Mathematical operation
数学 において 、 ハンケル変換は 、任意の関数 f ( r ) を無限個の 第 1 種ベッセル関数 J ν ( kr ) の重み付き和として表現します。和に含まれるベッセル関数はすべて同じ次数 ν ですが、 r 軸に沿ったスケーリング係数 kが異なります。スケーリング係数 k の関数として、和に含まれる各ベッセル関数に 必要な係数 F ν が、 変換された関数を構成します。ハンケル変換は 積分変換 であり、数学者 ヘルマン ハンケル によって最初に開発されました。これは フーリエ・ベッセル変換 とも呼ばれます。無限区間の フーリエ変換が有限区間の フーリエ級数 に関連しているように 、無限区間のハンケル変換は 有限区間の フーリエ・ベッセル級数に関連します。
意味 関数 f ( r )の階数の ハンケル 変換は 次のように与えられる。 ν {\displaystyle \nu }
F ν ( k ) = ∫ 0 ∞ f ( r ) J ν ( k r ) r d r , {\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,\mathrm {d} r,} ここで はの位数 を持つ 第一種 ベッセル関数 である。F ν ( k ) の逆ハンケル変換は 次のように定義される 。 J ν {\displaystyle J_{\nu }} ν {\displaystyle \nu } ν ≥ − 1 / 2 {\displaystyle \nu \geq -1/2}
f ( r ) = ∫ 0 ∞ F ν ( k ) J ν ( k r ) k d k , {\displaystyle f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,k\,\mathrm {d} k,} これは、以下で説明する直交関係を使用して簡単に検証できます。
定義の領域 関数 f ( r )のハンケル変換の逆変換は 、関数が(0,∞)で定義され、(0,∞)のすべての有限区間で区分的に連続かつ有界な変化を持つ場合、f(r)が連続するすべての点 で 有効 で あり 、
∫ 0 ∞ | f ( r ) | r 1 2 d r < ∞ . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} r<\infty .} しかし、フーリエ変換と同様に、密度の議論によってドメインを拡張して、たとえば上記の積分が有限ではないいくつかの関数を含めることができます 。 f ( r ) = ( 1 + r ) − 3 / 2 {\displaystyle f(r)=(1+r)^{-3/2}}
代替定義 別の定義によれば、 g ( r ) のハンケル変換は [1]
h ν ( k ) = ∫ 0 ∞ g ( r ) J ν ( k r ) k r d r . {\displaystyle h_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }g(r)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} r.} 2 つの定義は関連しています。
もし 、 g ( r ) = f ( r ) r {\displaystyle g(r)=f(r){\sqrt {r}}} h ν ( k ) = F ν ( k ) k . {\displaystyle h_{\nu }(k)=F_{\nu }(k){\sqrt {k}}.} つまり、前の定義と同様に、このように定義されたハンケル変換はそれ自身の逆変換でもあります。
g ( r ) = ∫ 0 ∞ h ν ( k ) J ν ( k r ) k r d k . {\displaystyle g(r)=\int _{0}^{\infty }h_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} k.} 明白なドメインは今、条件を満たしている
∫ 0 ∞ | g ( r ) | d r < ∞ , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }|g(r)|\,\mathrm {d} r<\infty ,} しかし、これは拡張可能です。上記の参考文献によれば、上限が無限大に近づくにつれて積分を極限（ ルベーグ積分 ではなく 不定積分 ）としてとることができ、このようにしてハンケル変換とその逆変換は L 2 (0, ∞)内のすべての関数に対して適用できます。
ハンケル変換は、円筒座標系 で表された ラプラス方程式を 変換して解くために用いられる 。ハンケル変換の下では、ベッセル演算子は の乗算となる 。 [2] 軸対称の場合、 偏微分方程式は 次のように変換される
。 − k 2 {\displaystyle -k^{2}}
H 0 { ∂ 2 u ∂ r 2 + 1 r ∂ u ∂ r + ∂ 2 u ∂ z 2 } = − k 2 U + ∂ 2 ∂ z 2 U , {\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}\left\{{\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right\}=-k^{2}U+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}U,} ここで である 。したがって、円筒座標におけるラプラシアンは、 変換された関数における 常微分方程式 となる。 U = H 0 u {\displaystyle U={\mathcal {H}}_{0}u} U {\displaystyle U}
直交性 ベッセル関数は重み係数 r に関して 直交基底 を形成する： [3]
