Polygon with 17 edges
幾何学 において 、 17角形 、 71角形 、または 17角形 は、 17辺を持つ 多角形です
正17角形 正 17角形は シュレーフリ 記号 {17}で表される 。
建設 C. F. ガウス著『 Intelligenzblatt der allgemeinen Literatur-Zeitung』誌掲載 17 はフェルマー素数 なので 、正 17 角形 は 作図可能な多角形 （つまり、 コンパスと目盛りのない定規 を使って作図できる多角形）です。これは1796 年に カール・フリードリヒ・ガウス によって示されました。 [1] この証明は、2000 年以上ぶりの正多角形作図の進歩でした。 [1] ガウスの証明は、まず、作図可能性は 共通角の 三角関数を 算術 演算と 平方根 で表現できることと同値であるという事実と、次に、正多角形の辺の数である の奇数の素因数が、ある非負整数 に対して の形をとる異なるフェルマー素数である 場合 にこれが実行できるという彼の証明に依存しています。したがって、正 17 角形を構成するには、 平方根を使って の余弦を求める必要があります。ガウスの著書 「算術論」 [2] では、これを（現代の記数法で）次のように示しています [3] N {\displaystyle N} F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1} n {\displaystyle n} 2 π / 17 {\displaystyle 2\pi /17}
cos 2 π 17 = 1 16 ( 17 − 1 + 34 − 2 17 ) + 1 8 ( 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{17}}=&{\frac {1}{16}}\left({\sqrt {17}}-1+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\right)\\&+{\frac {1}{8}}\left({\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\right).\\\end{aligned}}} 正十七角形のガウス構築。 正三角形 、 五角形 、 十五角形 、および辺の数の 2 h 倍の多角形の構築は ユークリッドによって示されていましたが、3 と 5 以外のフェルマー素数に基づく構築は古代人には知られていませんでした。(フェルマー素数として知られているのは、 n = 0、1、2、3、4のときの F n だけです。これらは 3、5、17、257、65537 です。)
1893年、 ハーバート・ウィリアム・リッチモンド は17角形の明示的な作図法を示した 。以下に示す カーライル円を用いた作図法をベースとする。正17角形の作成法に基づいて、 nが17と3または5（あるいはその両方）および任意の2のべき乗との積である n 角形を容易に作図 できる。正51角形、85角形、または255角形、そして辺数が 2 h 倍の任意の正n 角形で ある。
デュアン・W・デテンプルによるカーライルサークルを用いた構築、 [4] アニメーション1分57秒
定規とコンパスを使用して正 17 角形を作成する別の方法は次のとおりです。
ニューヨーク州ロチェスターのTPストウェルは、 1877年にインディアナ州 ホイーリング のWEヒールからの質問に対して、アナリスト誌で次のように回答した。 [5]
円の中に17辺の正多角形を作成します。 半径COを直径ABに直角に描きます。OCとOB上で、OQを半径の半分に、ODを半径の8分の1にします。DEとDFをそれぞれDQに等しくし、EGとFHをそれぞれEQとFQに等しくします。OKをOHとOQの平均比例線とし、Kを通ってABに平行なKMを描き、OGに描かれた半円Mと交わります。MNをOCに平行に描き、与えられた円をNで切断します。弧ANは円周全体の17分の1です。
TP Stowell 氏による「Leybourn's Math. Repository, 1818」 に基づく構築 。 「OK を OH と OQ の 平均比例 としてとる」と追加。 TP Stowell が送った「Leybourn's Math. Repository, 1818」 に基づく構成 。 追加： 「OH と OQ の平均比例関係を OK とする」 、アニメーション
以下のシンプルなデザインは、1893年にハーバート・ウィリアム・リッチモンドが考案したものです。 [6]
OA、OB（図6）を円の2つの直交する半径とします。OIをOBの4分の1、角OIEをOIAの4分の1とします。また、OAにEIFが45°となる点Fが生成されるものとします。AFを直径とする円がOBをKで切断し、中心がEで半径EKである円がOAをN 3 およびN 5 で切断するとします。この 円に座標N 3 P 3 、N 5 P 5を描くと、円弧AP 3 、AP 5 はそれぞれ円周の3/17および5/17になります。 点 N 3 は、 AF 上の タレスの定理 の中心点に非常に近いです。 HWリッチモンドによる建設 HWリッチモンドによるアニメーションによる建設
次の構築は、HW リッチモンドの構築のバリエーションです。
オリジナルとの違い:
円 k 2は二等分線 w 3 の代わりに点 H を決定します 。 点 G' (点 G の m における反射) の周りの 円 k 4は、接線の構築のために、もはや M にそれほど近くない点 N を生み出します。 一部の名前は変更されています。 HWリッチモンドの原理に基づく17角形。N点に関するデザインのバリエーション。
もう一つのより最近の構築はCallagyによって提示されている。 [3]
