Mathematical function used in signal processing
ハン関数（左）とその周波数応答（右） ハン 関数は 、オーストリアの気象学者 ユリウス・フォン・ハン にちなんで名付けられました。これは、 ハンスムージング （または ハニング） を実行するために使用される 窓関数 です。 [1] [2] この関数は、長さ と振幅を持ち、 次のように表されます。 L {\displaystyle L} 1 / L , {\displaystyle 1/L,}
w 0 ( x ) ≜ { 1 L ( 1 2 + 1 2 cos ( 2 π x L ) ) = 1 L cos 2 ( π x L ) , | x | ≤ L / 2 0 , | x | > L / 2 } . {\displaystyle w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\cos \left({\frac {2\pi x}{L}}\right)\right)={\tfrac {1}{L}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi x}{L}}\right),\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}.} [あ] デジタル信号処理 では 、関数は対称的に（間隔 と振幅で ）サンプリングされます 。 L / N {\displaystyle L/N} 1 {\displaystyle 1}
w [ n ] = L ⋅ w 0 ( L N ( n − N / 2 ) ) = 1 2 [ 1 − cos ( 2 π n N ) ] = sin 2 ( π n N ) } , 0 ≤ n ≤ N , {\displaystyle \left.{\begin{aligned}w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(n-N/2)\right)&={\tfrac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right)\right]\\&=\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi n}{N}}\right)\end{aligned}}\right\},\quad 0\leq n\leq N,} これはサンプルの列であり 、偶数または奇数になることがあります。これは、 レイズドコサインウィンドウ 、 ハンフィルタ 、 フォンハンウィンドウ 、 ハニングウィンドウ など とも呼ばれます。 [2] [3] [4] N + 1 {\displaystyle N+1} N {\displaystyle N}
上：16サンプル DFT偶数 Hannウィンドウ。下：離散時間フーリエ変換（DTFT）と離散フーリエ変換（DFT）の3つの非ゼロ値。 の フーリエ 変換は 次のように表されます。 w 0 ( x ) {\displaystyle w_{0}(x)}
W 0 ( f ) = 1 2 sinc ( L f ) ( 1 − L 2 f 2 ) = sin ( π L f ) 2 π L f ( 1 − L 2 f 2 ) {\displaystyle W_{0}(f)={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi Lf(1-L^{2}f^{2})}}} [b] 導出 オイラーの公式 を使用して 余弦項を展開すると、 次のように書けます。 w 0 ( x ) , {\displaystyle w_{0}(x),}
w 0 ( x ) = 1 L ( 1 2 rect ( x / L ) + 1 4 e i 2 π x / L rect ( x / L ) + 1 4 e − i 2 π x / L rect ( x / L ) ) , {\displaystyle w_{0}(x)={\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}\operatorname {rect} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{i2\pi x/L}\operatorname {rect} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{-i2\pi x/L}\operatorname {rect} (x/L)\right),} これは変調された長方形ウィンドウ の線形結合です 。
1 L rect ( x / L ) ⟷ Fourier transform sinc ( L f ) ≜ sin ( π L f ) π L f . {\displaystyle {\tfrac {1}{L}}\operatorname {rect} (x/L)\quad {\stackrel {\text{Fourier transform}}{\longleftrightarrow }}\quad \operatorname {sinc} (Lf)\triangleq {\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi Lf}}.} 各項を変換します。
W 0 ( f ) = 1 2 sinc ( L f ) + 1 4 sinc ( L ( f − 1 / L ) ) + 1 4 sinc ( L ( f + 1 / L ) ) = 1 2 sin ( π L f ) π L f + 1 4 sin ( π ( L f − 1 ) ) π ( L f − 1 ) + 1 4 sin ( π ( L f + 1 ) ) π ( L f + 1 ) = 1 2 π ( sin ( π L f ) L f − 1 2 sin ( π L f ) L f − 1 − 1 2 sin ( π L f ) L f + 1 ) = sin ( π L f ) 2 π ( 1 L f + 1 2 1 1 − L f − 1 2 1 1 + L f ) = sin ( π L f ) 2 π ⋅ 1 L f ( 1 − L f ) ( 1 + L f ) = 1 2 sinc ( L f ) ( 1 − L 2 f 