ヘロンの三角形

Triangle whose side lengths and area are integers

幾何学において、ヘロン三角形（ヘロンさんさんさん、英: Heronian triangle）は、辺の長さa、b、cと面積Aがいずれも正の整数である三角形である。^{[1] [2]}ヘロン三角形は、アレクサンドリアのヘロンにちなんで名付けられた。これは、ヘロンが辺の長さが13、14、15で面積が84 の三角形を例として示したヘロンの公式との関係に基づくものである。^[3]

ヘロンの公式は、ヘロン三角形がディオファントス方程式の正の整数解と全く同じであることを示唆している。

${\displaystyle 16\,A^{2}=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b);}$

つまり、任意のヘロン三角形の辺の長さと面積はこの方程式を満たし、この方程式の任意の正の整数解はヘロン三角形を記述する。^[4]

3 辺の長さが互いに素である場合（つまり、3 辺すべての最大公約数が 1 である場合）、ヘロン三角形は原始三角形と呼ばれます。

辺の長さと面積がすべて有理数（上記の式の正の有理解）である三角形は、ヘロン三角形または有理三角形と呼ばれることもあります。^[5]本稿では、これらのより一般的な三角形を有理ヘロン三角形と呼びます。すべての（整数）ヘロン三角形は有理ヘロン三角形です。逆に、すべての有理ヘロン三角形は、ちょうど1つの原始ヘロン三角形と幾何学的に相似です。

任意の有理ヘロン三角形では、3 つの高さ、外接半径、内接半径と外接半径、および3 つの角度の正弦と余弦もすべて有理数です。

プリミティブ三角形へのスケーリング

三角形をs倍に拡大縮小するには、辺の長さをs倍にします。これにより面積が s 倍になり、相似三角形が生成されます。有理ヘロン三角形を有理係数で拡大縮小すると、別の有理ヘロン三角形が生成されます。 ${\displaystyle s^{2}}$

辺の長さが である有理ヘロン三角形が与えられると、スケール係数 は、辺の長さが互いに素な整数となるような有理ヘロン三角形を生成します。以下で、面積Aが整数であることが証明され、したがってこの三角形はヘロン三角形です。このような三角形は、しばしば原始ヘロン三角形と呼ばれます。 ${\textstyle {\frac {p}{d}},{\frac {q}{d}},{\frac {r}{d}},}$ ${\textstyle {\frac {d}{\gcd(p,q,r)}}}$ ${\textstyle a,b,c}$

要約すると、有理ヘロン三角形の相似類には、原始ヘロン三角形がちょうど1つ含まれます。この証明の副産物として、原始ヘロン三角形の辺の長さのちょうど1つが偶数であることが分かります。

証明:有理ヘロン三角形の辺の長さが互いに素な整数である場合、面積Aも整数であり、辺の長さの 1 つが偶数であることを証明する必要があります。 ${\textstyle a,b,c}$

導入部で示したディオファントス方程式から、 が整数であることがすぐに分かります。整数の平方根は整数か無理数のいずれかであるため、その平方根も整数です。 ${\displaystyle 16A^{2}}$ ${\displaystyle 4A}$

ちょうど 1 つの辺の長さが偶数の場合、方程式の右側の因数はすべて偶数であり、方程式を16で割ると、 とが整数であることがわかります。 ${\displaystyle A^{2}}$ ${\displaystyle A}$

辺の長さは互いに素であると仮定されているので、1つまたは3つの辺の長さが奇数となるケースが残る。cが奇数であると仮定すると、ディオファントス方程式の右辺は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle ((a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(a-b)^{2}),}$

と偶数。奇数の平方は4を法として合同なので、方程式の右辺は4を法として合同でなければなりません。したがって、ディオファントス方程式の解は不可能です。なぜなら、は整数の平方でなければならず、整数の平方は4を法として0または1と合同だからです。 ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 16A^{2}}$

例

ピタゴラス三角形はヘロン三角形です。定義により、ピタゴラス三角形の辺の長さは整数です。ピタゴラス三角形では、2つの短い辺のうち1つが長さが等しいため、面積（2辺の積を2で割った値）も整数になります。

