一般化座標はユークリッド空間の座標になります

フェルマーの原理

フェルマーの原理は、2 つの固定点AとBの間で光がたどる経路の光路長が静止点であると述べている。静止点は、最大値、最小値、定数、または変曲点となる。一般に、光は、空間、つまり3Dユークリッド空間における位置のスカラー場である可変屈折率の媒体中を移動する。ここで、光がx ₃軸に沿って移動すると仮定すると、光線の経路は、点 から始まり点 で終わるようにパラメータ化できる。この場合、上記のハミルトンの原理と比較すると、座標 とが一般化座標の役割を果たし、がパラメータ の役割を果たし、つまりパラメータσ  = x ₃およびN =2 となる。 ${\displaystyle n=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}$ ${\displaystyle s=\left(x_{1}\left(x_{3}\right),x_{2}\left(x_{3}\right),x_{3}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(x_{1}\left(x_{3A}\right),x_{2}\left(x_{3A}\right),x_{3A}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\left(x_{1}\left(x_{3B}\right),x_{2}\left(x_{3B}\right),x_{3B}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle \sigma }$

変分法の文脈では、これは^[2]と書くことができます。ここでdsは光線に沿った微小変位で、は光学ラグランジアンであり、です。 $${\displaystyle \delta S=\delta \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}n{\frac {ds}{dx_{3}}}\,dx_{3}=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}L\left(x_{1},x_{2},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},x_{3}\right)\,dx_{3}=0}$$ ${\textstyle ds={\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}$ $${\displaystyle L=n{\frac {ds}{dx_{3}}}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt {1+{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}}}}$$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}}$

光路長(OPL) は次のように定義されます。ここで、nは点Aと点Bの間の経路に沿った位置の関数としての局所屈折率です。 $${\displaystyle S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }L\,dx_{3}}$$

オイラー・ラグランジュ方程式

ハミルトン原理について上記で示した一般的な結果は、フェルマーの原理で定義されたラグランジアンを用いて光学に適用できます。パラメータσ  = x ₃、N =2のオイラー・ラグランジュ方程式をフェルマーの原理に適用すると、k = 1, 2、Lは光学ラグランジアン、となります $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}-{\frac {d}{dx_{3}}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}=0}$$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}}$

光運動量

光運動量は次のように定義され、光学ラグランジアンの定義からこの式は次のように書き直すことができます $${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}}$$ ${\textstyle L=n{\sqrt {1+{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}}}}$ $${\displaystyle p_{k}=n{\frac {{\dot {x}}_{k}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{ds}}}$$

光運動量

またはベクトル形式では、図「光運動量」に示すように、 は単位ベクトル、角度 α 1 、 α 2 、 α 3 はそれぞれ軸 x 1 、 x 2 、 x 3 に対する p の角度です。したがって、光運動量はノルムのベクトルであり、nはp_を計算する_屈折率です_。ベクトル_pは光_の伝播方向_を指します。光が勾配屈折率光学系を伝播する場合、光線の経路は曲線となり、ベクトルpは光線に接します。 $${\displaystyle \mathbf {p} =n{\frac {\mathbf {ds} }{ds}}=\left(p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(n\cos \alpha _{1},n\cos \alpha _{2},n\cos \alpha _{3}\right)=n\mathbf {\hat {e}} }$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} }$ $${\displaystyle \|\mathbf {p} \|={\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}}=n}$$

光路長の式は光運動量の関数として書くこともできる。光ラグランジアンの式は次のように書き直せる ことを考慮すると、光路長の式は次のようになる。 ${\displaystyle {\dot {x}}_{3}=dx_{3}/dx_{3}=1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L&=n{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}={\dot {x}}_{1}{\frac {n{\dot {x}}_{1}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{2}{\frac {n{\dot {x}}_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\frac {n{\dot {x}}_{3}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}\\[1ex]&={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+p_{3}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle S=\int L\,dx_{3}=\int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} }$$

ハミルトン方程式

ハミルトン力学と同様に、光学においてもハミルトニアンは上記の式で定義され、N = 2の関数に対応し、決定されます ${\displaystyle x_{1}{\left(x_{3}\right)}}$ ${\displaystyle x_{2}{\left(x_{3}\right)}}$ $${\displaystyle H={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}-L}$$