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(f)&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {sinc} (Lf)+{\tfrac {1}{4}}\operatorname {sinc} (L(f-1/L))+{\tfrac {1}{4}}\operatorname {sinc} (L(f+1/L))\\&={\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi Lf}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (Lf-1))}{\pi (Lf-1)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (Lf+1))}{\pi (Lf+1)}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf-1}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf+1}}\right)\\&={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi }}\left({\frac {1}{Lf}}+{\tfrac {1}{2}}{\frac {1}{1-Lf}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {1}{1+Lf}}\right)\\&={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi }}\cdot {\frac {1}{Lf(1-Lf)(1+Lf)}}={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}.\end{aligned}}}
長さ、時間シフトされたシーケンスの離散時間フーリエ変換 (DTFT) は、フーリエ級数によって定義されます 。 この 級数 も 、フーリエ変換の導出と同様に導出される 3 項の同等のものがあります。 N + 1 {\displaystyle N+1}
F { w [ n ] } ≜ ∑ n = 0 N w [ n ] ⋅ e − i 2 π f n = e − i π f N [ 1 2 sin ( π ( N + 1 ) f ) sin ( π f ) + 1 4 sin ( π ( N + 1 ) ( f − 1 N ) ) sin ( π ( f − 1 N ) ) + 1 4 sin ( π ( N + 1 ) ( f + 1 N ) ) sin ( π ( f + 1 N ) ) ] . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{w[n]\}&\triangleq \sum _{n=0}^{N}w[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\\&=e^{-i\pi fN}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi (N+1)f)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].\end{aligned}}} 切り捨てられたシーケンスは、 DFT偶数 （ 周期的 ）ハン窓です 。切り捨てられたサンプルの値はゼロなので、フーリエ級数の定義から、これらのDTFTは等価であることは明らかです。しかし、上記のアプローチに従うと、見た目は大きく異なりますが、等価な3項式が得られます。 { w [ n ] , 0 ≤ n ≤ N − 1 } {\displaystyle \{w[n],\ 0\leq n\leq N-1\}}
F { w [ n ] } = e − i π f ( N − 1 ) [ 1 2 sin ( π N f ) sin ( π f ) + 1 4 e − i π / N sin ( π N ( f − 1 N ) ) sin ( π ( f − 1 N ) ) + 1 4 e i π / N sin ( π N ( f + 1 N ) ) sin ( π ( f + 1 N ) ) ] . {\displaystyle {\mathcal {F}}\{w[n]\}=e^{-i\pi f(N-1)}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Nf)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}e^{i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].} 窓関数のN長DFTは、整数値の周波数でDTFTをサンプリングします。 上記 の 式 から 、 N個のDFT係数のうち3つだけが非ゼロであることが容易にわかります。また、もう1つの式から、すべてが実数値であることがわかります。これらの特性は、窓付き変換と窓なし（矩形窓付き）変換の両方を必要とするリアルタイムアプリケーションにとって魅力的です。なぜなら、窓付き変換は、窓なし変換から 畳み込み によって効率的に導出できるからです。 [5] [c] [d] f = k / N , {\displaystyle f=k/N,} k . {\displaystyle k.}
名前 この関数は、気象データに3項加重平均平滑化手法を用いたフォン・ハンにちなんで名付けられました。 [6] [2]しかし、 ハニング 関数という 用語 も慣例的に使用されています。 [7]これは、 信号をハニングする という用語が、 信号にハンウィンドウを適用するという意味で使用された論文に由来しています。 [4] [8]これは、 リチャード・ハミング にちなんで名付けられた、同様の名前の ハミング関数 とは異なります 。
参照
ページ引用 ^ ナットール 1981, p 84 (3) ^ ナットール 1981, p 86 (17) ^ ナットール 1981、p 85 ^ ハリス 1978、62ページ
