娯楽数学において、ハーシャッド数（またはニーヴン数）とは、ある基数で表した際にその桁の和で割り切れる整数のことである。 ^[¹^] $n$ を基数とするハーシャッド数は、 $n-$ ハーシャッド数（または $n-$ ニーヴン数）とも呼ばれる。ハーシャッド数であるかどうかは、その数が表される基数に基づいて決定されるため、ある数は何度もハーシャッド数になり得る。^[²^]いわゆるトランスハーシャッド数は、あらゆる基数におけるハーシャッド数である。^[³^]

ハルシャド数は、インドの数学者D.R.カプレカーによって定義されました。^[⁴^]「ハルシャド」という言葉は、サンスクリット語の「harṣa（喜び）」+ 「da （与える）」に由来し、「喜びを与える人」を意味します。「ニーヴン数」という用語は、1977年にイヴァン・M・ニーヴンが数論に関する会議で発表した論文に由来しています。

意味

数学的に言えば、 $Xを$ $n$ 進数で $m$ 桁の正の整数とし、その桁数を( )とする。(従って、は0または⁠ ⁠までの正の整数でなければならない。) $Xは$ 次のように表される。 $a_{i}$ $i=0,1,\ldots ,m-1$ $a_{i}$ $n-1$

X=\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}n^{i}.

$次の場合、 Xは$ $n$ 進数のハーシャド数です:

X\equiv 0{\bmod {\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}}}.

あらゆる基数においてハーシャド数となる数は、全ハーシャド数、あるいは全ニーヴン数と呼ばれます。全ハーシャド数は1、2、4、6の4つだけです。12 は、八進数を除くすべての基数においてハーシャド数です。

例

18 という数字は、 10 進法ではハーシャド数です。1 と 8 の合計は 9 であり、18 は9 で割り切れるからです。
ハーディ・ラマヌジャン数 (1729)は、その桁の合計である 19 で割り切れるので、10 進数のハーシャド数です (1729 = 19 × 91)。
19 という数字は、10 進法ではハーシャド数ではありません。1 と 9 の数字の合計は 10 であり、19 は 10 で割り切れないからです。
10進法において、 9R _n a _{n の}形式で表現できるすべての自然数は、ハーシャド数である。ここで、数 R _nは1のn倍数であり、 n > 0、a _nは10ⁿ未満の正の整数でnの倍数である。(R. D'Amico, 2019)。数 9R ₃a ₃ = 521478 は、R ₃ = 111、n = 3、a ₃ = 3×174 = 522 であり、ハーシャド数である。実際、521478/(5+2+1+4+7+8) = 521478/27 = 19314 となる。^[⁵^]
10 進数のハーシャド数列は次のようになります。
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、18、20、21、24、27、30、36、40、42、45、48、50、54、60、63、70、72、80、81、84、90、100、102、108、110、111、112、114、117、120、126、132、133、135、140、144、 150、152、153、156、162、171、180、190、192、195、198、200 、 ... （OEISのシーケンス A005349 ）。
0から $n$ までのすべての整数は $n$ ハーシャッド数です。

プロパティ

9 の割り切れる数を考えると、9 で割り切れる数はすべてハーシャッド数であると一般化したくなるかもしれません。しかし、 $n$ のハーシャッド性を判定するためには、 $n$ の各桁の和は1 回しか取れず、その和で $n が$ 割り切れる必要があります。そうでなければ、ハーシャッド数ではありません。例えば、99 は9 + 9 = 18 であり、99 は 18 で割り切れないので、ハーシャッド数ではありません。

基数 (およびさらにその累乗) は、常にそれ自身の基数ではハーシャド数になります。これは、「10」と表され、1 + 0 = 1 となるためです。

bを底とする数字の桁の合計がb −1 で割り切れる数はすべて、 bを底とするハーシャド数です。

素数がハーシャド数でもあるためには、その数が基数以下である必要があります。そうでない場合、素数の桁の合計は1より大きいが素数より小さく、割り切れない数になります。例えば、10進法では11はハーシャド数ではありません。なぜなら、その桁の合計「11」は1 + 1 = 2であり、11は2で割り切れないからです。一方、12進法では11は「B」と表され、その桁の合計もBです。Bはそれ自身で割り切れるので、12進法ではハーシャド数です。

