エルミート多項式

Polynomial sequence

数学において、エルミート多項式は古典的な直交 多項式列です。

多項式は次のように発生します。

• ウェーブレット変換解析のためのエルミートウェーブレットとしての信号処理
• エッジワース級数などの確率、およびブラウン運動との関連。
• アンブラル計算に従うアペル列の例としての組合せ論。
• ガウス求積法としての数値解析;
• 物理学では、量子調和振動子の固有状態を生じさせます。また、熱方程式のいくつかのケースでも発生します(項が存在する場合)。 ${\displaystyle {\begin{aligned}xu_{x}\end{aligned}}}$
• ガウスノイズに対する非線形演算に関連したシステム理論。
• ガウス集団におけるランダム行列理論。

エルミート多項式は1810年にピエール・シモン・ラプラスによって定義されましたが^{[1] [2]} 、ほとんど認識できない形式で、 1859年にパフヌティ・チェビシェフによって詳細に研究されました。^[3]チェビシェフの研究は見過ごされ、後に1864年にこの多項式について論文を書いて新しいと説明したシャルル・エルミートにちなんで命名されました。 ^[4]エルミートが多次元多項式を初めて定義したにもかかわらず、結果として新しいものではありませんでした。

意味

他の古典的な直交多項式と同様に、エルミート多項式も複数の異なる出発点から定義できます。まず、一般的に2つの異なる標準化法が用いられていることに留意すると、便利な方法の1つは次のとおりです。

• 「確率論者のエルミート多項式」は次のように与えられる。 $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$$
• 一方、「物理学者のエルミート多項式」は次のように与えられる。 $${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.}$$

これらの方程式はロドリゲスの公式の形をしており、次のようにも書ける。 $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1,\quad H_{n}(x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}$$

2 つの定義は完全に同一ではなく、それぞれが他方の定義を再スケールしたものです。 $${\displaystyle H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}\operatorname {He} _{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right),\quad \operatorname {He} _{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$$

これらは異なる分散のエルミート多項式列です。分散については下記の資料を参照してください。

と という表記は標準的な参考文献で使用されているものです。^[5]多項式は、特に確率論では と表記されることがあります。これは、 が期待値0で標準偏差1 の正規分布の確率密度関数であるためです。確率論者のエルミート多項式は、モニック であるため、モニックエルミート多項式とも呼ばれます。 ${\displaystyle \operatorname {He} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {He} _{n}}$ ${\displaystyle H_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$$

• 最初の 11 個の確率論者のエルミート多項式は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{0}(x)&=1,\\\operatorname {He} _{1}(x)&=x,\\\operatorname {He} _{2}(x)&=x^{2}-1,\\\operatorname {He} _{3}(x)&=x^{3}-3x,\\\operatorname {He} _{4}(x)&=x^{4}-6x^{2}+3,\\\operatorname {He} _{5}(x)&=x^{5}-10x^{3}+15x,\\\operatorname {He} _{6}(x)&=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15,\\\operatorname {He} _{7}(x)&=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x,\\\operatorname {He} _{8}(x)&=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105,\\\operatorname {He} _{9}(x)&=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x,\\\operatorname {He} _{10}(x)&=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945.\end{aligned}}}$$
• 最初の 11 個の物理学者のエルミート多項式は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(x)&=1,\\H_{1}(x)&=2x,\\H_{2}(x)&=4x^{2}-2,\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x,\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12,\\H_{5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x,\\H_{6}(x)&=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120,\\H_{7}(x)&=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x,\\H_{8}(x)&=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680,\\H_{9}(x)&=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x,\\H_{10}(x)&=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240.\end{aligned}}}$$

クイックリファレンステーブル

	物理学者の	確率論者の
シンボル	${\displaystyle H_{n}}$	${\displaystyle \operatorname {He} _{n}}$
ヘッド係数	${\displaystyle 2^{n}}$	${\displaystyle 1}$
微分演算子	${\displaystyle (-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}}$	${\displaystyle (-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$
直交する	${\displaystyle e^{-x^{2}}}$	${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}}$
内積	${\displaystyle \int H_{m}(x)H_{n}(x){\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}dx=2^{n}n!\,\delta _{mn}}$	${\displaystyle \int \operatorname {He} _{m}(x)\operatorname {He} _{n}(x)\,{\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\,dx=n!\,\delta _{nm}}$
生成関数	${\displaystyle e^{2xt-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}$	${\displaystyle e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {He} _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}$
ロドリゲスの公式	${\displaystyle \left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1}$	${\displaystyle \left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1}$
再帰関係	${\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)}$	${\displaystyle \operatorname {He} _{n+1}(x)=x\operatorname {He} _{n}(x)-n\operatorname {He} _{n-1}(x)}$

• 
  最初の6つの確率論者のエルミート多項式 ${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)}$
• 
  最初の6つの物理学者のエルミート多項式 ${\displaystyle H_{n}(x)}$

プロパティ

n次エルミート多項式はn次多項式です。確率論者によるHe _{n の}主係数は 1 ですが、物理学者によるH _{n の}主係数は2 ⁿです。

対称

上記のロドリゲスの公式から、 H _n ( x )とHe _n ( x )はnと同じ偶奇性を持つ偶関数または奇関数であることがわかります。 $${\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x),\quad \operatorname {He} _{n}(-x)=(-1)^{n}\operatorname {He} _{n}(x).}$$

直交性

H _n ( x )とHe _n ( x )はn = 0, 1, 2, 3,...のn次多項式である。これらの多項式は重み関数（測度）に関して直交する。すなわち、 $${\displaystyle w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\quad ({\text{for }}\operatorname {He} )}$$ $${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\quad ({\text{for }}H),}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,dx=0\quad {\text{for all }}m\neq n.}$$