参考文献 ^ エッセンワンガー, OM (オスカー・M.) (1986). 統計分析の要素 . エルゼビア. ISBN 0444424261 . OCLC 152410575。 ^ abc Kahlig, Peter (1993)、「ユリウス・フォン・ハンの現代気候学への貢献のいくつかの側面」、McBean, GA; Hantel, M. (編)、「 地球気候サブシステム間の相互作用：ハンの遺産」 、地球物理学モノグラフシリーズ、第75巻、アメリカ地球物理学連合、pp. 1-7 、 doi :10.1029/gm075p0001、 ISBN 9780875904665 、 2019-07-01 取得 、 ハン氏は、現在「ハニング」または「ハン スムージング」と呼ばれている特定のデータ スムージング手順を発明したようです。本質的には、不均等な重み (1/4、1/2、1/4) を持つ 3 項移動平均 (実行平均) です。 ^ Smith, Julius O. (Julius Orion) (2011). スペクトルオーディオ信号処理. スタンフォード大学. 音楽・音響コンピュータ研究センター. スタンフォード大学音楽学部. [カリフォルニア州スタンフォード?]: W3K. ISBN 9780974560731 . OCLC 776892709。 ^ ab Blackman, RB ; Tukey, JW (1958). 「通信工学の観点から見たパワースペクトルの測定 — パートI」. ベルシステム技術ジャーナル . 37 (1): 273. doi :10.1002/j.1538-7305.1958.tb03874.x. ISSN 0005-8580. ^ 米国特許6898235、Carlin, Joe、Collins, Terry、Hays, Peter他、「ハイパーチャネライゼーションを用いた広帯域通信傍受および方向探知装置」、公開日1999年12月10日、発行日2005年5月24日 、https://patentimages.storage.googleapis.com/4d/39/2a/cec2ae6f33c1e7/US6898235.pdf でも閲覧可能 ^ フォン・ハン、ジュリアス（1903年）。『気候学ハンドブック』マクミラン社、199ページ。b の 下の数値は 、両側に5°ずつ離れた緯線を考慮して算出されています。例えば、緯度60°の場合、½[60 + (65 + 55)÷2]となります。 ^ Harris, Fredric J. (1978年1月). 「離散フーリエ変換を用いた調和解析におけるウィンドウの使用について」 (PDF) . Proceedings of the IEEE . 66 (1): 51– 83. CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . doi :10.1109/PROC.1978.10837. このウィンドウの正しい名称は「Hann」です。本稿では、慣習的な用法を反映するために「Hanning」という用語を使用しています。派生語である「Hann'd」も広く使用されています。 ^ Blackman, RB (Ralph Beebe) ; Tukey, John W. (John Wilder) (1959). 通信工学の観点から見たパワースペクトルの測定. ニューヨーク: Dover Publications. pp. 98. LCCN 59-10185. {{cite book }}: CS1 maint: publisher location (link )ナットール、アルバート・H. (1981年2月). 「サイドローブ特性が非常に良好な窓」. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 29 (1): 84– 91. doi :10.1109/TASSP.1981.1163506.
外部リンク .svg/1280px-Window_function_and_its_Fourier_transform_%E2%80%93_Hann_(n_=_0...N).svg.png){kind=spacer}
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(nN/2)\right)&={\tfrac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right)\right]\\&=\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi n}{N}}\right)\end{aligned}}\right\},\quad 0\leq n\leq N,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b723018aa0923be6327c07fed4753f1ed7d033)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{w[n]\}&\triangleq \sum _{n=0}^{N}w[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\\&=e^{-i\pi fN}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi (N+1)f)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f+{\tfrac) {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac) {1}{N}}))}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/833f432fd5ae9ae88eb7ef4247952f92c7aef4ae)
![{\displaystyle \{w[n],\ 0\leq n\leq N-1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1c0e1f3c303a9cac460a10ca4b6e00339befb1)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{w[n]\}=e^{-i\pi f(N-1)}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Nf)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}e^{i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366f2cccda229534d868deeaa79031fef7368df7)
.svg){kind=link}
