ハミルトン系

ハミルトン系は、ハミルトン方程式に支配される力学系です。物理学において、この力学系は、惑星系や電磁場中の電子などの物理系の発展を記述します。これらの系は、ハミルトン力学と力学系理論の両方で研究することができます。

概要

非公式には、ハミルトン系はウィリアム・ローワン・ハミルトンによって物理系の発展方程式を記述するために開発された数学的形式です。この記述の利点は、初期値問題が解析的に解けない場合でも、ダイナミクスに関する重要な洞察が得られることです。一例として、三天体による惑星運動が挙げられます。この問題の一般化には閉形式の解は存在しませんが、アンリ・ポアンカレは初めて、これが決定論的カオスを示すことを示しました。

正式には、ハミルトニアン系は、スカラー関数（ハミルトニアンとも呼ばれる）によって特徴付けられる力学系である。^[1]系の状態は、一般化座標とによって記述され、それぞれ一般化運動量と位置に対応する。とはどちらも同じ次元 Nの実数値ベクトルである。したがって、状態は2 N次元ベクトルによって完全に記述される。 $H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)$ ${\boldsymbol {r}}$ ${\boldsymbol {p}}$ ${\boldsymbol {q}}$ ${\boldsymbol {p}}$ ${\boldsymbol {q}}$

{\boldsymbol {r}}=({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})

そして発展方程式はハミルトン方程式で与えられる：

{\begin{aligned}&{\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}},\\[5pt]&{\frac {d{\boldsymbol {q}}}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}.\end{aligned}}

軌道は、ハミルトン方程式と初期条件によって定義される初期値問題の解です。 ${\boldsymbol {r}}(t)$ ${\boldsymbol {r}}(t=0)={\boldsymbol {r}}_{0}\in \mathbb {R} ^{2N}$

時間独立ハミルトン系

ハミルトニアンが明示的に時間に依存しない場合、つまりの場合、ハミルトニアンは時間とともに全く変化しない：^[1] $H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)=H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})$

導出

{\frac {dH}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\frac {d{\boldsymbol {q}}}{dt}}+{\frac {\partial H}{\partial t}}

{\frac {dH}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot \left(-{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\right)+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}+0=0

したがってハミルトニアンは運動定数であり、その定数は系の全エネルギーに等しい：。このような系の例としては、減衰しない振り子、調和振動子、動的ビリヤードなどが挙げられる。 $H=E$

例

時間に依存しないハミルトニアン系の例としては調和振動子が挙げられる。座標とで定義される系を考える。ハミルトニアンは次のように与えられる。 ${\boldsymbol {p}}=m{\dot {x}}$ ${\boldsymbol {q}}=x$

H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {kq^{2}}{2}}.

このシステムのハミルトニアンは時間に依存せず、したがってシステムのエネルギーは保存されます。

シンプレクティック構造

ハミルトン力学系の重要な性質の一つは、シンプレクティック構造を持つことである。 [ 1 ^]

\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\\{\frac {\partial H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\\\end{bmatrix}}

力学系の発展方程式は次のように書ける。

{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}=M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})

どこ

M_{N}={\begin{bmatrix}0&I_{N}\\-I_{N}&0\\\end{bmatrix}}

I _NはN × N単位行列です。

この性質の重要な帰結の一つは、無限小の位相空間体積が保存されるということである。^[1]この定理の帰結として、ハミルトン系においては閉曲面の位相空間体積が時間発展の下で保存されることを述べたリウヴィルの定理がある。 ^[1]

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\oint _{\partial V}d{\boldsymbol {r}}&=\oint _{\partial V}{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\cdot d{\hat {\boldsymbol {n}}}_{\partial V}\\&=\oint _{\partial V}\left(M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})\right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {n}}}_{\partial V}\\&=\int _{V}\nabla _{\boldsymbol {r}}\cdot \left(M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})\right)\,dV\\&=\int _{V}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{j}}}\right)\,dV\\&=0\end{aligned}}

ここで、3 番目の等式は発散定理から来ています。

ハミルトンカオス

特定のハミルトン系はカオス的な挙動を示す。ハミルトン系の発展が初期条件に非常に敏感で、その運動がランダムかつ不規則に見える場合、その系はハミルトンカオスを示すと言われる。

起源

ハミルトン系におけるカオスの概念は、 19世紀後半に天体力学における三体問題の理解に先駆的な貢献をしたアンリ・ポアンカレの研究にその起源を持つ。ポアンカレは、三体からなる単純な重力系でさえ、長期的には予測できない複雑な挙動を示す可能性があることを示した。彼の研究は、物理系におけるカオス挙動の最も初期の研究の一つと考えられている。^[2]