辺の長さがc、e、b + d、高さがaの三角形。

直角ではないヘロン三角形の例としては、ピタゴラス三角形とその鏡像を直角の辺に沿って結んだ二等辺三角形があります。ピタゴラスの三つ組 3, 4, 5から、辺の長さが(5, 5, 6)と(5, 5, 8)、面積が12の2つのヘロン三角形が得られます。

より一般的には、 2 つのピタゴラス数列と、最大の要素cおよびeがある場合、長さaの辺に沿って対応する三角形を結合して(図を参照)、辺の長さと面積(ピタゴラス三角形の面積は整数なので、これは整数です)を持つヘロン三角形を得ることができます。 ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle (a,d,e)}$ ${\displaystyle c,e,b+d}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}a(b+d)}$

ピタゴラス三角形を結合しても得られないヘロン三角形があります。たとえば、辺の長さがで面積が 72 のヘロン三角形は、高さがいずれも整数ではないためです。このようなヘロン三角形は、分解不可能として知られています。^{[6]しかし、すべてのヘロン三角形は、}有理数の辺の長さを持つ直角三角形から構成できるため、分解可能なヘロン三角形に類似しています。実際には、三角形の高さの少なくとも 1 つは三角形の内側にあり、三角形を 2 つの直角三角形に分割します。これらの三角形は有理数の辺を持ちます。ヘロン三角形の角度のコサインとサインは有理数であり、図の表記を用いると、およびが成り立ち、が三角形の左端の角度です。 ${\displaystyle 5,29,30}$ ${\displaystyle a=c\sin \alpha }$ ${\displaystyle b=c\cos \alpha ,}$ ${\displaystyle \alpha }$

合理性の特性

ヘロン三角形に関連する多くの量は有理数である。特に、

• ヘロン三角形の高さはすべて有理数である。^[7]これは、三角形の面積が一辺の半分とその辺からの高さの積であることからわかる。ヘロン三角形は辺と面積が整数である。一部のヘロン三角形には、3つの高さが整数でないものがある。例えば、鋭角三角形（15, 34, 35）は面積が252、鈍角三角形（5, 29, 30）は面積が72である。1つ以上の高さが整数でないヘロン三角形は、高さの分母の最小公倍数に等しい係数で拡大することで、 3つの高さが整数である同様のヘロン三角形を得ることができる。
• ヘロン三角形のすべての内部垂直二等分線は有理数です。任意の三角形に対して、これらはで与えられ、辺はa ≥ b ≥ cで面積はAです。^[8]ヘロン三角形では、 a、b、c、Aはすべて整数です。 ${\displaystyle p_{a}={\tfrac {2aA}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$ ${\displaystyle p_{b}={\tfrac {2bA}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$ ${\displaystyle p_{c}={\tfrac {2cA}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},}$
• ヘロン三角形の内角はすべて有理正弦を持つ。これは面積の公式「面積= (1/2) ab sin C 」から導かれる。ここで、面積と辺a、bは整数であり、他の内角についても同様である。
• ヘロン三角形の内角はすべて有理余弦を持つ。これは余弦定理c ² = a ² + b ² − 2 ab cos Cから導かれる。ここで、辺a、b、cは整数であり、他の内角についても同様である。
• すべてのヘロン三角形では内角の正弦と余弦が有理数であるため、各内角の正接、余弦、割線、余弦は有理数または無限大のいずれかであることを意味します。
• 各内角の半分は有理正接を持つ。なぜなら、tan C /2 = sin C / (1 + cos C )であり、他の内角についても同様である。これらの半角正接の値（少なくとも2つ）が分かれば、原始ヘロン三角形の辺の長さを復元するのに十分である（下記参照）。
• どのような三角形でも、外接円の中心から見た 1 辺のなす角は、その辺と反対側の三角形の頂点の内角の 2 倍です。ヘロン三角形の各内角の半角接線が有理数であるため、ヘロン三角形の各中心角の 1/4 角接線も有理数となります。(また、1/4 角接線は、ブラフマグプタ四辺形の中心角とすべての既知のロビンズ五角形に対して有理数ですが、一般にすべてのロビンズ五角形に当てはまるかどうかは未解決の問題です。) 逆は一般にすべての環状多角形に当てはまります。つまり、そのような中心角のすべてが 1/4 角に対して有理数接線を持つ場合、環状多角形は、面積、辺、対角線 (任意の 2 つの頂点を結ぶ) が同時に整数になるように拡大縮小できます。
• 3つの内角が等差数列を形成するヘロン三角形は存在しない。これは、等差数列を形成する内角を持つすべての平面三角形は、必ず60°の内角を1つ持つが、その内角は有理正弦を持たないからである。^[9]
• ヘロン三角形に内接する正方形はいずれも有理数辺を持つ。一般的な三角形では、長さaの辺に内接する正方形の長さは、三角形の面積Aとしたとき、Aである。 ^[10]ヘロン三角形では、Aとaはどちらも整数である。 ${\displaystyle {\tfrac {2Aa}{a^{2}+2A}}}$
• すべてのヘロン三角形には有理数の内接円の半径があります。一般的な三角形の場合、内接円の半径は面積と周囲の半分の比であり、ヘロン三角形ではこれらが両方とも有理数です。
• すべてのヘロン三角形には有理数の外接半径（外接円の半径）があります。一般的な三角形の場合、外接半径は辺の積を面積で割った値の 4 分の 1 に等しくなりますが、ヘロン三角形では辺と面積は整数です。
• ヘロン三角形では、重心から各辺までの距離は有理数である。なぜなら、すべての三角形において、この距離は面積の2倍と辺の長さの3倍の比となるからである。^{[11]これは、}重心座標が有理数比であるヘロン三角形に関連付けられたすべての中心は、各辺から有理数距離を持つと一般化できる。これらの中心には、外心、垂心、九点中心、対称点、ジェルゴンヌ点、ナーゲル点が含まれる。^[12]
• すべてのヘロン三角形は、各頂点が格子点にある単位辺の正方格子上に配置できます。 ^[13]結果として、すべての有理ヘロン三角形は、すべて有理数値の座標を持つ2次元直交座標系に配置できます。