基数が1桁の数は、その基数ではハーシャッド数となります。これは、その数の桁の合計がその数そのものとなり、基数や桁数に関わらず、すべての数がその数自身で割り切れるからです。

階乗のシーケンスは10 進数のハーシャド数で始まりますが、すべての階乗がハーシャド数であるとは限りません。432! はハーシャド数ではない最初の数です。(432! の数字の合計は 10 進数では 3897 = 3 ² × 433 となり、432 を割り切れません。)

ハーシャド数となる最小の $kは$ $k\cdot n$

1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、10、1、9、3、2、3、6、1、6、1、1、5、9、1、2、6、1、3、9、1、12、6、4、3、2、1、3、3、3、1、10、1、12、3、1、5、9、1、8、1、2、3、18、1、2、2、2、9、9、1、12、6、1、3、3、2、3、3、3、1、18、1、7、3、2、2、4、2、 9、1、...（OEISの配列A144261）。

ハーシャド数ではない最小の $kは$ $k\cdot n$

11、7、5、4、3、11、2、2、11、13、1、8、1、1、1、1、1、1、161、1、8、5、1、1、4、1、1、7、1、1、13、1、1、1、1、1、1、83、1、1、1、4、1、4、1、1、11、1、1、2、1、5、1、1、1、537、1、1、1、1、1、1、83、1、1、3、1、1、1、1、1、1、1、5、1、68、1、1、1、1、 1、1、1、2、...（OEISの配列A144262）。

その他の基地

12 進数のハーシャド数は次のとおりです。

1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、10、1A、20、29、30、38、40、47、50、56、60、65、70、74、80、83、90、92、A0、A1、B0、100、10A、110、115、119、120、122、128、130、134、137、146、150、153、155、164、172、173、182、191、1A0、1B0、1BA、200、...

ここで、A は 10 を表し、B は 11 を表します。

12 進数のハーシャド数となる最小の $k$ は次のようになります (10 進数で表記)。 $k\cdot n$

1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、12、6、4、3、10、2、11、3、4、1、7、1、12、6、4、3、11、2、11、3、1、5、9、1、12、11、4、3、11、2、11、1、4、4、11、1、16、6、4、3、11、2、1、3、11、11、11、1、12、11、5、7、9、1、7、3、3、9、11、1、...

12 進数のハーシャド数ではない最小の $k$ は次のとおりです (10 進数で表記)。 $k\cdot n$

13、7、5、4、3、3、2、2、2、2、13、16、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、157、1、8、1、1、1、1、1、1、1、1、1、13、1、1、6、1、1、1、1、1、1、1、1、157、1、1、1、4、1、1、1、1、1、1、1、5、1、1、1、1、1、4、1、1、1、1、1、1、1、1885、1、1、1、1、1、3、...

10 進法と同様に、12 進法でもすべての階乗がハーシャッド数になるわけではありません。7! (12 進法では 5040 = 2B00、12 進法では桁の合計が 13 で、13 は 7 を割り切れません!) の次にハーシャッド数にならないのは 1276! です。(1276! の桁の合計は 12 進法では 14201 = 11 × 1291 なので、1276 を割り切れません!)