入れ子になった二次方程式を用いた三角関数の導出 ネストされた倍角の公式と補角の公式を組み合わせて、以下のネストされた二次多項式を取得します。
cos 2 m π 17 = 2 cos 2 m π 17 − 1 {\displaystyle \cos {\frac {2m\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {m\pi }{17}}-1} 、そして cos 16 π 17 = cos ( π − π 17 ) = − cos π 17 = − X {\displaystyle \cos {\frac {16\pi }{17}}=\cos({\pi -{\frac {\pi }{17}}})=-\cos {\frac {\pi }{17}}=-X} したがって、
− X = − cos π 17 = cos 16 π 17 = 2 cos 2 8 π 17 − 1 = 2 × ( 2 cos 2 4 π 17 − 1 ) 2 − 1 {\displaystyle -X=-\cos {\frac {\pi }{17}}=\cos {\frac {16\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {8\pi }{17}}-1=2\times {(2\cos ^{2}{\frac {4\pi }{17}}-1)}^{2}-1} cos 4 π 17 = 2 cos 2 2 π 17 − 1 = 2 × ( 2 cos 2 π 17 − 1 ) 2 − 1 = 2 ( 2 X 2 − 1 ) 2 − 1 {\displaystyle \cos {\frac {4\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {2\pi }{17}}-1=2\times {(2\cos ^{2}{\frac {\pi }{17}}-1)}^{2}-1=2(2X^{2}-1)^{2}-1} 簡略化してXについて解くと、
32768 X 16 − 131072 X 14 + 212992 X 12 − 180224 X 10 + 84480 X 8 − 21504 X 6 + 2688 X 4 − 128 X 2 + 1 = − X {\displaystyle 32768X^{16}-131072X^{14}+212992X^{12}-180224X^{10}+84480X^{8}-21504X^{6}+2688X^{4}-128X^{2}+1=-X} cos π 17 = X = 34 − 68 − 17 + 1 + 2 34 − 68 + 17 − 1 17 + 272 16 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}=X={\frac {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {17}}+1+2{\sqrt {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {17}}-1}}{\sqrt {\sqrt {17+{\sqrt {272}}}}}}{16}}}
sinとcosの正確な値は m π / (17 × 2 n ) ならば 、 そして 任意の整数mに応じて A = 2 ( 17 ± 17 ) {\displaystyle A={\sqrt {2(17\pm {\sqrt {17}})}}} B = ( 17 ± 1 ) {\displaystyle B=({\sqrt {17}}\pm 1)} C = 17 ∓ 4 17 {\displaystyle C=17\mp 4{\sqrt {17}}}
cos m π 17 = ± ( A ± B ) ± 2 ( A ∓ B ) C 16 {\displaystyle \cos {\frac {m\pi }{17}}=\pm {\frac {(A\pm B)\pm 2{\sqrt {(A\mp B){\sqrt {C}}}}}{16}}} = ± 34 ± 68 ± ( 17 ± 1 ) ± 2 34 ± 68 ∓ ( 17 ± 1 ) 17 ∓ 272 16 {\displaystyle =\pm {\frac {{\sqrt {34\pm {\sqrt {68}}}}\pm ({\sqrt {17}}\pm 1)\pm 2{\sqrt {{\sqrt {34\pm {\sqrt {68}}}}\mp ({\sqrt {17}}\pm 1)}}{\sqrt {\sqrt {17\mp {\sqrt {272}}}}}}{16}}} 例えば、m = 1の場合
cos π 17 = 34 − 68 − 17 + 1 + 2 34 − 68 + 17 − 1 17 + 272 16 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {17}}+1+2{\sqrt {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {17}}-1}}{\sqrt {\sqrt {17+{\sqrt {272}}}}}}{16}}} 式を簡略化すると次の表のようになります。