さらに、クロネッカーのデルタはどこに ありますか。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {He} _{m}(x)\operatorname {He} _{n}(x)\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},}$$ ${\displaystyle \delta _{nm}}$

したがって、確率多項式は標準​​正規確率密度関数に対して直交します。

完全

エルミート多項式（確率論者または物理学者）は、次の式を満たす関数のヒルベルト空間の直交基底を形成し 、その内積は、 前の節で定義したガウス重み関数w ( x )を含む積分によって与えられる。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,}$$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx}$$

L ² ( R , w ( x ) dx )の直交基底は完全直交系である。直交系において、完全性とは、0関数が系内のすべての関数に対して直交する唯一の関数f ∈ L ² ( R , w ( x ) dx )であるという事実と同義である。

エルミート多項式の線形範囲はすべての多項式の空間であるため、（物理学者の場合）すべてのn ≥ 0に対してfが満たされる 場合、f = 0 であることを示す必要があります。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$$

これを実現する一つの方法は、関数全体が等価的に消滅することを理解することです。任意の実数tに対してF ( it ) = 0 となるという事実は、 f ( x ) e ^{− x 2}のフーリエ変換が0であることを意味し、したがってfはほぼすべての点で0となります。上記の完全性証明の変形は、指数関数的に減少する他の重みにも適用できます。 $${\displaystyle F(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{zx-x^{2}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\int f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$$

エルミートの場合、完全性を意味する明示的な同一性を証明することも可能です (以下の完全性関係のセクションを参照)。

エルミート多項式がL ² ( R , w ( x ) dx )の直交基底であるという事実の同等の定式化は、エルミート関数(下記参照)を導入し、エルミート関数がL ² ( R )の直交基底であると言うことです。

エルミートの微分方程式

確率論者のエルミート多項式は、λが定数であるシュトゥルム・リウヴィル微分方程式の解である。u が無限大で多項式的に有界であるという境界条件を課すと、この 方程式はλ が非負整数である場合にのみ解を持ち、その解は（ただし は定数を表す）によって一意に与えられる。 $${\displaystyle \left(e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u'\right)'+\lambda e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u=0,}$$ ${\displaystyle u(x)=C_{1}\operatorname {He} _{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle C_{1}}$

微分方程式を固有値問題として書き直すと、 エルミート多項式は微分演算子 の固有関数として理解できる。この固有値問題はエルミート方程式と呼ばれるが、この用語は密接に関連した方程式にも用いられる。 この方程式の解は、u が無限大で多項式的に有界であるという境界条件を課した後に、 は定数を表す物理 学者のエルミート多項式 の形式で一意に与えられる。 $${\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u,}$$ ${\displaystyle \operatorname {He} _{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle L[u]}$ $${\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u.}$$ ${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle C_{1}}$

上記の2階微分方程式の一般解は、実際にはエルミート多項式と第1種合流型超幾何関数の両方の線型結合です。例えば、物理学者のエルミート方程式の場合、一般解は次の形をとります。ここで、およびは定数、は物理学者の第1種エルミート多項式、 は物理学者の第2種エルミート関数です。後者の関数は次のように簡潔に表されます。ここで、 は第1種合流型超幾何関数です。従来のエルミート多項式は、合流型超幾何関数で表すこともできます（以下を参照）。 $${\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0,}$$ $${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)+C_{2}h_{\lambda }(x),}$$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle H_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle h_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle h_{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-{\tfrac {\lambda }{2}};{\tfrac {1}{2}};x^{2})}$ ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$

より一般的な境界条件を用いると、エルミート多項式を一般化して、複素数値λに対するより一般的な解析関数を得ることができる。また、エルミート多項式を等高線積分（Courant & Hilbert 1989）を用いて明示的に表すことも可能である。

再帰関係

確率論者のエルミート多項式の数列も再帰関係を満たします_。個々の係数は次の再帰式で関係付けられます: a 0,0 = 1、a _1,0 = 0、a _1,1 = 1。 $${\displaystyle \operatorname {He} _{n+1}(x)=x\operatorname {He} _{n}(x)-\operatorname {He} _{n}'(x).}$$ $${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-(k+1)a_{n,k+1}&k=0,\\a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$$

物理学者の多項式では、次の式が成り立つと仮定します _。個々の係数は次の再帰式で関係付けられます。a 0,0 = 1、a _1,0 = 0、a _1,1 = 2。 $${\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k},}$$ $${\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).}$$ $${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-a_{n,k+1}&k=0,\\2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$$

エルミート多項式はアペル列を構成する。すなわち、次の恒等式を満たす多項式列である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}'(x)&=n\operatorname {He} _{n-1}(x),\\H_{n}'(x)&=2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

^[6]で導出され実証された積分回帰は次の通りである。 $${\displaystyle \operatorname {He} _{n+1}(x)=(n+1)\int _{0}^{x}\operatorname {He} _{n}(t)dt-He'_{n}(0),}$$

$${\displaystyle H_{n+1}(x)=2(n+1)\int _{0}^{x}H_{n}(t)dt-H'_{n}(0).}$$

同様に、 をテイラー展開することにより、これらの暗黒恒等式は自明であり、以下に詳述する微分作用素表現に含まれる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\operatorname {He} _{k}(y)&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)\operatorname {He} _{k}\left(y{\sqrt {2}}\right),\\H_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{k}(x)(2y)^{n-k}&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x)&=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},\\H_{n}(x)&=2^{n}e^{-{\frac {D^{2}}{4}}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

その結果、m次の導関数に対して次の関係が成り立ちます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}^{(m)}(x)&={\frac {n!}{(n-m)!}}\operatorname {He} _{n-m}(x)&&=m!{\binom {n}{m}}\operatorname {He} _{n-m}(x),\\H_{n}^{(m)}(x)&=2^{m}{\frac {n!}{(n-m)!}}H_{n-m}(x)&&=2^{m}m!{\binom {n}{m}}H_{n-m}(x).\end{aligned}}}$$

