Indicator function of positive numbers
ヘビサイドステップ ヘヴィサイドのステップ関数（半最大値法を使用）
一般的な定義 H ( x ) := { 1 , x ≥ 0 0 , x < 0 {\displaystyle H(x):={\begin{cases}1,&x\geq 0\\0,&x<0\end{cases}}} [ 疑わしい – 議論する ] 応用分野 演算計算
ヘヴィ サイドステップ関数 、あるいは 単位ステップ関数 は 、通常 H または θ （ただし u 、 1 、 𝟙 の場合もある）で表記され、 オリバー・ヘヴィサイド にちなんで名付けられた ステップ関数 である。その値は、 負の引数に対しては 0 、正の引数に対しては 1である。H ( 0) の 値については、様々な表記法が用いられている。これはステップ関数の一般クラスの一例であり、それらはすべて 、この関数の並進変換の 線型結合 として表すことができる。
この関数はもともと、 微分方程式 を解くための 演算学 において開発されたもので、指定された時刻にオンになり、無期限にオンのままになる信号を表します。ヘヴィサイドは演算学を電信通信の解析ツールとして開発し、この関数を 1 と表しました。
H (0) = 1 という規則を採用すると 、ヘヴィサイド関数は次のように定義されます。
区分 関数 : H ( x ) := { 1 , x ≥ 0 0 , x < 0 {\displaystyle H(x):={\begin{cases}1,&x\geq 0\\0,&x<0\end{cases}}} アイバーソン括弧 表記法を使用すると、次のよう になります。 H ( x ) := [ x ≥ 0 ] {\displaystyle H(x):=[x\geq 0]} 指標 関数 : H ( x ) := 1 x ≥ 0 = 1 R + ( x ) {\displaystyle H(x):=\mathbf {1} _{x\geq 0}=\mathbf {1} _{\mathbb {R} _{+}}(x)} 代替の規則として、 H (0) = 1 / 2 、次のように表現されることもあります。
区分 関数 : H ( x ) := { 1 , x > 0 1 2 , x = 0 0 , x < 0 {\displaystyle H(x):={\begin{cases}1,&x>0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\0,&x<0\end{cases}}} 符号関数 の 線形 変換 ： H ( x ) := 1 2 ( sgn x + 1 ) {\displaystyle H(x):={\frac {1}{2}}\left({\mbox{sgn}}\,x+1\right)} 2つのアイバーソン括弧 の 算術 平均 : H ( x ) := [ x ≥ 0 ] + [ x > 0 ] 2 {\displaystyle H(x):={\frac {[x\geq 0]+[x>0]}{2}}} 2つの引数を持つ逆正接 の 片側 極限 ： H ( x ) =: lim ϵ → 0 + atan2 ( ϵ , − x ) π {\displaystyle H(x)=:\lim _{\epsilon \to 0^{+}}{\frac {{\mbox{atan2}}(\epsilon ,-x)}{\pi }}} 超 関数 : または同等: ここで、 log z はz の 複素対数の主値 です 。 H ( x ) =: ( 1 − 1 2 π i log z , − 1 2 π i log z ) {\displaystyle H(x)=:\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log z,\ -{\frac {1}{2\pi i}}\log z\right)} H ( x ) =: ( − log − z 2 π i , − log − z 2 π i ) , {\displaystyle H(x)=:\left(-{\frac {\log -z}{2\pi i}},-{\frac {\log -z}{2\pi i}}\right),} H (0) で定義されていない他の定義には 以下が含まれる。
区分 関数 : H ( x ) := { 1 , x > 0 0 , x < 0 {\displaystyle H(x):={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x<0\end{cases}}} ランプ関数 の微分 ： H ( x ) := d d x max { x , 0 } for x ≠ 0 {\displaystyle H(x):={\frac {d}{dx}}\max\{x,0\}\quad {\mbox{for }}x\neq 0} 絶対値 関数で表現すると 次のようになります。 H ( x ) = x + | x | 2 x {\displaystyle H(x)={\frac {x+|x|}{2x}}}
ディラックデルタとの関係 ディラック のデルタ関数は ヘヴィサイド関数の 弱微分 である。 したがって、ヘヴィサイド関数は ディラックのデルタ関数の 積分とみなすことができる。これは次のように書かれることもある。ただし、この展開は x = 0 の場合には成立しない（あるいは意味をなさない）可能性がある。これは、 δ を含む積分に意味を与えるために用いる形式論に依存する 。この文脈において、ヘヴィサイド関数は ほぼ確実に 0となる 確率変数 の 累積分布関数 である。（ 定数確率変数 を参照。） δ ( x ) = d d x H ( x ) , {\displaystyle \delta (x)={\frac {d}{dx}}\ H(x),} H ( x ) := ∫ − ∞ x δ ( s ) d s , {\displaystyle H(x):=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,ds,}
解析的近似 ヘヴィサイドのステップ関数の近似は生化学 や 神経科学 で役立っており 、ステップ関数の ロジスティック近似 ( ヒル方程式 や ミカエリス-メンテン方程式 など ) を使用して、化学信号に応答するバイナリ細胞スイッチを近似することができます。
ステップ関数を 滑らかに 近似するには、 ロジスティック関数 を使用できます。ここで、 k が 大きいほど、 x = 0 での遷移が急峻になります 。 H ( x ) ≈ 1 2 + 1 2 tanh k x = 1 1 + e − 2 k x , {\displaystyle H(x)\approx {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}},}