この式をラグランジアンと比較すると、次のようになる。 ${\displaystyle L={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+p_{3}}$ $${\displaystyle H=-p_{3}=-{\sqrt {n^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}}$$

そして、光学に適用されるパラメータσ  = x ₃およびk =1,2を持つ対応するハミルトン方程式は^{[5] [6]}であり、およびである。 $${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {x}}_{k}}$$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}}$ ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/dx_{3}}$

アプリケーション

光はx ₃軸に沿って進むと仮定し、上記のハミルトンの原理では、座標とが一般化座標の役割を果たし、がパラメータの役割を果たし、つまりパラメータσ  = x ₃およびN =2 となります ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle \sigma }$

屈折と反射

平面x ₁ x ₂が、屈折率が下側n _A 、上側n _Bの2つの媒質を隔てている場合、屈折率は階段関数で与えられ 、ハミルトンの方程式から、k = 1, 2に対してまたは となります $${\displaystyle n(x_{3})={\begin{cases}n_{A}&{\text{if }}x_{3}<0\\n_{B}&{\text{if }}x_{3}>0\\\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\sqrt {n(x_{3})^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}=0}$$ ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=0}$ ${\displaystyle p_{k}={\text{Constant}}}$

入射光線は、屈折前（平面x ₁ x ₂の下）に運動量p _Aを持ち、屈折後（平面x ₁ x _{2の上）に運動量}p _{B を}持ちます。光線は屈折前は軸x ₃（屈折面の法線）に対して角度θ _Aを、屈折後は軸x _{3に対して角度}θ _Bをなします。運動量のp ₁成分とp _{2成分は一定であるため、} p _{3成分のみが}p _{3 A}からp _{3 B}に変化します。

屈折

図「屈折」は、この屈折の幾何学を示しています。 と なので、この最後の式は と書くことができ、これはスネルの屈折の法則です ${\displaystyle d=\|\mathbf {p} _{A}\|\sin \theta _{A}=\|\mathbf {p} _{B}\|\sin \theta _{B}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {p} _{A}\|=n_{A}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {p} _{B}\|=n_{B}}$ $${\displaystyle n_{A}\sin \theta _{A}=n_{B}\sin \theta _{B}}$$

図「屈折」において、屈折面の法線は軸x ₃の方向とベクトル の方向を向いています。屈折面の単位法線は、入射光線と出射光線の運動量から次のように求めることができます。ここで、 iとrは入射光線と屈折光線の方向の単位ベクトルです。また、出射光線（ の方向）は、入射光線（ の方向）と面の法線によって定義される平面に含まれます。 ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {p} _{A}-\mathbf {p} _{B}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {v} /\|\mathbf {v} \|}$ $${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {p} _{A}-\mathbf {p} _{B}}{\|\mathbf {p} _{A}-\mathbf {p} _{B}\|}}={\frac {n_{A}\mathbf {i} -n_{B}\mathbf {r} }{\|n_{A}\mathbf {i} -n_{B}\mathbf {r} \|}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{B}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{A}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

反射についても同様の議論が鏡面反射の法則の導出に用いられますが、n _A = n _Bとなり、θ _A = θ _Bとなります。また、iとr がそれぞれ入射光線と屈折光線の方向の単位ベクトルである場合、対応する表面法線は屈折の場合と同じ式で与えられますが、n _A = n _{Bとなります。} $${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {i} -\mathbf {r} }{\|\mathbf {i} -\mathbf {r} \|}}}$$

ベクトル形式では、iが入射光線の方向を指す単位ベクトルであり、nが表面の単位法線である場合、屈折光線の方向rは 次 のように表される： ^[3] $${\displaystyle \mathbf {r} ={\frac {n_{A}}{n_{B}}}\mathbf {i} +\left(-\left(\mathbf {i} \cdot \mathbf {n} \right){\frac {n_{A}}{n_{B}}}+{\sqrt {\Delta }}\right)\mathbf {n} }$$ $${\displaystyle \Delta =1-\left({\frac {n_{A}}{n_{B}}}\right)^{2}\left(1-\left(\mathbf {i} \cdot \mathbf {n} \right)^{2}\right)}$$

i ⋅ n <0の場合、計算には− nを使用する必要があります。のとき、光は全反射を起こし、反射光線の式は反射の式と同じです。 ${\displaystyle \Delta <0}$ $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {i} -2\left(\mathbf {i} \cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {n} }$$