エルミート多項式も再帰関係を満たす。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n+1}(x)&=x\operatorname {He} _{n}(x)-n\operatorname {He} _{n-1}(x),\\H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

これらの最後の関係は、初期多項式H ₀ ( x )およびH ₁ ( x )とともに、実際には多項式を迅速に計算するために使用できます。

トゥランの不等式は $${\displaystyle {\mathit {H}}_{n}(x)^{2}-{\mathit {H}}_{n-1}(x){\mathit {H}}_{n+1}(x)=(n-1)!\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}{\mathit {H}}_{i}(x)^{2}>0.}$$

さらに、次の乗法定理が成り立ちます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}H_{n-2i}(x),\\\operatorname {He} _{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}2^{-i}\operatorname {He} _{n-2i}(x).\end{aligned}}}$$

明示的な表現

物理学者のエルミート多項式は次のように明示的に記述できる。 $${\displaystyle H_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n}{2}}{\frac {(-1)^{{\tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!\left({\tfrac {n}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l}&{\text{for even }}n,\\\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {(-1)^{{\frac {n-1}{2}}-l}}{(2l+1)!\left({\frac {n-1}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l+1}&{\text{for odd }}n.\end{cases}}}$$

これら 2 つの方程式は、floor 関数を使用して 1 つに結合することができます。 $${\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.}$$

確率論者のエルミート多項式にも同様の式があり、 2 xの累乗を対応する√ 2  xの累乗に置き換え、全体の合計に2 ^{− ⁠}を掛けることで得られる。^n/2⁠ : $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.}$$

逆明示的表現

上記の明示的な表現の逆、つまり確率論者のエルミート多項式による単項式の表現は、 $${\displaystyle x^{n}=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{m}m!(n-2m)!}}\operatorname {He} _{n-2m}(x).}$$

物理学者のエルミート多項式Hの対応する表現は、これを適切にスケーリングすることによって直接得られる：^[7] $${\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).}$$

母関数

エルミート多項式は指数生成関数によって与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {He} _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$$

この等式はxとtのすべての複素数値に対して成り立ち、関数z → e ^{− z 2}のxにおけるテイラー展開（物理学者の場合）を書くことで得られる。また、コーシーの積分公式を用いてエルミート多項式を次のように書くことで、 （物理学者の）生成関数を導くこともできる。 $${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {e^{-z^{2}}}{(z-x)^{n+1}}}\,dz.}$$

これを合計に使用すると、 留数計算を使用して残りの積分を評価し、目的の生成関数に到達できます。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},}$$

少し一般化すると^[8] $${\displaystyle e^{2xt-t^{2}}H_{k}(x-t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n+k}(x)t^{n}}{n!}}}$$

期待値

Xが標準偏差1、期待値μの正規分布に従う確率変数である場合、 $${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[\operatorname {He} _{n}(X)\right]=\mu ^{n}.}$$

標準正規分布のモーメント（期待値はゼロ）は、偶数添字の場合、関係式から直接読み取ることができます。ここで、(2 n − 1)!!は二重階乗です。上記の式は、確率論者のエルミート多項式をモーメントとして表現した特別な場合であることに注意してください。 $${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2n}\right]=(-1)^{n}\operatorname {He} _{2n}(0)=(2n-1)!!,}$$ $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy.}$$

積分表現

上記の生成関数の表現から、エルミート多項式は、原点を囲む輪郭線の ような輪郭積分による表現を持つことがわかります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}}{t^{n+1}}}\,dt,\\H_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{2tx-t^{2}}}{t^{n+1}}}\,dt,\end{aligned}}}$$

ガウス分布のフーリエ変換を用いると、 ${\displaystyle e^{-x^{2}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-t^{2}+2ixt}dt}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(x)&=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}={\frac {(-2i)^{n}e^{x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}\int t^{n}e^{-t^{2}+2ixt}dt\\\operatorname {He} _{n}(x)&={\frac {(-i)^{n}e^{x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\int t^{n}\,e^{-t^{2}/2+ixt}\,dt.\end{aligned}}}$$

その他の特性

判別式は超因子式として表現される：^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Disc} (H_{n})&=2^{{\frac {3}{2}}n(n-1)}\prod _{j=1}^{n}j^{j}\\\operatorname {Disc} (\operatorname {He} _{n})&=\prod _{j=1}^{n}j^{j}\end{aligned}}}$$

加法定理、あるいは和定理によれば、^{[10] [11] : 8.958 は}任意の非ゼロベクトルに対して成り立つ。 $${\displaystyle {\frac {\left(\sum _{k=1}^{r}a_{k}^{2}\right)^{\frac {n}{2}}}{n!}}H_{n}\left({\frac {\sum _{k=1}^{r}a_{k}x_{k}}{\sqrt {\sum _{k=1}^{r}a_{k}^{2}}}}\right)=\sum _{m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{r}=n,m_{i}\geq 0}\prod _{k=1}^{r}\left\{{\frac {a_{k}^{m_{k}}}{m_{k}!}}H_{m_{k}}\left(x_{k}\right)\right\}}$$ ${\displaystyle a_{1:r}}$

乗法定理によれば、^[10]は任意の非ゼロに対して成り立つ。 $${\displaystyle H_{n}\left(\lambda x\right)=\lambda ^{n}\sum _{\ell =0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {\left(-n\right)_{2\ell }}{\ell !}}(1-\lambda ^{-2})^{\ell }H_{n-2\ell }\left(x\right)}$$ ${\displaystyle \lambda }$