辺の長さの性質

ここでは、辺の長さがa、b、cで面積がAであるヘロン三角形の辺の長さに関するいくつかの特性を示します。

• すべての原始ヘロン三角形は、1つの偶数辺と2つの奇数辺を持ちます（§ 原始三角形のスケーリングを参照）。したがって、ヘロン三角形は1つまたは3つの辺の長さが偶数であり、^{[14] : p.3}、また原始ヘロン三角形の周長は常に偶数です。^[15]
• 原始ヘロン三角形は1つの偶数辺と2つの奇数辺を持つため、正ヘロン三角形は存在しません。^[7]
• ヘロンの三角形の面積は常に6で割り切れる。^{[16] [15]}
• 辺の長さが1または2であるヘロン三角形は存在しない。^{[17] [1]}
• 与えられたaに等しい一辺の長さを持つ原始ヘロン三角形は無限に存在する（a > 2）。^[1]
• ヘロンの三角形の半周s は素数にはなれません (面積の二乗が素数であるのと同様に、面積は整数です。s が素数であれば、別の因数を割り切れますが、これらの因数はすべてsより小さいので、これは不可能です)。 ${\displaystyle s(s-a)(s-b)(s-c)}$
• 高さが整数でないヘロン三角形 (分解不可能かつ非ピタゴラス三角形) では、すべての辺の長さは 4 k + 1の形式の素因数を持ちます。^[6]原始ピタゴラス三角形では、斜辺のすべての素因数は4 k + 1の形式です。分解可能なヘロン三角形には、ピタゴラス三角形の斜辺となる 2 辺が必ずあるため、4 k + 1の形式の素因数が 2 辺になります。分解可能なヘロン三角形のピタゴラス成分は、ヘロン三角形が原始的であっても原始的である必要はないため、 4 k + 3の形式の素因数が存在する場合もあります。まとめると、すべてのヘロン三角形には、 4 k + 1の形式の素数で割り切れる辺が少なくとも 1 つあります。
• 辺の長さが等比数列を形成するヘロン三角形は存在しない。^[18]
• ヘロン三角形の2辺（3辺ではない）に共通因数がある場合、その因数は2つの平方数の和でなければならない。^[19]

パラメータ化

ヘロン三角形の媒介変数方程式または媒介変数化は、三角形の辺の長さと面積をいくつかのパラメータの関数（通常は多項式関数）として表すもので、三角形がヘロン三角形であるためには、パラメータがいくつかの制約（通常は不等式を満たす正の整数であること）を満たす必要がある。また、一般に、すべてのヘロン三角形は、パラメータのある値に対して、あるスケーリングまで得られること、そして三角形の辺の順序が指定されている場合、これらの値が一意であることが求められる。