光線と波面

光路長の定義から ${\textstyle S=\int L\,dx_{3}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{k}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{k}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{k}}$$

光線と波面

k = 1,2の場合、 k = 1,2のオイラー・ラグランジュ方程式が使用されました。また、ハミルトンの最後の方程式と上記 の運動量成分pの方程式を組み合わせると、次のようになります ${\displaystyle \partial L/\partial x_{k}=dp_{k}/dx_{3}}$ ${\displaystyle dH/dx_{3}=-\partial L/\partial x_{3}}$ ${\displaystyle H=-p_{3}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{3}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{3}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{3}}$$ $${\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S}$$

pは光線に接するベクトルなので、面S =Constant は光線に垂直でなければなりません。これらの面は波面と呼ばれます。図「光線と波面」はこの関係を示しています。また、光線に接し、波面に垂直な 光運動量pも示されています。

ベクトル場は保存ベクトル場である。勾配定理は（上記のように）光路長に適用することができ、結果として 、点Aと点Bの間の曲線Cに沿って計算される 光路長Sは、その端点Aと点Bのみの関数であり、それらの間の曲線の形状には依存しない。特に、曲線が閉じている場合、始点と終点が同じ点、つまりA = Bとなるため、 ${\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S}$ $${\displaystyle S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\nabla S\cdot d\mathbf {s} =S(\mathbf {B} )-S(\mathbf {A} )}$$ $${\displaystyle S=\oint \nabla S\cdot d\mathbf {s} =0}$$

この結果は、図「光路長」のように 閉じた経路ABCDAに適用できる。 $${\displaystyle S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} +\int _{\mathbf {B} }^{\mathbf {C} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} +\int _{\mathbf {C} }^{\mathbf {D} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} +\int _{\mathbf {D} }^{\mathbf {A} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =0}$$

光路長

曲線セグメントABでは、光運動量pは曲線ABに沿った変位d sに垂直、つまりです。セグメントCDについても同様です。セグメントBCでは、光運動量pは変位d sおよびと同じ方向です。セグメントDAでは、光運動量pは変位d sおよび と反対方向です。ただし、積分をAからDに行うように積分の方向を反転すると、d sによって方向が反転し、 になります。これらの考察から、または となり、点Bと点Cを結ぶ光線に沿った 光路長S _{BC は}、点Aと点Dを結ぶ光線に沿った光路長S _ADと同じになります。光路長は波面間で一定です。 ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =nds}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =-n\,ds}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =n\,ds}$ $${\displaystyle \int _{\mathbf {B} }^{\mathbf {C} }n\,ds=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {D} }n\,ds}$$ $${\displaystyle S_{\mathbf {BC} }=S_{\mathbf {AD} }}$$

位相空間

図「2次元位相空間」の上部には、2次元空間におけるいくつかの光線が示されています。ここでx ₂ =0、p ₂ =0 であるため、光は平面x ₁ x _3上をx ₃の値が増加する方向に進みます。この場合、光線の方向はp ₂ =0であるため、運動量のp _{1成分によって完全に指定されます。p} 1_が与えられれば、p _{3は（屈折率}nの値が与えられれば）計算できるため、p ₁だけで光線の方向を決定できます。光線が伝わる媒質の屈折率は によって決定されます。 ${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{3})}$ ${\displaystyle \|\mathbf {p} \|=n}$

2次元位相空間

例えば、光線r _{C は}、光運動量p _Cを持ち、座標x _Bで軸x ₁と交差します。この光線の先端は、位置x _Bを中心とする半径nの円上に存在します。座標x _Bと運動量p _Cの水平座標p _{1 C}は、光線r _Cが軸x ₁と交差する様子を完全に定義します。この光線は、図の下部に示すように、空間x ₁ p ₁内の点r _C =( x _B , p _{1 C} )によって定義されます。空間x ₁ p _1は位相空間と呼ばれ、異なる光線はこの空間内の異なる点によって表されます。