連続したハーシャッド番号

連続するハーシャド数の最大連続数

クーパーとケネディは1993年に、10を基数とする21個の連続する整数がすべてハーシャド数であることはないことを証明した。 ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}彼らはまた、すべて10ハーシャド数である連続する20個の整数の組を無限に構築し、その最小の数は10の^44363342786を超える。

HG Grundman ( 1994 )はCooperとKennedyの結果を拡張し、任意の基数bに対して連続するb-ハーシャッド数は2 b 個存在するが、2 b + 1 個は存在しないことを示した。^[⁷^]^[⁸^]この結果はさらに強化され、 T. Cai ( 1996 ) ^[⁷^]によってb = 2または3に対して連続する2 b 個のb-ハーシャッド数の連続は無限に存在することが示され、 Brad Wilsonによって1997年に任意のbに対しても連続する2 b 個のb-ハーシャッド数の連続は無限に存在することが示された。 ^[⁹^]

したがって、 2 進法では、連続する 4 つのハーシャド数の連続が無限に存在し、3 進法では、連続する6 つのハーシャド数が無限に存在します。

一般に、このような極大列はN · b ^k − bからN · b ^k + ( b − 1)までの範囲を取ります。ここで、 bは基数、kは比較的大きなべき乗、Nは定数です。このような適切に選択された列が与えられた場合、それを次のようにより大きな列に変換できます。

Nにゼロを挿入しても、デジタル合計の順序は変わりません (21、201、2001 がすべて 10 ハーシャッド数であるのと同じです)。
最初の数字α ( αb ⁱの値) の後にn個のゼロを挿入すると、 Nの値がだけ増加します。 $\alpha b^{i}\left(b^{n}-1\right)$
b ⁿ − 1 がシーケンス内のすべての桁の合計で割り切れることを保証できれば、それらの合計による割り切れる可能性は維持されます。
数字の合計がbと互いに素になるように初期シーケンスを選択した場合、すべての合計を法としてb ⁿ = 1を解くことができます。
そうでなくても、各桁の和がb と互いに素でない部分がαb ⁱを割り切れる場合は、割り切れることは依然として維持されます。
(証明されていない)初期シーケンスはそのように選択されます。

したがって、最初のシーケンスでは無限のソリューションセットが生成されます。

$ちょうどn個$ の連続する10ハーシャッド数の最初の連続

ちょうど $n$ 個の連続する 10 ハーシャド数から始まる最小の自然数（つまり、はハーシャド数であるが、とはそうではない最小の $x$ ）は次のとおりです（OEISのシーケンスA060159）。 $x,x+1,\cdots ,x+n-1$ $x-1$ $x+n$

$n$	1	2	3	4	5
$\times$	12	20	110	510	131 052
$n$	6	7	8	9	10
$\times$	12 751 220	10 000 095	2 162 049 150	124 324 220	1
$n$	11	12	13	14	15
$\times$	920 067 411 130 599	43 494 229 746 440 272 890	121 003 242 000 074 550 107 423 034 × 10 ²⁰ − 10	420 142 032 871 116 091 607 294 × 10 ⁴⁰ − 4	未知
$n$	16	17	18	19	20
$\times$	50 757 686 696 033 684 694 106 416 498 959 861 492 × 10 ²⁸⁰ − 9	14 107 593 985 876 801 556 467 795 907 102 490 773 681 × 10 ²⁸⁰ − 10	未知	未知	未知

前の節では、そのような $xは$ 存在しない。 $n>20.$

ハーシャド数の密度の推定

をハーシャド数の個数とすると、任意の $N(x)$ $\leq x$ $\varepsilon >0,$

x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}

ジャン＝マリー・ド・コニンクとニコラ・ドヨンによって示されたように^{[ 10 ]}、さらにド・コニンク、ドヨン、カタイ^{[ 11 ]}は、

N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}},

ここで、項はBig O 表記法を使用します。 $c=(14/27)\log 10\approx 1.1939$ $o(1)$

ハーシャド数の合計

10億を超えないすべての自然数は、ハーシャド数、または2つのハーシャド数の和のいずれかである。サンナは、特定のデデキントゼータ関数の零点に関する技術的な仮説を条件として、すべての自然数が最大でハーシャド数の和となるような正の整数が存在することを証明した。つまり、ハーシャド数の集合は加法基底である。^[¹²^] $k$ $k$