フェルドハイムの公式^{[12] ：式46}ここで、実部は正である。特別な場合として、^{[12] ：式52} $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {a\pi }}}&\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{a}}}H_{m}\left({\frac {x+y}{\lambda }}\right)H_{n}\left({\frac {x+z}{\mu }}\right)dx\\&=\left(1-{\frac {a}{\lambda ^{2}}}\right)^{\frac {m}{2}}\left(1-{\frac {a}{\mu ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}\sum _{r=0}^{\min(m,n)}r!{\binom {m}{r}}{\binom {n}{r}}\left({\frac {2a}{\sqrt {\left(\lambda ^{2}-a\right)\left(\mu ^{2}-a\right)}}}\right)^{r}H_{m-r}\left({\frac {y}{\sqrt {\lambda ^{2}-a}}}\right)H_{n-r}\left({\frac {z}{\sqrt {\mu ^{2}-a}}}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-t^{2}}H_{m}(t\sin \theta +v\cos \theta )H_{n}(t\cos \theta -v\sin \theta )dt=(-1)^{n}\cos ^{m}\theta \sin ^{n}\theta H_{m+n}(v)}$$

漸近解析

n → ∞のとき、^[13]より広い範囲の評価に関する特定のケースでは、振幅を変化させる係数を含める必要があります。これは、スターリング近似を用いて、極限において までさらに簡略化できます。この展開は、対応原理の極限において古典近似と一致するように量子調和振動子の波動関数を解くために必要です。項 は、位置 の形状のポテンシャル井戸内で古典粒子が見つかる確率に対応します。その全エネルギーが である場合に、この確率は、半古典解析における一般的な方法です。半古典近似は 付近で破綻します。この付近では古典粒子が折り返されます。これは折り畳みカタストロフィーであり、この点でエアリー関数が必要になります。^[14] $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)}$$ $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}},}$$ $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$$ ${\displaystyle \left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}x^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n+{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {2n+1}}}$

周波数の変化を考慮したより良い近似は次のように与えられる。 $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n+1-{\frac {x^{2}}{3}}}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$$

プランシュレル・ロタッチ漸近法は、エルミート多項式に適用され、端近くの零点の不均一な間隔を考慮に入れている。^[15]この方法は 、一様近似を得るための置換法を利用している。 $${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cos(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \pi -\varepsilon ,}$$ $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sin \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot \left(\sin \left({\frac {3\pi }{4}}+\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(\sin 2\varphi -2\varphi \right)\right)+O\left(n^{-1}\right)\right).}$$

同様の近似が単調領域および遷移領域でも成立する。具体的には、 tが複素数かつ有界であるとき、 となる 場合、近似は となる。ここで、 Aiは第一種エアリー関数である。 $${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cosh(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \omega <\infty ,}$$ $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}-{\frac {3}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sinh \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot e^{\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(2\varphi -\sinh 2\varphi \right)}\left(1+O\left(n^{-1}\right)\right),}$$ $${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}+t}$$ $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=\pi ^{\frac {1}{4}}2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}\,n^{-{\frac {1}{12}}}\left(\operatorname {Ai} \left(2^{\frac {1}{2}}n^{\frac {1}{6}}t\right)+O\left(n^{-{\frac {2}{3}}}\right)\right),}$$

特別な値

物理学者のエルミート多項式をゼロ引数H _n (0)で評価したものをエルミート数と呼ぶ。

$${\displaystyle H_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-2)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n,\end{cases}}}$$これは再帰関係H _n (0) = −2( n − 1) H _{n − 2} (0)を満たす。同様に、。 ${\displaystyle H_{2n}(0)=(-2)^{n}(2n-1)!!}$

確率多項式で表すと、これは次のように表される。 $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-1)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n.\end{cases}}}$$

キブル・スレピアン式

を実対称行列とすると、キブル・スレピアン公式はとなります。ここでは非負整数要素を持つすべての対称行列の - 倍の和、は のトレース、は と定義されます。これはのときのメーラーの公式を与えます。 ${\textstyle M}$ ${\textstyle n\times n}$ $${\displaystyle \det(I+M)^{-{\frac {1}{2}}}e^{x^{T}M(I+M)^{-1}x}=\sum _{K}\left[\prod _{1\leq i\leq j\leq n}{\frac {(M_{ij}/2)^{k_{ij}}}{k_{ij}!}}\right]2^{-tr(K)}H_{k_{1}}(x_{1})\cdots H_{k_{n}}(x_{n})}$$ ${\textstyle \sum _{K}}$ ${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\displaystyle tr(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\textstyle k_{i}}$ ${\textstyle k_{ii}+\sum _{j=1}^{n}k_{ij}}$ ${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&u\\u&0\end{bmatrix}}}$

同様に、が半正定値行列である場合に と設定すると、 となるので、 となる。 これを調和振動子のボソン量子力学に近い形で述べると、次のようになる。^[16]ここで、各 は調和振動子の - 番目の固有関数であり、次のように定義される。 Kibble–Slepian の公式は 1945 年に Kibble によって提案され^[17]、1972 年に Slepian によってフーリエ解析を用いて証明された。^[18] Foata は組み合わせ論的証明を与えた^[19]一方、Louck はボソン量子力学によって証明した。^[16]これは複素引数のエルミート多項式に対して一般化される。^{[20] [21]} ${\textstyle T}$ ${\textstyle M=-T(I+T)^{-1}}$ ${\textstyle M(I+M)^{-1}=-T}$ $${\displaystyle e^{-x^{T}Tx}=\det(I+T)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{K}\left[\prod _{1\leq i\leq j\leq n}{\frac {(M_{ij}/2)^{k_{ij}}}{k_{ij}!}}\right]2^{-tr(K)}H_{k_{1}}(x_{1})\dots H_{k_{n}}(x_{n})}$$ $${\displaystyle \pi ^{-n/4}\det(I+M)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{T}(I-M)(I+M)^{-1}x}=\sum _{K}\left[\prod _{1\leq i\leq j\leq n}M_{ij}^{k_{ij}}/k_{ij}!\right]\left[\prod _{1\leq i\leq n}k_{i}!\right]^{1/2}2^{-\operatorname {tr} K}\psi _{k_{1}}\left(x_{1}\right)\cdots \psi _{k_{n}}\left(x_{n}\right).}$$ ${\textstyle \psi _{n}(x)}$ ${\textstyle n}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x):={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!}}}\left({\frac {1}{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)}$$