そのため、上部に示されている光線r _{D は}、下部の位相空間では点r _Dで表されます。光線r _Cとr _Dの間に含まれる、座標x _Bで軸x _{1と交差するすべての光線は、位相空間で点}r _Cとr _Dを結ぶ垂直線で表されます。したがって、光線r _Aとr _Bの間に含まれる、座標x _Aで軸x _{1と交差するすべての光線は、位相空間で点}r _Aとr _Bを結ぶ垂直線で表されます。一般に、x _Lとx _Rの間で軸x ₁と交差するすべての光線は、位相空間の体積Rで表されます。体積Rの境界 ∂ Rにある光線はエッジ光線と呼ばれます。たとえば、軸x ₁の位置x _Aでは、光線r _Aとr _Bはエッジ光線です。他のすべての光線はこれら 2 つの光線の間に含まれているためです。(x1 に平行な光線は、2 つの光線の間にはありません。なぜなら、運動量は 2 つの光線の間にないからです)

3次元幾何学では、光運動量は で表されます。p 1 と p 2 が与えられれば、_（屈折_率nの値が与えられれば）p _{3を計算できるため、} p ₁とp _{2 が}あれば光線の方向を決定できます。軸x ₃に沿って進む光線は、平面x ₁ x ₂上の点 ( x ₁ , x ₂ )と方向 ( p ₁ , p ₂ ) によって定義されます。さらに、4次元位相空間x ₁ x ₂ p ₁ p ₂上の点によって定義されることもあります。 ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3})}$ ${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}}$

エタンデュの保全

図「体積変化」は、面積Aで囲まれた体積Vを示しています。時間の経過とともに境界Aが移動すると、体積Vも変化する可能性があります。特に、外向きの単位法線nを持つ微小面積dA は、速度vで移動します。

体積変化

これは体積変化につながります。ガウスの定理を用いると、空間を移動する体積 の総体積Vの時間変化は ${\displaystyle dV=dA(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )dt}$ $${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=\int _{A}\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \,dA=\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {v} \,dV}$$

右端の項は体積V上の体積積分であり、中央の項は体積Vの境界A上の面積分です。また、vはV内の点が移動する速度です。

光学では、座標が時間の役割を果たします。位相空間では、光線は「速度」で移動する点として識別されます。ここで、点は に対する微分を表します。座標、座標、座標、座標 に広がる光線の集合は、位相空間において体積を占めます。一般に、多数の光線は位相空間において大きな体積を占め、これにはガウスの定理が適用でき、ハミルトンの方程式またはを用いて、位相空間の体積は保存されることを意味します。 ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =({\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {p}}_{1},{\dot {p}}_{2})}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle dx_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle dx_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle dp_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle dp_{2}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle dV=dx_{1}dx_{2}dp_{1}dp_{2}}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\frac {dV}{dx_{3}}}=\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {v} \,dV}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial {\dot {x}}_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial {\dot {x}}_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{1}}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{2}}{\partial p_{2}}}={\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{2}}}-{\frac {\partial }{\partial p_{1}}}{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial }{\partial p_{2}}}{\frac {\partial H}{\partial x_{2}}}=0}$$ ${\displaystyle dV/dx_{3}=0}$ ${\displaystyle dV=dx_{1}dx_{2}dp_{1}dp_{2}={\text{Constant}}}$

位相空間において光線集合が占める体積はエタンデュと呼ばれ、光線が光学系内をx ₃方向に進むにつれてエタンデュは保存される。これはリウヴィルの定理に対応し、ハミルトン力学にも適用される。

しかし、力学におけるリウヴィルの定理の意味は、エタンデュ保存の定理とはかなり異なります。リウヴィルの定理は本質的に統計的な性質を持ち、同一の特性を持つものの異なる初期条件を持つ力学系の集合の時間発展を指します。各系は位相空間内の単一の点で表され、この定理は位相空間内の点の平均密度が時間的に一定であることを述べています。例として、容器内で平衡状態にある完全古典気体の分子が挙げられます。この例では位相空間の各点は2N次元（Nは分子の数）であり、同一の容器の集合の1つを表します。この集合は、代表点の密度の統計的平均をとるのに十分な大きさです。リウヴィルの定理は、すべての容器が平衡状態にある場合、点の平均密度は一定であることを述べています。^[3]