H (0) = 1 / 2 、次の極限において等式が成り立ちます。 H ( x ) = lim k → ∞ 1 2 ( 1 + tanh k x ) = lim k → ∞ 1 1 + e − 2 k x . {\displaystyle H(x)=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}.}
1 2 + 1 2 tanh ( k x ) = 1 1 + e − 2 k x {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh(kx)={\frac {1}{1+e^{-2kx}}}} k → ∞ としてステップ関数に近づきます 。 ステップ関数には、 他にも多くの滑らかな解析的近似が 存在する。 [1] 例としては、以下のものがある。 これらの極限は、 点収束と 分布収束 の意味で成立する 。しかし、一般に、 点収束 は分布収束を意味するとは限らず、逆もまた同様である。（ただし、点収束する関数列のすべての要素が、ある「良い」関数によって一様に束縛されている場合、 収束は分布の意味でも成立する 。） H ( x ) = lim k → ∞ ( 1 2 + 1 π arctan k x ) H ( x ) = lim k → ∞ ( 1 2 + 1 2 erf k x ) {\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan kx\right)\\H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} kx\right)\end{aligned}}}
一般に、ゼロ付近でピークを持ち、 分散 を制御するパラメータを持つ 連続 確率分布 の 累積分布関数は、 分散がゼロに近づく極限において近似として機能します。例えば、上記の3つの近似はすべて、 一般的な確率分布、すなわちそれぞれ ロジスティック 分布、 コーシー分布 、 正規分布の 累積分布関数 です。
非解析的近似 ヘヴィサイドステップ関数の近似は、 次のような 滑らかな遷移関数 を通じて行うことができます。 1 ≤ m → ∞ {\displaystyle 1\leq m\to \infty } f ( x ) = { 1 2 ( 1 + tanh ( m 2 x 1 − x 2 ) ) , | x | < 1 1 , x ≥ 1 0 , x ≤ − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\tanh \left(m{\frac {2x}{1-x^{2}}}\right)\right)},&|x|<1\\\\1,&x\geq 1\\0,&x\leq -1\end{cases}}\end{aligned}}}
積分表現 多くの場合、 ヘヴィサイドのステップ関数の 積分表現は有用です。ステップ関数が実数であり、したがってそれ自身の 複素共役 である場合、2 番目の表現は最初の表現から簡単に推測できます 。 H ( x ) = lim ε → 0 + − 1 2 π i ∫ − ∞ ∞ 1 τ + i ε e − i x τ d τ = lim ε → 0 + 1 2 π i ∫ − ∞ ∞ 1 τ − i ε e i x τ d τ , {\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\ {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau ,\end{aligned}}}
議論ゼロ H は通常 積分 に用いられ、関数の単一点における値はその積分値に影響を与えない ため、 H (0) のどの値を選択するかはさほど重要ではありません。実際、 Hを 超関数または L ∞ （ L p 空間 を参照）の元 として考える場合、そのような対象は ほとんどどこでも 定義されているため、ゼロにおける値について話すことさえ意味がありません 。何らかの解析的近似（上記の例のように）を用いる場合、多くの場合、ゼロにおける関連する極限が用いられます。
特定の値を選択する理由はさまざまです。
H (0) = 1 / 2 は 、グラフが 回転対称性 を持つ ためよく使用されます 。言い換えると、 H − 1 / 2 は奇関数 です 。この場合、 すべてのx に対して 、符号関数 との次の関係が成り立ちます。 また、 です 。 H ( x ) = 1 2 ( 1 + sgn x ) . {\displaystyle H(x)={\tfrac {1}{2}}(1+\operatorname {sgn} x).} ∀ x , H ( x ) + H ( − x ) = 1 {\displaystyle \forall x,\ H(x)+H(-x)=1} H (0) = 1は、 H が 右連続 で ある必要がある 場合に用いられます 。例えば、 累積分布関数は 通常右連続であるとされ、 ルベーグ・スティルチェス積分 において に対して積分される関数も同様です。この場合、 Hは 閉半 無限区間 の 指示関数 です 対応する確率分布は 退化した分布 です。 H ( x ) = 1 [ 0 , ∞ ) ( x ) . {\displaystyle H(x)=\mathbf {1} _{[0,\infty )}(x).} H (0) = 0 は、 H が 左連続で ある必要がある 場合に用いられます 。この場合、 H は半無限 開 区間の指示関数です H ( x ) = 1 ( 0 , ∞ ) ( x ) . {\displaystyle H(x)=\mathbf {1} _{(0,\infty )}(x).} 最適化 や ゲーム理論 における関数解析の文脈では、極限関数の連続性を保ち、特定の解の存在を保証するために、ヘヴィサイド関数を 集合値関数 として定義することがしばしば有用である 。このような場合、ヘヴィサイド関数は可能な解の区間全体、 H (0) = [0,1] を返す。
単位ステップの別の形式は、関数 （つまり離散変数 n を取り込む関数）として定義され、次のように定義されます。 または、半最大値法を用いると、次のようになります 。 [2] ここで nは 整数 です。n が 整数の場合、 n < 0は n ≤ −1 を意味し 、 n > 0 は関数が n = 1で1に達することを意味します。したがって、「ステップ関数」は [−1, 1] の領域でランプ状の挙動を示し 、半最大値法を用いると、真にステップ関数であるとは言えません。 H : Z → R {\displaystyle H:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {R} } H [ n ] = { 0 , n < 0 , 1 , n ≥ 0 , {\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}} H [ n ] = { 0 , n < 0 , 1 2 , n = 0 , 1 , n > 0 , {\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\{\tfrac {1}{2}},&n=0,\\1,&n>0,\end{cases}}}