各自然数 1、2、3、... を 2 つのハーシャド数の和として表すことができる方法の数は次のとおりです。

0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、5、5、5、4、4、3、3、3、3、3、4、3、4、4、4、4、4、5、4、5、4、4、4、3、2、4、3、3、4、3、3、5、3、4、5、4、4、7、4、5、6、5、3、7、4、4、6、4、2、7、3、4、5、4、3、7、3、4、5、4、3、8、3、4、6、3、3、6、2、5、6、 5、3、8、4、4、6、...（OEISの配列A337853）。

2 つのハーシャド数の和として正確に 1、2、3、... の方法で表すことができる最小の数は次のとおりです。

2、4、6、8、10、51、48、72、108、126、90、138、144、120、198、162、210、216、315、240、234、306、252、372、270、546、360、342、444、414、468、420、642、450、522、540、924、612、600、666、630、888、930、756、840、882、936、972、1098、1215、 1026、1212、1080、...（OEISの配列A337854）。

ニヴンモルフィック数

与えられた基数に対するNivenmorphic 数またはharmashadmorphic数は、 tの位数の合計を持つharmashad 数 $N$ が存在し、その基数で書かれた t が同じ基数で書かれた N で終わる $よう$ $な$ 整数 $t$ $です。$

たとえば、18 は 10 を底とする Nivenmorphic 数です。

16218はハーシャッド番号です 16218の数字の合計は18です 18は16218を終了します

サンドロ・ボスカロは、基数 10 の場合、 11 を除くすべての正の整数はニヴンモルフィック数であると判定しました。^{[ 13 ]}実際、偶数 n > 1 の場合、n +1 を除くすべての正の整数は基数n のニヴンモルフィック数であり、奇数 n > 1 の場合、すべての正の整数は基数nのニヴンモルフィック数です。たとえば、基数 12のニヴンモルフィック数は ( OEISのシーケンスA011760 ) (13 を除くすべての正の整数) です。

10進数でn桁の合計を持ち、 nで終わる最小の数は、次のとおりです。（そのような数が存在しない場合は0）

1、2、3、4、5、6、7、8、9、910、0、912、11713、6314、915、3616、15317、918、17119、9920、18921、9922、82823、19824、9925、46826、18927、18928、78329、99930、585931、388832、1098933、198934、289835、99936、99937、478838、198939、1999840、 2988941、2979942、2979943、999944、999945、4698946、4779947、2998848、2998849、9999950、…（OEISの配列A187924）

複数のハーシャド番号

ブルーム（2005）は、多重ハーシャド数を、その桁の合計で割ったときに別のハーシャド数を生成するハーシャド数と定義している。 ^{[ 14 ]} 彼は、6804が「MHN-4」である理由として、

{\begin{aligned}6804/18&=378\\378/18&=21\\21/3&=7\\7/7&=1\end{aligned}}

（これはMHN-5ではありませんが、1は「別の」ハーシャッド数ではありません） $1/1=1$

^{そして、2016502858579884466176がMHN-12であることを示しました。10080000000000 = 1008 × 10 10}はより小さい数ですが、これもMHN-12です。一般に、1008 × 10 ⁿはMHN-( n +2)です。

参考文献

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外部リンク

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v t e 割り切れるかどうかに基づく整数の集合
概要	整数因数分解除数ユニタリ除数除数関数素因数算術の基本定理
因数分解形式	プライム複合セミプライムプロニックスフェニックスクエアフリー強力完璧なパワーアキレススムーズ通常粗い普通でない
制約付き除数和	完璧ほぼ完璧準完全完璧な掛け算半完全体超完璧超完璧ユニタリパーフェクト半完璧実用的デカルトエルデシュ・ニコラウス
多くの約数を持つ	豊富な原始的な豊かさ非常に豊富過剰莫大な量高度に複合された優れた高複合材奇妙な
アリコートシーケンス関連	アンタッチャブル友好的な（トリプル）社交的婚約
塩基依存	等デジタル贅沢な倹約家ハルシャド多重分割可能スミス
その他のセット	算術欠陥のあるフレンドリー孤独な崇高な調和除数リファクタリング可能超完璧

意味

例