ゼロ

を降順で並べたの根とします。を降順で並べたエアリー関数の - 番目の零点とします。 の対称性により、その根の正の半分だけを考えればよいことになります。 ${\displaystyle x_{n,1}>\dots >x_{n,n}}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle a_{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)}$ ${\displaystyle 0>a_{1}>a_{2}>\cdots }$ ${\displaystyle H_{n}}$

我々は^[9]各 に対して、 において漸近的に、^[9]ここで、 、および となる。 $${\displaystyle (2n+1)^{\frac {1}{2}}>x_{n,1}>x_{n,2}>\cdots >x_{n,\lfloor n/2\rfloor }>0.}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ $${\displaystyle x_{n,m}=(2n+1)^{\frac {1}{2}}+2^{-{\frac {1}{3}}}(2n+1)^{-{\frac {1}{6}}}a_{m}+\epsilon _{n,m},}$$ ${\displaystyle \epsilon _{n,m}=O\left(n^{-{\frac {5}{6}}}\right)}$ ${\displaystyle \epsilon _{n,m}<0}$

^{[22]および}ラゲール多項式の零点を含む公式も参照のこと。

を の根の累積分布関数とすると、半円法則^[23]が成り立ちます。スティルチェスの関係式は^{[24] [25]}であり、直線上の粒子の平衡位置として物理的に解釈でき、各粒子は直線力 によって原点に引き寄せられ、互いに反発する力 によって反発します。これは、正に帯電した粒子を実線に閉じ込め、各粒子をバネで原点に接続することで構築できます。これは静電モデルとも呼ばれ、ガウス集団の固有値のクーロン気体解釈に関連しています。 ${\displaystyle F_{n}(t):={\frac {1}{n}}\#\{i:x_{n,i}\leq t\}}$ ${\displaystyle H_{n}}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}({\sqrt {2n}}t)={\frac {2}{\pi }}\int _{-1}^{t}{\sqrt {1-s^{2}}}ds\quad t\in (-1,+1)}$$ $${\displaystyle -x_{n,i}+\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{x_{n,i}-x_{n,j}}}=0}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -x_{n,i}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x_{n,i}-x_{n,j}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

ゼロはスケーリングまでの多項式を指定するため、スティルチェス関係はエルミート多項式を一意に特徴付ける別の方法を提供します。

同様に、^[26] $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i}x_{n,i}^{2}&=\sum _{1\leq i\leq n}^{n}\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{n,i}-x_{n,j})^{2}}}\\x_{n,i}&=\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{x_{n,i}-x_{n,j}}}\\{\frac {2n-2-x_{n,i}^{2}}{3}}&=\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{n,i}-x_{n,j})^{2}}}\\{\frac {1}{2}}x_{n,i}&=\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{n,i}-x_{n,j})^{3}}}\end{aligned}}}$$

他の機能との関係

ラゲール多項式

エルミート多項式はラゲール多項式の特殊なケースとして表現できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-4)^{n}n!L_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k}}{k!}},\\H_{2n+1}(x)&=2(-4)^{n}n!xL_{n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=2\cdot 4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k+1}}{k!}}.\end{aligned}}}$$

超幾何関数

物理学者のエルミート多項式は、放物面円筒関数の特殊なケースとして表現できる。右半平面において、U ( a , b , z )はトリコミの合流型超幾何関数である。同様に、 1 _F 1 ₍ a , b ; z ) = M ( a , b ; z )はクンマーの合流型超幾何関数である。^[27] $${\displaystyle H_{n}(x)=2^{n}U\left(-{\tfrac {1}{2}}n,{\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}}\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {1}{2}};x^{2}{\big )},\\H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n+1)!}{n!}}\,2x\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {3}{2}};x^{2}{\big )},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {He} _{2n}(x)&=(-1)^{n}(2n-1)!!\;{}_{1}F_{1}\!\left(-n,{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{2}}\right),\\\mathrm {He} _{2n+1}(x)&=(-1)^{n}(2n+1)!!\;x\;{}_{1}F_{1}\!\left(-n,{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle H_{n}\left(x\right)=(2x)^{n}{{}_{2}F_{0}}\left({-{\tfrac {1}{2}}n,-{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{2}} \atop -};-{\frac {1}{x^{2}}}\right).}$$

制限関係

エルミート多項式は他の様々な多項式の極限として得られる。^[28]

ヤコビ多項式の極限として:超球面多項式の極限として:関連するラゲール多項式の極限として: $${\displaystyle \lim _{\alpha \to \infty }\alpha ^{-{\frac {1}{2}}n}P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}\left(\alpha ^{-{\frac {1}{2}}}x\right)={\frac {H_{n}\left(x\right)}{2^{n}n!}}.}$$ $${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\lambda ^{-{\frac {1}{2}}n}C_{n}^{(\lambda )}\left(\lambda ^{-{\frac {1}{2}}}x\right)={\frac {H_{n}\left(x\right)}{n!}}.}$$ $${\displaystyle \lim _{\alpha \to \infty }\left({\frac {2}{\alpha }}\right)^{{\frac {1}{2}}n}L_{n}^{(\alpha )}\left((2\alpha )^{\frac {1}{2}}x+\alpha \right)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}H_{n}\left(x\right).}$$