連続の場合とは異なり、 H [0] の定義は 重要です。
離散時間単位インパルスは、離散時間ステップの最初の差分です。この関数は、 クロネッカーのデルタ の累積和です 。 ここで、は 離散単位インパルス関数 です 。 δ [ n ] = H [ n ] − H [ n − 1 ] . {\displaystyle \delta [n]=H[n]-H[n-1].} H [ n ] = ∑ k = − ∞ n δ [ k ] , {\displaystyle H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k],} δ [ k ] = δ k , 0 {\textstyle \delta [k]=\delta _{k,0}}
反微分と微分 ランプ 関数は ヘヴィサイドステップ関数の 不等式で ある。 ヘヴィサイドステップ関数の 分布微分は ディラック のデルタ関数 である。 ∫ − ∞ x H ( ξ ) d ξ = x H ( x ) = max { 0 , x } . {\displaystyle \int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi =xH(x)=\max\{0,x\}\,.} d H ( x ) d x = δ ( x ) . {\displaystyle {\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)\,.}
ヘヴィサイドのステップ関数のフーリエ 変換は 分布である。フーリエ変換の定義に定数を1つ選択すると、以下の式が得られる
。 ここで pv H ^ ( s ) = lim N → ∞ ∫ − N N e − 2 π i x s H ( x ) d x = 1 2 ( δ ( s ) − i π p . v . 1 s ) . {\displaystyle {\hat {H}}(s)=\lim _{N\to \infty }\int _{-N}^{N}e^{-2\pi ixs}H(x)\,dx={\frac {1}{2}}\left(\delta (s)-{\frac {i}{\pi }}\operatorname {p.v.} {\frac {1}{s}}\right).} 1 / s は、検定関数 φを の コーシー主値 と する 分布 である 。積分中に現れる極限は、（緩和）分布の意味でも同様にとられる。 ∫ − ∞ ∞ φ ( s ) s d s {\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varphi (s)}{s}}\,ds}
ヘヴィサイド階段関数のラプラス変換は有理型関数です 。 片側 ラプラス 変換を用いると、次の式が得られます。 両側変換 を用いると 、積分を2つの部分に分割することができ、結果は同じになります。 H ^ ( s ) = lim N → ∞ ∫ 0 N e − s x H ( x ) d x = lim N → ∞ ∫ 0 N e − s x d x = 1 s {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}(s)&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}H(x)\,dx\\&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}\,dx\\&={\frac {1}{s}}\end{aligned}}}
参照
参考文献
外部リンク ウィキメディア・コモンズには、ヘヴィサイド関数 に関連するメディアがあります 。
数学関数のデジタルライブラリ、NIST、[1]。 ベルク、エルンスト・ジュリアス (1936). 「単位関数」. ヘヴィサイドの演算法、工学と物理学への応用 . マグロウヒル・エデュケーション . 5ページ. カルバート、ジェームズ・B. (2002). 「ヘヴィサイド、ラプラス、そして反転積分」 デンバー大学 . デイヴィス、ブライアン (2002). 「ヘヴィサイドのステップ関数」. 積分変換とその応用 （第3版）. シュプリンガー. p. 28. ダフ、ジョージ・FD ；ネイラー、D.（1966）「ヘヴィサイド単位関数」 応用数学の微分方程式 、 ジョン・ワイリー・アンド・サンズ 、p.42。 
![{\displaystyle H(x):=[x\geq 0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba88f2cc5cb33190c9340bd37f10cb08d88b1df)
![{\displaystyle H(x):={\frac {[x\geq 0]+[x>0]}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5ff18d133d88a5dbf7082389e5a97058f79bb5)
![{\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1783c84465f7a602fae566c34efa63f48c84212)
![{\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\{\tfrac {1}{2}},&n=0,\\1,&n>0,\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f164d5bf42583f4f09a2871a3f589ff0a89d43)
![{\displaystyle \delta[n]=H[n]-H[n-1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f961e454b3be9f9a800ee87b5db4b22e2cb588ab)
![{\displaystyle H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb9ae6196c341ebdda7c1ca78c25876f8dfdb2f)
![{\textstyle \delta [k]=\delta _{k,0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bff2d5e266c1e63a7ee23f99482ce7998b0d8eb)