∫ 0 ∞ J ν ( k r ) J ν ( k ′ r ) r d r = δ ( k − k ′ ) k , k , k ′ > 0. {\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)\,r\,\mathrm {d} r={\frac {\delta (k-k')}{k}},\quad k,k'>0.}
プランシュレルの定理とパーセヴァルの定理 f ( r ) と g ( r ) のハンケル変換 F ν ( k ) と G ν ( k ) が適切に定義されている場合 、 プランシュレルの定理 は次のように述べている
。
∫ 0 ∞ f ( r ) g ( r ) r d r = ∫ 0 ∞ F ν ( k ) G ν ( k ) k d k . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(r)g(r)\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)\,k\,\mathrm {d} k.} パーセバルの定理 は、
∫ 0 ∞ | f ( r ) | 2 r d r = ∫ 0 ∞ | F ν ( k ) | 2 k d k , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}\,k\,\mathrm {d} k,} はプランシュレルの定理の特殊なケースです。これらの定理は直交性を用いて証明できます。
ハンケル変換は、多次元フーリエ変換を 超球面座標 で記述するときに現れます。これが、ハンケル変換が円筒対称性または球対称性の物理的問題で頻繁に現れる理由です。
次元ベクトル r の 関数を考えてみましょう 。その - 次元フーリエ変換は次のように定義されます。これを超球面座標で書き直すには、 平面波 を- 次元超球面調和関数 に 分解することができます 。 [4] ここで 、 およびは、 - 空間と- 空間 のすべての超球面角の集合です。これにより 、超球面座標での - 次元フーリエ変換 の次の式が得られます。 および を 超球面調和関数で 展開すると 、 超球面座標でのフーリエ変換は次のように簡略化されます。 これは、超球面調和関数の形で角度依存性を持つ関数は多次元フーリエ変換で角度依存性を保持する一方で、ラジアル部分はハンケル変換を受けることを意味します ( などの追加因子を除いて )。 f ( r ) {\displaystyle f(\mathbf {r} )} d {\textstyle d} d {\textstyle d} F ( k ) = ∫ R d f ( r ) e − i k ⋅ r d r . {\displaystyle F(\mathbf {k} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} \mathbf {r} .} d {\textstyle d} Y l , m {\displaystyle Y_{l,m}} e − i k ⋅ r = ( 2 π ) d / 2 ( k r ) 1 − d / 2 ∑ l = 0 + ∞ ( − i ) l J d / 2 − 1 + l ( k r ) ∑ m Y l , m ( Ω k ) Y l , m ∗ ( Ω r ) , {\displaystyle e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=(2\pi )^{d/2}(kr)^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}J_{d/2-1+l}(kr)\sum _{m}Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} })Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r} }),} Ω r {\textstyle \Omega _{\mathbf {r} }} Ω k {\textstyle \Omega _{\mathbf {k} }} r {\displaystyle \mathbf {r} } k {\displaystyle \mathbf {k} } d {\textstyle d} F ( k ) = ( 2 π ) d / 2 k 1 − d / 2 ∑ l = 0 + ∞ ( − i ) l ∑ m Y l , m ( Ω k ) ∫ 0 + ∞ J d / 2 − 1 + l ( k r ) r d / 2 d r ∫ f ( r ) Y l , m ∗ ( Ω r ) d Ω r . {\displaystyle F(\mathbf {k} )=(2\pi )^{d/2}k^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}\sum _{m}Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} })\int _{0}^{+\infty }J_{d/2-1+l}(kr)r^{d/2}\mathrm {d} r\int f(\mathbf {r} )Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r} })\mathrm {d} \Omega _{\mathbf {r} }.