エルミート多項式展開

テイラー展開と同様に、いくつかの関数はエルミート多項式の無限和として表現できます。具体的には、 ならば、物理学者のエルミート多項式における展開が成り立ちます。^[29] ${\displaystyle \int e^{-x^{2}}f(x)^{2}dx<\infty }$

それはあまり速く成長しないので、エルミート展開を持つ。^[30] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=\sum _{k}{\frac {\mathbb {E} _{X\sim {\mathcal {N}}(0,1)}[f^{(k)}(X)]}{k!}}\operatorname {He} _{k}(x)}$

このような が与えられたとき、 のエルミート展開の部分和がノルム内で に収束することと が等しい場合、かつ に限ります。^[31]確率論者のべき関数のエルミート展開は、正の符号を除いて確率論者のエルミート多項式のべき展開と同じです。例えば、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 4/3<p<4}$ $${\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\,\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {1}{k!\,(n-2k)!}}\,H_{n-2k}(x)=n!\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {1}{k!\,2^{k}\,(n-2k)!}}\,\operatorname {He} _{n-2k}(x),\qquad n\in \mathbb {Z} _{+}.}$$ $${\displaystyle e^{ax}=e^{a^{2}/4}\sum _{n\geq 0}{\frac {a^{n}}{n!\,2^{n}}}\,H_{n}(x),\qquad a\in \mathbb {C} ,\quad x\in \mathbb {R} .}$$ $${\displaystyle e^{-a^{2}x^{2}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}a^{2n}}{n!\left(1+a^{2}\right)^{n+1/2}2^{2n}}}\,H_{2n}(x).}$$ $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}~dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{k!(2k+1)2^{3k}}}H_{2k+1}(x).}$$ $${\displaystyle \cosh(ax)=e^{a^{2}/2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {a^{2m}}{(2m)!}}\,\mathrm {He} _{2m}(x),\quad \sinh(ax)=e^{a^{2}/2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {a^{2m+1}}{(2m+1)!}}\,\mathrm {He} _{2m+1}(x)}$$ $${\displaystyle \cos(ax)=e^{-a^{2}/2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}a^{2m}}{(2m)!}}\,\mathrm {He} _{2m}(x),\quad \sin(ax)=e^{-a^{2}/2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}a^{2m+1}}{(2m+1)!}}\,\mathrm {He} _{2m+1}(x)}$$ $${\displaystyle \delta ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!!}}\operatorname {He} _{2k}}$$ $${\displaystyle 1_{x>0}={\frac {1}{2}}\operatorname {He} _{0}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!!(2k+1)}}\operatorname {He} _{2k+1}}$$ $${\displaystyle \operatorname {He} _{3}(x)=x^{3}-3x,\quad x^{3}=\operatorname {He} _{3}(x)+3\operatorname {He} _{1}(x)}$$

微分演算子表現

確率論者のエルミート多項式は恒等式^[32] を満たす。ここでDはxに関する微分を表し、指数関数はそれをべき級数として展開することで解釈される。この級数は多項式に適用する場合、有限個を除くすべての項が消滅するため、収束に関する微妙な問題は生じない。 $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},}$$

指数関数のべき級数係数はよく知られており、単項式x ⁿの高次導関数を明示的に記述できるため、この微分演算子表現により、これらの多項式を迅速に計算するために使用できるH _nの係数の具体的な式が生成されます。

ワイエル_シュトラス変換 Wの正式な表現はe ^{D 2}なので、( √2 ) ^nHen ( ⁠×/√2​⁠ )はx ⁿです。本質的には、ワイエルシュトラス変換はエルミート多項式級数を対応するマクローリン級数に変換します。

He _n ( x ) = g ( D ) x ⁿを満たすような、定数係数が非零である形式的な冪級数g ( D )の存在は、これらの多項式がアペル列を形成するという主張と同値である。これらはアペル列であるがゆえに、シェファー列でもある。

一般化

分散

上記で定義した確率論者のエルミート多項式は標準​​正規確率分布に対して直交しており、その密度関数は期待値が 0 で分散が 1 です。 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$$

スケーリングに関しては、分散αの一般化エルミート多項式^[33]についても同様である。ここでαは任意の正数である。これらは、密度関数が以下の正規確率分布と直交する。これらは次のように与えられる。 $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \alpha }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\alpha }}}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)=\alpha ^{\frac {n}{2}}\operatorname {He} _{n}\left({\frac {x}{\sqrt {\alpha }}}\right)=\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{\frac {n}{2}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2\alpha }}}\right)=e^{-{\frac {\alpha D^{2}}{2}}}\left(x^{n}\right).}$$

さて、 n番目の項がである多項式列は、 2つの多項式列の暗黒合成と呼ばれます。これは恒等式とを満たすことが示されます。最後の恒等式は、このパラメータ化された多項式列の族がクロス列として知られることで表現されます。（上記のAppell列と微分作用素表現のセクションを参照。そこから容易に導出できます。この二項式型の恒等式は、 α = β = ⁠に対して、 $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)=\sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}x^{k},}$$ $${\displaystyle \left(\operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}\circ \operatorname {He} ^{[\beta ]}\right)(x)\equiv \sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}\,\operatorname {He} _{k}^{[\beta ]}(x)}$$ $${\displaystyle \left(\operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}\circ \operatorname {He} ^{[\beta ]}\right)(x)=\operatorname {He} _{n}^{[\alpha +\beta ]}(x)}$$ $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha +\beta ]}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{k}^{[\alpha ]}(x)\operatorname {He} _{n-k}^{[\beta ]}(y).}$$1/2⁠ は、すでに上記の #再帰関係 のセクションで説明されています。