特徴

ハミルトンカオスは以下の特徴を持つ：^[1]

初期条件への敏感さ：カオス系の特徴である初期条件のわずかな違いが、大きく異なる軌道を導く可能性がある。これはバタフライ効果として知られている。^[3]

混合：時間の経過とともに、システムの相は相空間で均一に分布するようになる。^[4]

再発: 予測不可能ではあるものの、システムは最終的に初期状態に任意に近い状態に戻ります。これはポアンカレ再発として知られています。

ハミルトンカオスは、リャプノフ指数やコルモゴロフ・シナイエントロピーなどのカオス不変量の存在とも関連しており、これらはそれぞれ近傍の軌道が発散する速度とシステムの複雑さを定量化します。^[1]

アプリケーション

ハミルトンカオスは物理学の多くの分野、特に古典力学と統計力学において広く用いられています。例えばプラズマ物理学では、磁場中の荷電粒子の挙動がハミルトンカオスを示すことがあり、これは核融合や天体プラズマに重要な意味を持ちます。さらに、量子力学では、ハミルトンカオスは量子カオスを通して研究され、古典カオス挙動の量子相似を理解しようとします。ハミルトンカオスは天体物理学でも重要な役割を果たしており、星団のダイナミクスや銀河構造の安定性を研究するために用いられています。^[5]

例

参照

参考文献

^ abcdefg オット、エドワード(1994).動的システムにおけるカオス. ケンブリッジ大学出版局.
^ ポアンカレ、アンリ. 「天体力学の新手法」(1892)
^ ロレンツ、エドワード・N. (1963-03-01). 「決定論的非周期流」.大気科学ジャーナル. 20 (2): 130– 141. doi : 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2 . ISSN 0022-4928.
^ コーンフェルド、アイザック P.;フォミン、セルゲイ V.シナージ、ヤコフ G. (1982)。エルゴード理論。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、数学の総合研究シリーズ。ニューヨーク州ハイデルベルク・ベルリン：シュプリンガー。ISBN 978-1-4615-6929-9。
^ Regev, Oded (2009), Meyers, Robert A. (ed.), "Astrophysics, Chaos and Complexity in" , Encyclopedia of Complexity and Systems Science , New York, NY: Springer, pp. 381– 399, doi :10.1007/978-0-387-30440-3_26, ISBN 978-0-387-30440-3、 2023年6月25日取得

さらに読む

アルメイダ, AM (1992).ハミルトン系：カオスと量子化. ケンブリッジ数理物理学モノグラフ. ケンブリッジ (ua:ケンブリッジ大学出版局)
Audin, M., (2008).ハミルトン系とその積分可能性. プロビデンス, RI:アメリカ数学会, ISBN 978-0-8218-4413-7
ディッキー、LA（2003）「ソリトン方程式とハミルトン系」数理物理学上級シリーズ第26巻、リバーエッジ、ニュージャージー州：ワールドサイエンティフィック。
Treschev, D., Zubelevich, O. (2010).ハミルトン系の摂動論入門. ハイデルベルク: Springer
ザスラフスキー、GM (2007).ハミルトン系におけるカオスの物理学. ロンドン:インペリアル・カレッジ・プレス.

外部リンク

ジェームズ・マイス（編）「ハミルトン系」Scholarpedia。

[ott-1] オット、エドワード(1994).動的システムにおけるカオス. ケンブリッジ大学出版局.

[Poincare2-2] ポアンカレ、アンリ. 「天体力学の新手法」(1892)

[3] ロレンツ、エドワード・N. (1963-03-01). 「決定論的非周期流」.大気科学ジャーナル. 20 (2): 130– 141. doi : 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2 . ISSN 0022-4928.

[4] コーンフェルド、アイザック P.;フォミン、セルゲイ V.シナージ、ヤコフ G. (1982)。エルゴード理論。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、数学の総合研究シリーズ。ニューヨーク州ハイデルベルク・ベルリン：シュプリンガー。ISBN 978-1-4615-6929-9。

[5] Regev, Oded (2009), Meyers, Robert A. (ed.), "Astrophysics, Chaos and Complexity in" , Encyclopedia of Complexity and Systems Science , New York, NY: Springer, pp. 381– 399, doi :10.1007/978-0-387-30440-3_26, ISBN 978-0-387-30440-3、 2023年6月25日取得