結像光学系と非結像光学系

図「エタンデュの保存」の左側には、x ₂ =0 かつp _{2 =0 であるため光が}x ₁ x ₃平面上をx ₃値が増加する方向に進む、図式的な 2 次元光学系が示されています。

エタンデュの保全

光学系の入力開口部を点x ₁ = x _Iで横切る光線は、入力開口部の位相空間（図の右下隅）における点r _Aとr _B間の垂直線で表されるエッジ光線r _Aとr _Bの間に含まれます。入力開口部を横切るすべての光線は、位相空間において領域R _{Iによって表されます}

また、光学系の出力開口部を点x ₁ = x _Oで横切る光線は、出力開口部の位相空間（図の右上隅）における点r _Aとr _Bを結ぶ垂直線で表されるエッジ光線r _Aとr _Bの間に含まれます。出力開口部を横切るすべての光線は、位相空間において領域R _Oで表されます。

光学系におけるエタンデュの保存とは、入力開口部におけるR _Iが占める位相空間の体積 (この 2 次元の場合は面積) が、出力開口部におけるR _Oが占める位相空間の体積と同じでなければならないことを意味します。

結像光学系において、入射開口部x ₁ = x _Iを通過するすべての光線は、入射開口部x ₁ = x _O（x _I = mx _{O ）}に向けて方向転換されます。これにより、入射光の像が倍率mで出力に結像されます。位相空間において、これは入射時の位相空間の垂直線が出力時の垂直線に変換されることを意味します。これは、 R _Iの垂直線r _A r _BがR _Oの垂直線r _A r _Bに変換される場合に当てはまります。

非結像光学系では、像を形成することではなく、入射開口部から出射開口部へすべての光を伝達することが目的です。これは、R _Iのエッジ光線 ∂ R _IをR _Oのエッジ光線 ∂ R _Oに変換することによって実現されます。これはエッジ光線原理として知られています。

一般化

上では光がx ₃軸に沿って進むと仮定しましたが、上記のハミルトンの原理では、座標とが一般化座標の役割を果たし、がパラメータの役割を果たし、つまりパラメータσ  = x ₃およびN =2となります。しかし、光線の異なるパラメータ化や、一般化座標の使用も可能です ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle \sigma }$

一般的な光線パラメータ化

より一般的な状況として、光線の経路がのようにパラメータ化され、 σが一般パラメータである状況が考えられます。この場合、上記のハミルトン原理と比較すると、座標、および が、 N =3の一般化座標の役割を果たします。この場合にハミルトン原理を光学に適用すると、次のようになります。ここで、 となり、となります。この形式のフェルマー原理にオイラー・ラグランジュ方程式を適用すると、 k =1,2,3 となり、Lは光学ラグランジアンとなります。また、この場合、光運動量は と定義され、ハミルトニアンP は、関数 、および に対応するN =3の上記の式によって定義され、とが決定されます。 ${\displaystyle s=\left(x_{1}{\left(\sigma \right)},x_{2}{\left(\sigma \right)},x_{3}{\left(\sigma \right)}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle q_{k}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S&=\delta \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}n{\frac {ds}{d\sigma }}\,d\sigma \\&=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}L\left(x_{1},x_{2},x_{3},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {x}}_{3},\sigma \right)\,d\sigma =0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L=nds/d\sigma }$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma }$ $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}-{\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}=0}$$ $${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}}$$ ${\displaystyle x_{1}{\left(\sigma \right)}}$ ${\displaystyle x_{2}{\left(\sigma \right)}}$ ${\displaystyle x_{3}{\left(\sigma \right)}}$ $${\displaystyle P={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}-L}$$

また、対応するハミルトン方程式（k =1,2,3 応用光学）は、およびとなります。 $${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {x}}_{k}}$$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma }$ ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma }$

光学ラグランジアンは σ によって与えられ 、パラメータσに明示的に依存しません。そのため、オイラー-ラグランジュ方程式の解のすべてが光線となるわけではありません。なぜなら、その導出ではLがσに明示的に依存することを前提としていますが、これは光学では起こりません。 $${\displaystyle L=n{\frac {ds}{d\sigma }}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}=L\left(x_{1},x_{2},x_{3},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {x}}_{3}\right)}$$