} f ( r ) {\displaystyle f(\mathbf {r} )} F ( k ) {\displaystyle F(\mathbf {k} )} f ( r ) = ∑ l = 0 + ∞ ∑ m f l , m ( r ) Y l , m ( Ω r ) , F ( k ) = ∑ l = 0 + ∞ ∑ m F l , m ( k ) Y l , m ( Ω k ) , {\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {r} }),\quad F(\mathbf {k} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}F_{l,m}(k)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} }),} k d / 2 − 1 F l , m ( k ) = ( 2 π ) d / 2 ( − i ) l ∫ 0 + ∞ r d / 2 − 1 f l , m ( r ) J d / 2 − 1 + l ( k r ) r d r . {\displaystyle k^{d/2-1}F_{l,m}(k)=(2\pi )^{d/2}(-i)^{l}\int _{0}^{+\infty }r^{d/2-1}f_{l,m}(r)J_{d/2-1+l}(kr)r\mathrm {d} r.} r d / 2 − 1 {\textstyle r^{d/2-1}}
特殊なケース
2次元関数 f ( r )を 多重極級数 展開すると 、
f ( r , θ ) = ∑ m = − ∞ ∞ f m ( r ) e i m θ r , {\displaystyle f(r,\theta )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f_{m}(r)e^{im\theta _{\mathbf {r} }},} 2次元フーリエ変換は次のように与えられます。 ここで 、 は の -次ハンケル変換です （この場合、は 角運動量 の役割を果たします。これは 前のセクション で で示されました）。 F ( k ) = 2 π ∑ m i − m e i m θ k F m ( k ) , {\displaystyle F(\mathbf {k} )=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{\mathbf {k} }}F_{m}(k),} F m ( k ) = ∫ 0 ∞ f m ( r ) J m ( k r ) r d r {\displaystyle F_{m}(k)=\int _{0}^{\infty }f_{m}(r)J_{m}(kr)\,r\,\mathrm {d} r} m {\textstyle m} f m ( r ) {\displaystyle f_{m}(r)} m {\textstyle m} l {\textstyle l}
3次元関数 f ( r )を 球面調和関数 上の 多重極級数 に展開すると 、
f ( r , θ r , φ r ) = ∑ l = 0 + ∞ ∑ m = − l + l f l , m ( r ) Y l , m ( θ r , φ r ) , {\displaystyle f(r,\theta _{\mathbf {r} },\varphi _{\mathbf {r} })=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m=-l}^{+l}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\theta _{\mathbf {r} },\varphi _{\mathbf {r} }),} 3次元フーリエ変換は で与えられ、 は 次数 の のハンケル変換です 。 F ( k , θ k , φ k ) = ( 2 π ) 3 / 2 ∑ l = 0 + ∞ ( − i ) l ∑ m = − l + l F l , m ( k ) Y l , m ( θ k , φ k ) , {\displaystyle F(k,\theta _{\mathbf {k} },\varphi _{\mathbf {k} })=(2\pi )^{3/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}\sum _{m=-l}^{+l}F_{l,m}(k)Y_{l,m}(\theta _{\mathbf {k} },\varphi _{\mathbf {k} }),} k F l , m ( k ) = ∫ 0 + ∞ r f l , m ( r ) J l + 1 / 2 ( k r ) r d r . {\displaystyle {\sqrt {k}}F_{l,m}(k)=\int _{0}^{+\infty }{\sqrt {r}}f_{l,m}(r)J_{l+1/2}(kr)r\mathrm {d} r.} r f l , m ( r ) {\displaystyle {\sqrt {r}}f_{l,m}(r)} ( l + 1 / 2 ) {\textstyle (l+1/2)}
この種の 半整数 次ハンケル変換は、球面ベッセル変換とも呼ばれます。
d 次元関数 f ( r )が 角座標に依存しない場合 、その d 次元フーリエ変換 F ( k ) も角座標に依存せず、 [5] で与えられ、これは の次数 から係数までのハンケル変換である 。 k d / 2 − 1 F ( k ) = ( 2 π ) d / 2 ∫ 0 + ∞ r d / 2 − 1 f ( r ) J d / 2 − 1 ( k r ) r d r . {\displaystyle k^{d/2-1}F(k)=(2\pi )^{d/2}\int _{0}^{+\infty }r^{d/2-1}f(r)J_{d/2-1}(kr)r\mathrm {d} r.} r d / 2 − 1 f ( r ) {\displaystyle r^{d/2-1}f(r)} ( d / 2 − 1 ) {\textstyle (d/2-1)} ( 2 π ) d / 2 {\displaystyle (2\pi )^{d/2}}