「マイナスの差異」

多項式列は陰影合成の作用下で群を形成するため、同様に表記される列の逆数列でマイナス符号を除いたものを と表記することができ、これは負分散のエルミート多項式と呼ばれる。α > 0の場合、 の係数はの対応する係数の絶対値に等しい。 $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[-\alpha ]}(x)}$$ ${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[-\alpha ]}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)}$

これらは正規確率分布のモーメントとして現れる。期待値μ、分散σ2^の正規分布のn次のモーメントは、 Xが指定された正規分布に従う確率変数 である。クロスシーケンス恒等式の特別なケースは、次のようになる。 $${\displaystyle E[X^{n}]=\operatorname {He} _{n}^{[-\sigma ^{2}]}(\mu ),}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{k}^{[\alpha ]}(x)\operatorname {He} _{n-k}^{[-\alpha ]}(y)=\operatorname {He} _{n}^{[0]}(x+y)=(x+y)^{n}.}$$

エルミート関数

意味

物理学者の多項式からエルミート関数（エルミートガウス関数とも呼ばれる）を定義することができる。 $${\displaystyle \psi _{n}(x)=\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}H_{n}(x)=(-1)^{n}\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.}$$ $${\displaystyle {\sqrt {2(n+1)}}~~\psi _{n+1}(x)=\left(x-{d \over dx}\right)\psi _{n}(x).}$$

これらの関数は重み関数の平方根を含み、適切にスケーリングされているため、正規直交であり、 L ² ( R )の正規直交基底を形成します。この事実は、エルミート多項式（上記参照）における対応する記述と等価です。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,dx=\delta _{nm},}$$

エルミート関数は、ウィテカー関数（Whittaker & Watson 1996）D _n ( z )と密接に関連しており、 他の放物面円筒関数とも関連しています。 $${\displaystyle D_{n}(z)=\left(n!{\sqrt {\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\psi _{n}\left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)=(-1)^{n}e^{\frac {z^{2}}{4}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}e^{\frac {-z^{2}}{2}}}$$

エルミート関数は、次の微分方程式を満たします。この方程式は、量子力学における調和振動子のシュレーディンガー方程式と等価であるため、これらの関数は固有関数です。 $${\displaystyle \psi _{n}''(x)+\left(2n+1-x^{2}\right)\psi _{n}(x)=0.}$$

エルミート関数: 0 (青、実線)、1 (オレンジ、破線)、2 (緑、一点鎖線)、3 (赤、点線)、4 (紫、実線)、5 (茶色、破線)

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}(x)&=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{1}(x)&={\sqrt {2}}\,\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,x\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{2}(x)&=\left({\sqrt {2}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{2}-1\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{3}(x)&=\left({\sqrt {3}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{3}-3x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{4}(x)&=\left(2{\sqrt {6}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{4}-12x^{2}+3\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{5}(x)&=\left(2{\sqrt {15}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{5}-20x^{3}+15x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.\end{aligned}}}$$

エルミート関数: 0 (青、実線)、2 (オレンジ、破線)、4 (緑、点線)、50 (赤、実線)

再帰関係

エルミート多項式の再帰関係に従って、エルミート関数は従い、 $${\displaystyle \psi _{n}'(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x)}$$ $${\displaystyle x\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x).}$$

最初の関係を任意の正の整数mに対する任意のm次導関数に拡張すると、次の式が得られる。 $${\displaystyle \psi _{n}^{(m)}(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{k}2^{\frac {m-k}{2}}{\sqrt {\frac {n!}{(n-m+k)!}}}\psi _{n-m+k}(x)\operatorname {He} _{k}(x).}$$

この式は、 He _nとψ _nの再帰関係と組み合わせて使用​​することで、エルミート関数の導関数を効率的に計算できます。

クラメールの不等式

実数xに対して、エルミート関数はハラルド・クラマー^{[34] [35]}とジャック・インドリッツ^{[36]による以下の境界を満たす：} $${\displaystyle {\bigl |}\psi _{n}(x){\bigr |}\leq \pi ^{-{\frac {1}{4}}}.}$$

フーリエ変換の固有関数として

エルミート関数ψ _n ( x )は、連続フーリエ変換Fの固有関数の集合です。これを確認するには、物理​​学者による生成関数にe ^{− ⁠を掛けます。 1/2⁠ x 2}。これは $${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$$

左辺のフーリエ変換は次のように与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\right\}(k)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ixk}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\,dx\\&=e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}-2kit+t^{2}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k){\frac {(-it)^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$$

右辺のフーリエ変換は次のように与えられる。 $${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.}$$

左辺と右辺の変形版におけるtの同乗を等しくすると、最終的に次の式が得られる。 $${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}=(-i)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k).}$$

したがって、エルミート関数ψn ₍ x )はL2 ( R )の直交基底となり、フーリエ変換演算子を対角化する。^[37]つまり、次の式が得られる^。 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int e^{-ikx}\psi _{n}(x)dx=(-i)^{n}\psi _{n}(k),\quad {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int e^{+ikx}\psi _{n}(k)dk=i^{n}\psi _{n}(x)}$$

ウィグナー分布関数

n次エルミート関数のウィグナー分布関数は、 n次ラゲール多項式と関連しています。ラゲール多項式は、振動 子ラゲール関数につながります。すべての自然整数nに対して、 ^[38]が証明できます。ここで、関数ψ ∈ L ² ( R , C )のウィグナー分布は次のように定義されます 。これは、ヒップ・グローネウォルドが 1946 年に博士論文で発見した量子調和振動子の基本的な結果です。^{[39]これは}、位相空間における量子力学の標準的なパラダイムです。 $${\displaystyle L_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k},}$$ $${\displaystyle l_{n}(x):=e^{-{\frac {x}{2}}}L_{n}(x).}$$ $${\displaystyle W_{\psi _{n}}(t,f)=2\,(-1)^{n}\,l_{n}{\big (}4\pi (t^{2}+f^{2}){\big )},}$$ $${\displaystyle W_{\psi }(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi \left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\,\psi \left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{*}\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$$