第 1 象限の Cos と Sin (m π / 17) から他の象限を計算できます。 m 16 cos (mπ/17) 8 sin (mπ/17) 1 + 1 − 17 + 34 − 68 + 68 + 2448 + 2720 + 6284288 {\displaystyle +1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}} 34 − 68 − 136 − 1088 − 272 + 39168 − 43520 + 1608777728 {\displaystyle {\sqrt {34-{\sqrt {68}}-{\sqrt {136-{\sqrt {1088}}}}-{\sqrt {272+{\sqrt {39168}}-{\sqrt {43520+{\sqrt {1608777728}}}}}}}}} 2 − 1 + 17 + 34 − 68 + 68 + 2448 − 2720 + 6284288 {\displaystyle -1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}-{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}} 34 − 68 + 136 − 1088 − 272 + 39168 + 43520 + 1608777728 {\displaystyle {\sqrt {34-{\sqrt {68}}+{\sqrt {136-{\sqrt {1088}}}}-{\sqrt {272+{\sqrt {39168}}+{\sqrt {43520+{\sqrt {1608777728}}}}}}}}} 3 + 1 + 17 + 34 + 68 + 68 − 2448 − 2720 − 6284288 {\displaystyle +1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34+{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68-{\sqrt {2448}}-{\sqrt {2720-{\sqrt {6284288}}}}}}} 34 + 68 − 136 + 1088 − 272 − 39168 + 43520 − 1608777728 {\displaystyle {\sqrt {34+{\sqrt {68}}-{\sqrt {136+{\sqrt {1088}}}}-{\sqrt {272-{\sqrt {39168}}+{\sqrt {43520-{\sqrt {1608777728}}}}}}}}} 4 − 1 + 17 − 34 − 68 + 68 + 2448 + 2720 + 6284288 {\displaystyle -1+{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}} 34 − 68 − 136 − 1088 + 272 + 39168 − 43520 + 1608777728 {\displaystyle {\sqrt {34-{\sqrt {68}}-{\sqrt {136-{\sqrt {1088}}}}+{\sqrt {272+{\sqrt {39168}}-{\sqrt {43520+{\sqrt {1608777728}}}}}}}}} 5 + 1 + 17 + 34 + 68 − 68 − 2448 − 2720 − 6284288 {\displaystyle +1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34+{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {68-{\sqrt {2448}}-{\sqrt {2720-{\sqrt {6284288}}}}}}} 34 + 68 − 136 + 1088 + 272 − 39168 + 43520 − 1608777728 {\displaystyle {\sqrt {34+{\sqrt {68}}-{\sqrt {136+{\sqrt {1088}}}}+{\sqrt {272-{\sqrt {39168}}+{\sqrt {43520-{\sqrt {1608777728}}}}}}}}} 6 − 1 − 17 + 34 + 68 + 68 − 2448 + 2720 − 6284288 {\displaystyle -1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34+{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68-{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720-{\sqrt {6284288}}}}}}} 34 + 68 + 136 + 1088 − 272 − 39168 − 43520 − 1608777728 {\displaystyle {\sqrt {34+{\sqrt {68}}+{\sqrt {136+{\sqrt {1088}}}}-{\sqrt {272-{\sqrt {39168}}-{\sqrt {43520-{\sqrt {1608777728}}}}}}}}} 7 + 1 + 17 − 34 + 68 + 68 − 2448 + 2720 − 6284288 {\displaystyle +1+{\sqrt {17}}-{\sqrt {34+{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68-{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720-{\sqrt {6284288}}}}}}} 34 + 68 + 136 + 1088 + 272 − 39168 − 43520 − 1608777728 {\displaystyle {\sqrt {34+{\sqrt {68}}+{\sqrt {136+{\sqrt {1088}}}}+{\sqrt {272-{\sqrt {39168}}-{\sqrt {43520-{\sqrt {1608777728}}}}}}}}} 8 − 1 + 17 + 34 − 68 − 68 + 2448 − 2720 + 6284288 {\displaystyle -1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}-{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}} 34 − 68 + 136 − 1088 + 272 + 39168 + 43520 + 1608777728 {\displaystyle {\sqrt {34-{\sqrt {68}}+{\sqrt {136-{\sqrt {1088}}}}+{\sqrt {272+{\sqrt {39168}}+{\sqrt {43520+{\sqrt {1608777728}}}}}}}}}
したがって、m=1で帰納法を適用し、n=0から始めると次のようになります。
cos π 17 × 2 0 = 1 − 17 + 34 − 68 + 68 + 2448 + 2720 + 6284288 16 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17\times 2^{0}}}={\frac {1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}}{16}}} cos π 17 × 2 n + 1 = 2 + 2 cos π 17 × 2 n 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}} そして sin π 17 × 2 n + 1 = 2 − 2 cos π 17 × 2 n 2 . {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}.}
対称性 正17角形の対称性。頂点は対称位置によって色分けされています。青い鏡線が頂点と辺を通って描かれています。回転順序は中央に示されています 正 十七角形には、 Dih 17 対称性 、次数 34 が あります。17 は 素数 であるため、二面体対称性を持つサブグループが 1 つあります: Dih 1 、および 2 つの 巡回群 対称性: Z 17 、および Z 1 。
これらの4つの対称性は、17角形上の4つの異なる対称性に見られます。 ジョン・コンウェイは これらを文字と群の順序でラベル付けしています。 [7] 正則形の完全な対称性は r34 で、対称性のないものは a1で ラベル付けされています。二面対称性は、頂点を通るか（対角線の場合は d ）、辺を通るか（垂線の場合は p ）、そして鏡映線が辺と頂点の両方を通る場合は i で分類されます。中央の列の巡回対称性は、 中心回転順序に基づいて gでラベル付けされています。
各部分群の対称性により 、不規則な形状に対して1つ以上の自由度が許容されます。g17部分群のみ自由度を持ちませんが、 有向辺 として見ることができます 。
十六角形 十六角形は17辺を持つ 星型多角形 です。 シュレーフリ記号 で表される7つの正多角形があります：{17/2}、{17/3}、{17/4}、{17/5}、{17/6}、{17/7}、{17/8}。17は素数なので、これらはすべて正多角形であり、複合図形ではありません
写真 {17/2} {17/3} {17/4} {17/5} {17/6} {17/7} {17/8} 内角 ≈137.647° 約116.471° 約95.2941° 約74.1176° 約52.9412° ≈31.7647° ≈10.5882°
ペトリー多角形 正17角形は 、1つの高次元正凸多面体を斜め 直交射影で投影した ペトリー多角形 です
参考文献 アーサー ・ジョーンズ、シドニー・A・モリス、ケネス・R・ピアソン著 『抽象代数と有名な不可能性』 、シュプリンガー、1991年、 ISBN 0387976612 、178ページ ^ カール・フリードリヒ・ガウス『算術論』eod books2ebooks、662ページ、アイテム365 ^ ab Callagy, James J. 「正17角形の中心角」、 Mathematical Gazette 67、1983年12月、290–292。 ^ Duane W. DeTemple「Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions」、 The American Mathematical Monthly、第98巻、第1号（1991年2月）、97–108ページ。 「4. 正17角形（17-gon）の構築」pp. 101–104、p.103、web.archive document、2017年1月28日抜粋 ^ ヘンドリックス、JE (1877). 「ヒール氏の質問への回答；ニューヨーク州ロチェスターのTPストウェル」 『アナリスト：純粋数学と応用数学の月刊誌 』 1 : 94–95 . クエリ、WE Heal著、インディアナ州ウィーリング、p. 64; アクセス日 2017年4月30日 ^ ハーバート・W・リッチモンド、「17辺の正多角形の構成」の図解（図6）、『純粋・応用数学季刊誌』26号、206～207頁。2015年12月4日閲覧。 ^ ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、 チャイム・グッドマン＝ストラウス 、（2008）『ものの対称性』、 ISBN 978-1-56881-220-5 （第20章 一般化されたシェフリ記号、多角形の対称性の種類 275～278ページ）
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