限られた半径内の2D関数 2次元関数 f ( r )が 多重極級数 展開され 、展開係数 f mが 原点付近で十分に滑らかで、半径 R の外側でゼロである場合、放射状部分 f ( r )/ r m は1 − ( r / R )^2 のべ き級数 に展開できる 。
f m ( r ) = r m ∑ t ≥ 0 f m , t ( 1 − ( r R ) 2 ) t , 0 ≤ r ≤ R , {\displaystyle f_{m}(r)=r^{m}\sum _{t\geq 0}f_{m,t}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t},\quad 0\leq r\leq R,} f ( r ) の2次元フーリエ変換 は
F ( k ) = 2 π ∑ m i − m e i m θ k ∑ t f m , t ∫ 0 R r m ( 1 − ( r R ) 2 ) t J m ( k r ) r d r = 2 π ∑ m i − m e i m θ k R m + 2 ∑ t f m , t ∫ 0 1 x m + 1 ( 1 − x 2 ) t J m ( k x R ) d x ( x = r R ) = 2 π ∑ m i − m e i m θ k R m + 2 ∑ t f m , t t ! 2 t ( k R ) 1 + t J m + t + 1 ( k R ) , {\displaystyle {\begin{aligned}F(\mathbf {k} )&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}\sum _{t}f_{m,t}\int _{0}^{R}r^{m}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t}J_{m}(kr)r\,\mathrm {d} r&&\\&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{m,t}\int _{0}^{1}x^{m+1}(1-x^{2})^{t}J_{m}(kxR)\,\mathrm {d} x&&(x={\tfrac {r}{R}})\\&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{m,t}{\frac {t!2^{t}}{(kR)^{1+t}}}J_{m+t+1}(kR),\end{aligned}}} ここで最後の等式は§6.567.1から導かれる。 [6] 展開係数 f m,t は離散フーリエ変換 技術で得られる 。 [7] 半径距離が
r / R ≡ sin θ , 1 − ( r / R ) 2 = cos 2 θ , {\displaystyle r/R\equiv \sin \theta ,\quad 1-(r/R)^{2}=\cos ^{2}\theta ,} フーリエ・チェビシェフ級数の係数 g は次のように現れる。
f ( r ) ≡ r m ∑ j g m , j cos ( j θ ) = r m ∑ j g m , j T j ( cos θ ) . {\displaystyle f(r)\equiv r^{m}\sum _{j}g_{m,j}\cos(j\theta )=r^{m}\sum _{j}g_{m,j}T_{j}(\cos \theta ).} 再拡張の使用
cos ( j θ ) = 2 j − 1 cos j θ − j 1 2 j − 3 cos j − 2 θ + j 2 ( j − 3 1 ) 2 j − 5 cos j − 4 θ − j 3 ( j − 4 2 ) 2 j − 7 cos j − 6 θ + ⋯ {\displaystyle \cos(j\theta )=2^{j-1}\cos ^{j}\theta -{\frac {j}{1}}2^{j-3}\cos ^{j-2}\theta +{\frac {j}{2}}{\binom {j-3}{1}}2^{j-5}\cos ^{j-4}\theta -{\frac {j}{3}}{\binom {j-4}{2}}2^{j-7}\cos ^{j-6}\theta +\cdots } g m,j の合計として表現される f m,t を生成します 。
これは高速ハンケル変換技術の一種です。
ハンケル変換は積分作用素の FHAサイクル の1つである。2次元において、 Aを アーベル変換 作用素、 F をフーリエ 変換 作用素、 H を0次ハンケル変換作用素 と定義すると、円対称関数に対する 射影スライス定理 の特殊ケースは次のように表される。
F A = H . {\displaystyle FA=H.} 言い換えれば、1次元関数にアーベル変換を適用し、その結果にフーリエ変換を適用することは、その関数にハンケル変換を適用することと同じです。この概念は高次元にも拡張できます。
数値評価 ハンケル変換の数値的評価に対する単純かつ効率的なアプローチは、変数の対数変化による 畳み込み の形にすることができるという観察に基づいている [8] これらの新しい変数において、ハンケル変換は 次のよう
