七角数

七角形を組み合わせて構成される図形数の一種

数学において、七角形数（にんかくぶつ、n は π と表記）は、大きさが大きくなる七角形を組み合せて構成される図形数である。n次の七角形数は、以下の式で表される。

${\displaystyle H_{n}={\frac {5n^{2}-3n}{2}}}$。

最初の 5 つの七角数。

最初のいくつかの七角数は次のとおりです。

0、1、7、18、34、55、81、112、148、189、235、286、342、403、469、540、616、697、783、874、970、1071、1177、1288、1404、1525、1651、1782 、 … （ OEISのシーケンスA000566 ）​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

パリティ

七角数の偶奇性は、奇数-奇数-偶数-偶数のパターンに従います。平方数と同様に、七角数の10進数の根号は1、4、7、または9のいずれかになります。七角数を5倍し、1を加えると三角数になります。

追加のプロパティ

• 七角数には注目すべき公式がいくつかあります。

${\displaystyle H_{m+n}=H_{m}+H_{n}+5mn}$

${\displaystyle H_{m-n}=H_{m}+H_{n}-5mn+3n}$

${\displaystyle H_{m}-H_{n}={\frac {(5(m+n)-3)(m-n)}{2}}}$

${\displaystyle 40H_{n}+9=(10n-3)^{2}}$

逆数の合計

七角数の逆数の和の公式は次のように与えられる: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n(5n-3)}}&={\frac {1}{15}}{\pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}+{\frac {2}{3}}\ln(5)+{\frac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)+{\frac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {\pi }{\sqrt[{4}]{5\,\phi ^{6}}}}+{\frac {5}{2}}\ln(5)-{\sqrt {5}}\ln(\phi )\right)\\&=1.3227792531223888567\dots \end{aligned}}}$

黄金比 で。 ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

七角根

xの平方根と同様に、 xの七角根を計算することができます。七角根は、 xまでの数列の項の数を意味します。

xの七角根は次の式で与えられる。

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {40x+9}}+3}{10}},}$

これは、二次方程式の公式を使用して、その唯一の正の根nを解くことによって得られます。 ${\displaystyle x={\frac {5n^{2}-3n}{2}}}$

参考文献

1. 「バーゼル問題を超えて：図形数の逆数の和」（PDF） 。 2013年5月29日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2010年5月19日閲覧。

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