2 つの多項式ファミリーの間にはさらなる関係があります。

部分重なり積分

^{[40] [41]}によれば、与えられた区間における2つの異なるエルミート関数（）の重なりは、次の正確な結果をもたらす。 ${\displaystyle k\neq \ell }$ $${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}\psi _{k}(x)\psi _{\ell }(x)\,dx={\frac {1}{2(\ell -k)}}\left(\psi _{k}'(x_{2})\psi _{\ell }(x_{2})-\psi _{\ell }'(x_{2})\psi _{k}(x_{2})-\psi _{k}'(x_{1})\psi _{\ell }(x_{1})+\psi _{\ell }'(x_{1})\psi _{k}(x_{1})\right).}$$

係数の組み合わせ的解釈

分散1のエルミート多項式He _n ( x )において、 x ^kの係数の絶対値は、n要素集合をk個の単一要素に分割する（順序付けされていない）分割数であり、 ⁠n − k/2⁠ （順序なし）ペア。これは、正確にk 個の固定点を持つn要素集合の反転の数、言い換えれば、 n頂点の完全グラフにおいてk個の頂点が未カバーとなるマッチングの数です（実際、エルミート多項式はこれらのグラフのマッチング多項式です）。係数の絶対値の合計は、シングルトンとペア​​への分割の総数、いわゆる電話番号を与えます。

1、1、2、4、10、26、76、232、764、2620、9496、...（OEISのシーケンスA000085）。

この組み合わせ解釈は、すべてのi > 2に対してx _i = 0となる 完全指数ベル多項式に関連付けることができます。 $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots ,0),}$$

これらの数はエルミート多項式の特別な値として表すこともできる。^[42] $${\displaystyle T(n)={\frac {\operatorname {He} _{n}(i)}{i^{n}}}.}$$

完全性関係

エルミート多項式のクリストッフェル・ダルブー公式は次のようになる。 $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {H_{k}(x)H_{k}(y)}{k!2^{k}}}={\frac {1}{n!2^{n+1}}}\,{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}(y)}{x-y}}.}$$

さらに、上記のエルミート関数の完全性恒等式は超関数の意味で成り立ちます。ここで、 δはディラックのデルタ関数、ψ _{n は}エルミート関数、δ ( x − y )はR ²の直線y = x上のルベーグ測度を表し、水平軸への投影が通常のルベーグ測度になるように正規化されています。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)=\delta (x-y),}$$

この分布恒等式はウィーナー（1958）に従い、メーラーの公式においてu → 1とすることで成り立ち、−1 < u < 1のときに有効である。これはしばしば分離可能な核として同値に述べられる。^{[43] [44]} $${\displaystyle E(x,y;u):=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\,\psi _{n}(x)\,\psi _{n}(y)={\frac {1}{\sqrt {\pi (1-u^{2})}}}\,\exp \left(-{\frac {1-u}{1+u}}\,{\frac {(x+y)^{2}}{4}}-{\frac {1+u}{1-u}}\,{\frac {(x-y)^{2}}{4}}\right),}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)H_{n}(y)}{n!}}\left({\frac {u}{2}}\right)^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}e^{{\frac {2u}{1+u}}xy-{\frac {u^{2}}{1-u^{2}}}(x-y)^{2}}.}$$

関数( x , y ) → E ( x , y ; u )はR ²上の二変量ガウス確率密度であり、uが1に近い場合、直線y = xの周囲に非常に集中し、その直線上では非常に広がる。したがって、 fとg が連続かつコンパクトに支えられている場合、 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\langle f,\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n},g\rangle =\iint E(x,y;u)f(x){\overline {g(y)}}\,dx\,dy\to \int f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\langle f,g\rangle }$$

このことから、fはエルミート関数でL ² ( R )のベクトルの級数の和として表すことができることがわかる。すなわち、 $${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }\langle f,\psi _{n}\rangle \psi _{n}.}$$

上記のE ( x , y ; u )の等式を証明するために、ガウス関数のフーリエ変換を繰り返し使用します。 $${\displaystyle \rho {\sqrt {\pi }}e^{-{\frac {\rho ^{2}x^{2}}{4}}}=\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{\rho ^{2}}}}\,ds\quad {\text{for }}\rho >0.}$$

エルミート多項式は次のように表される。 $${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left({\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds\right)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int (is)^{n}e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds.}$$

H _n ( x )とH _n ( y )のこの表現から、次の式が得られることは明らかであり、これは、置換の下でのガウス核のフーリエ変換を再び使用して、恒等式の結果の望ましい解決をもたらす。 $${\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y;u)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}\,H_{n}(x)H_{n}(y)e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint \left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n!}}(-ust)^{n}\right)e^{isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint e^{-{\frac {ust}{2}}}\,e^{isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle s={\frac {\sigma +\tau }{\sqrt {2}}},\quad t={\frac {\sigma -\tau }{\sqrt {2}}}.}$$

参照

• エルミート変換
• ルジャンドル多項式
• メーラー核
• 放物面円筒関数
• ロマノフスキー多項式
• トゥランの不等式

注記

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外部リンク

• ウィキメディア・コモンズのエルミート多項式関連メディア
• ワイスタイン、エリック W.「エルミート多項式」。マスワールド。
• GNU Scientific Library — Cバージョンのエルミート多項式、関数、その導関数、零点が含まれています ( GNU Scientific Libraryも参照)

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