に表される。 r = r 0 e − ρ , k = k 0 e κ . {\displaystyle r=r_{0}e^{-\rho },\quad k=k_{0}\,e^{\kappa }.} F ~ ν ( κ ) = ∫ − ∞ ∞ f ~ ( ρ ) J ~ ν ( κ − ρ ) d ρ , {\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu }(\kappa )=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}(\rho ){\tilde {J}}_{\nu }(\kappa -\rho )\,\mathrm {d} \rho ,} f ~ ( ρ ) = ( r 0 e − ρ ) 1 − n f ( r 0 e − ρ ) , {\displaystyle {\tilde {f}}(\rho )=\left(r_{0}\,e^{-\rho }\right)^{1-n}\,f(r_{0}e^{-\rho }),} F ~ ν ( κ ) = ( k 0 e κ ) 1 + n F ν ( k 0 e κ ) , {\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu }(\kappa )=\left(k_{0}\,e^{\kappa }\right)^{1+n}\,F_{\nu }(k_{0}e^{\kappa }),} J ~ ν ( κ − ρ ) = ( k 0 r 0 e κ − ρ ) 1 + n J ν ( k 0 r 0 e κ − ρ ) . {\displaystyle {\tilde {J}}_{\nu }(\kappa -\rho )=\left(k_{0}\,r_{0}\,e^{\kappa -\rho }\right)^{1+n}\,J_{\nu }(k_{0}r_{0}e^{\kappa -\rho }).}
積分は 高速フーリエ変換 を用いて 複雑性 を伴う数値計算で行うことができる。このアルゴリズムは、フーリエ変換の既知の解析的表現を用いることでさらに簡略化できる ： [9] パラメータの最適な選択は、 特に およびにおける漸近挙動 の特性に依存する。 O ( N log N ) {\textstyle O(N\log N)} J ~ ν {\displaystyle {\tilde {J}}_{\nu }} ∫ − ∞ + ∞ J ~ ν ( x ) e − i q x d x = Γ ( ν + 1 + n − i q 2 ) Γ ( ν + 1 − n + i q 2 ) 2 n − i q e i q ln ( k 0 r 0 ) . {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\tilde {J}}_{\nu }(x)e^{-iqx}\,\mathrm {d} x={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1+n-iq}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1-n+iq}{2}}\right)}}\,2^{n-iq}e^{iq\ln(k_{0}r_{0})}.} r 0 , k 0 , n {\displaystyle r_{0},k_{0},n} f ( r ) , {\displaystyle f(r),} r → 0 {\displaystyle r\to 0} r → ∞ . {\displaystyle r\to \infty .}
このアルゴリズムは、「準高速ハンケル変換」、または単に「高速ハンケル変換」として知られています。
これは対数変数の 高速フーリエ変換 に基づいているため、 対数グリッド上で定義する必要があります。一様グリッド上で定義された関数については、単純な 求積法 、 射影スライス定理 に基づく方法、ベッセル関数の 漸近展開 を用いる方法など、他のアルゴリズムもいくつか存在します。 [10] f ( r ) {\displaystyle f(r)}
[11]
f ( r ) {\displaystyle f(r)} F 0 ( k ) {\displaystyle F_{0}(k)} 1 {\displaystyle 1} δ ( k ) k {\displaystyle {\frac {\delta (k)}{k}}} 1 r {\displaystyle {\frac {1}{r}}} 1 k {\displaystyle {\frac {1}{k}}} r {\displaystyle r} − 1 k 3 {\displaystyle -{\frac {1}{k^{3}}}} r 3 {\displaystyle r^{3}} 9 k 5 {\displaystyle {\frac {9}{k^{5}}}} r m {\displaystyle r^{m}} 2 m + 1 Γ ( m 2 + 1 ) k m + 2 Γ ( − m 2 ) , − 2 < R e { m } < − 1 2 {\displaystyle {\frac {\,2^{m+1}\,\Gamma \left({\tfrac {m}{2}}+1\right)\,}{k^{m+2}\,\Gamma \left(-{\tfrac {m}{2}}\right)}},\quad -2<{\mathcal {R_{e}}}\{m\}<-{\tfrac {1}{2}}} 1 r 2 + z 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}\,}}}} e − k | z | k {\displaystyle {\frac {\,e^{-k|z|}\,}{k}}} 1 z 2 + r 2 {\displaystyle {\frac {1}{\,z^{2}+r^{2}\,}}} K 0 ( k z ) , z ∈ C {\displaystyle K_{0}(kz),\quad z\in \mathbb {C} } e i a r r {\displaystyle {\frac {e^{iar}}{r}}} i a 2 − k 2 , a > 0 , k < a {\displaystyle {\frac {i}{\,{\sqrt {a^{2}-k^{2}\,}}\,}},\quad a>0,\;k<a} 1 k 2 − a 2 , a > 0 , k > a {\displaystyle {\frac {1}{\,{\sqrt {k^{2}-a^{2}\,}}\,}},\quad a>0,\;k>a} e − 1 2 a 2 r 2 {\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}a^{2}r^{2}}} 1 a 2 e − k 2 2 a 2 {\displaystyle {\frac {1}{\,a^{2}\,}}\,e^{-{\tfrac {k^{2}}{2\,a^{2}}}}} 1 r J 0 ( l r ) e − s r {\displaystyle {\frac {1}{r}}J_{0}(lr)\,e^{-sr}} 2 π ( k + l ) 2 + s 2 K ( 4 k l ( k + l ) 2 + s 2 ) {\displaystyle {\frac {2}{\,\pi {\sqrt {(k+l)^{2}+s^{2}\,}}\,}}K\left({\sqrt {{\frac {4kl}{(k+l)^{2}+s^{2}}}\,}}\right)} − r 2 f ( r ) {\displaystyle -r^{2}f(r)} d 2 F 0 d k 2 + 1 k d F 0 d k {\displaystyle {\frac {\,\mathrm {d} ^{2}F_{0}\,}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d} F_{0}\,}{\mathrm {d} k}}}
f ( r ) {\displaystyle f(r)} F ν ( k ) {\displaystyle F_{\nu }(k)} r s {\displaystyle r^{s}} 2 s + 1 k s + 2 Γ ( 1 2 ( 2 + ν + s ) ) Γ ( 1 2 ( ν − s ) ) {\displaystyle {\frac {2^{s+1}}{\,k^{s+2}\,}}\,{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(\nu -s))}}} r ν − 2 s Γ ( s , r 2 h ) {\displaystyle r^{\nu -2s}\Gamma (s,r^{2}h)} 1 2 ( k 2 ) 2 s − ν − 2 γ ( 1 − s + ν , k 2 4 h ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4h}}\right)} e − r 2 r ν U ( a , b , r 2 ) {\displaystyle e^{-r^{2}}r^{\nu }\,U(a,b,r^{2})} Γ ( 2 + ν − b ) 2 Γ ( 2 + ν − b + a ) ( k 2 ) ν e − k 2 4 1 F 1 ( a , 2 + a − b + ν , k 2 4 ) {\displaystyle {\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{\,2\,\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{\nu }\,e^{-{\frac {k^{2}}{4}}\,}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4}}\right)} r n J μ ( l r ) e − s r {\displaystyle r^{n}J_{\mu }(lr)\,e^{-sr}} 楕円積分 で表現できる 。 [12] − r 2 f ( r ) {\displaystyle -r^{2}f(r)} d 2 F ν d k 2 + 1 k d F ν d k − ν 2 k 2 F ν {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{\nu }}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d} F_{\nu }\,}{\mathrm {d} k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}\,F_{\nu }}
K n ( z )は 第二種修正ベッセル関数 で ある 。K ( z )は 第一種完全楕円積分 である 。
表現
d 2 F 0 d k 2 + 1 k d F 0 d k {\displaystyle {\frac {\,\mathrm {d} ^{2}F_{0}\,}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d} F_{0}\,}{\mathrm {d} k}}} 球対称関数 F 0 ( k )に適用された極座標 ( k , θ ) の ラプラス演算子 の表現と一致します 。
ゼルニケ多項式 のハンケル変換は 本質的にベッセル関数である（Noll 1976）。
R n m ( r ) = ( − 1 ) n − m 2 ∫ 0 ∞ J n + 1 ( k ) J m ( k r ) d k {\displaystyle R_{n}^{m}(r)=(-1)^{\frac {n-m}{2}}\int _{0}^{\infty }J_{n+1}(k)J_{m}(kr)\,\mathrm {d} k} n − m ≥ 0 の場合でも同様です 。
参照
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