光運動量成分は から得られる。ラグランジアンの式は次のように書き直すことができる。 $${\displaystyle p_{k}=n{\frac {{\dot {x}}_{k}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{ds}}}$$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L&=n{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}={\dot {x}}_{1}{\frac {n{\dot {x}}_{1}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{2}{\frac {n{\dot {x}}_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{3}{\frac {n{\dot {x}}_{3}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}\\&={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}\end{aligned}}}$$

このLの式をハミルトニアンPの式と比較すると、次のようになる。 $${\displaystyle P=0}$$

光運動量の成分の式から、 ${\displaystyle p_{k}}$ $${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}-n^{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=0}$$

光学ハミルトニアンは次のように選択される。 $${\displaystyle P=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}-n^{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=0}$$

ただし、他の選択肢も考えられます。^{[3] [4]上記で定義した}k = 1, 2, 3のハミルトン方程式は、可能な光線を定義します。 ${\displaystyle P=0}$

一般化座標

ハミルトン力学と同様に、ハミルトン光学の方程式を一般化座標 、一般化運動量、ハミルトンPで次のように表すこともできます^{[3] [4]} ${\displaystyle \left(q_{1}\left(\sigma \right),q_{2}\left(\sigma \right),q_{3}\left(\sigma \right)\right)}$ ${\displaystyle \left(u_{1}\left(\sigma \right),u_{2}\left(\sigma \right),u_{3}\left(\sigma \right)\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dq_{1}}{d\sigma }}&={\frac {\partial P}{\partial u_{1}}}\quad \quad {\frac {du_{1}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{1}}}\\{\frac {dq_{2}}{d\sigma }}&={\frac {\partial P}{\partial u_{2}}}\quad \quad {\frac {du_{2}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{2}}}\\{\frac {dq_{3}}{d\sigma }}&={\frac {\partial P}{\partial u_{3}}}\quad \quad {\frac {du_{3}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{3}}}\\P&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} -n^{2}=0\end{aligned}}}$$ここで、光運動量は と で与えられ、とは単位ベクトルです。これらのベクトルが直交基底を形成する場合、つまり、これらがすべて互いに直交する場合、特別なケースが得られます。この場合、 は光運動量が単位ベクトル に対してなす角の余弦です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=u_{1}\nabla q_{1}+u_{2}\nabla q_{2}+u_{3}\nabla q_{3}\\&=u_{1}\|\nabla q_{1}\|{\frac {\nabla q_{1}}{\|\nabla q_{1}\|}}+u_{2}\|\nabla q_{2}\|{\frac {\nabla q_{2}}{\|\nabla q_{2}\|}}+u_{3}\|\nabla q_{3}\|{\frac {\nabla q_{3}}{\|\nabla q_{3}\|}}\\&=u_{1}a_{1}\mathbf {\hat {e}} _{1}+u_{2}a_{2}\mathbf {\hat {e}} _{2}+u_{3}a_{3}\mathbf {\hat {e}} _{3}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{3}}$ ${\displaystyle u_{k}a_{k}/n}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{k}}$

参照

• ウィキバーシティのハミルトン光学の単純な1次元導出に関する学習教材
• ハミルトン力学
• ハミルトンの光機械論的アナロジー
• 変分法

参考文献

1. ブッフダール, HA (1993).ハミルトン光学入門. ドーバー出版. ISBN 978-0486675978。
2. Lakshminarayanan, Vasudevan; et al. (2011).ラグランジュ光学. Springer Netherlands. ISBN 978-0792375821。
3. Chaves, Julio (2015). 非結像光学入門 第2版. CRC Press . ISBN 978-1482206739。
4. ウィンストン、ローランド他 (2004).非結像光学. アカデミックプレス. ISBN 978-0127597515。
5. マルクーゼ、ディートリッヒ（1972年）『光透過光学』ニューヨーク：ヴァン・ノストランド・ラインホールド社。ISBN 978-0894643057。
6. ルーネブルク、ルドルフ・カール (1964).光学の数学的理論. カリフォルニア州バークレー: カリフォルニア大学出版局. p. 90

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