このような媒介変数化の最初の発見はブラーマグプタ（598-668年）によってなされましたが、彼はすべてのヘロン三角形がその媒介変数化によって生成されることを証明しませんでした。18世紀には、レオンハルト・オイラーが別の媒介変数化を提示し、それがすべてのヘロン三角形を生成することを証明しました。これらの媒介変数化については、次の2つの節で説明します。

第3節では、有理数媒介変数化（つまり、媒介変数が正の有理数である媒介変数化）が、ヘロン三角形の性質から自然に導かれる。この有理数媒介変数化から、分母を消去することで、ブラフマグプタとオイラーの両方の媒介変数化を復元することができる。これは、ブラフマグプタとオイラーの媒介変数化がすべてのヘロン三角形を生成することを証明する。

ブラフマグプタの媒介変数方程式

インドの数学者ブラフマグプタ（598-668年）は、ヘロン三角形を生成するための以下の媒介変数方程式を発見したが^{[20] 、ヘロン三角形のすべての}相似クラスがこの方法で得られることを証明したわけではない。^[要出典]

互いに素な3つの正の整数m、n、k（ ）に対して、 （正の辺の長さを保証するため）および（一意性のため）を満たす。 ${\displaystyle \gcd(m,n,k)=1}$ ${\displaystyle mn>k^{2}}$ ${\displaystyle m\geq n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=n(m^{2}+k^{2}),&s-a&={\tfrac {1}{2}}(b+c-a)=n(mn-k^{2}),\\b&=m(n^{2}+k^{2}),&s-b&={\tfrac {1}{2}}(c+a-b)=m(mn-k^{2}),\\c&=(m+n)(mn-k^{2}),&s-c&={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)=(m+n)k^{2},\\&&s&={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)=mn(m+n),\\A&=mnk(m+n)(mn-k^{2}),&r&=k(mn-k^{2}),\\\end{aligned}}}$

ここで、 sは半周、Aは面積、rは内接円の半径です。

結果として得られるヘロン三角形は必ずしも原始三角形とは限らず、対応する原始三角形を得るためにはスケーリングが必要になる場合があります。例えば、m = 36、n = 4、k = 3とすると、 a = 5220、b = 900、c = 5400の三角形が生成されます。これは、比例係数が180である(5, 29, 30)ヘロン三角形に類似しています。

生成された三角形が原始的ではないという事実は、大きさを予測できないため、与えられた境界より小さいサイズの長さを持つすべてのヘロン三角形を生成するためにこのパラメータ化を使用する際の障害となる。^[20] ${\displaystyle \gcd(a,b,c)}$

オイラーの媒介変数方程式

すべてのヘロン三角形を生成する以下の方法は、レオンハルト・オイラー[ ^21]によって発見されました。彼は、そのような三角形すべてを初めて証明可能にパラメータ化しました。

4つの正の整数mがnと互いに素であり、pがq （） ${\displaystyle \gcd {(m,n)}=\gcd {(p,q)}=1}$と互いに素で、かつ（正の辺の長さを保証するため）次を満たすとき： ${\displaystyle mp>nq}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=mn(p^{2}+q^{2}),&s-a&=mq(mp-nq),\\b&=pq(m^{2}+n^{2}),&s-b&=np(mp-nq),\\c&=(mq+np)(mp-nq),&s-c&=nq(mq+np),\\&&s&=mp(mq+np),\\A&=mnpq(mq+np)(mp-nq),&r&=nq(mp-nq),\\\end{aligned}}}$

ここで、 sは半周、Aは面積、rは内接円の半径です。

m、n、p、qが互いに素であっても、結果として得られるヘロン三角形は原始的ではない場合があります。特に、 m、n、p、qがすべて奇数の場合、3 辺の長さは偶数になります。a、b、cが2以外の公約数を持つ可能性もあります。たとえば、m = 2、n = 1、p = 7、q = 4の場合、( a、b、c ) = (130、 140、 150)となり、各辺の長さは10の倍数になります。対応する原始 3 つ組は(13、 14、 15)ですが、これはm = 2、n = 1、p = 3、q = 2の結果の 3 つ組を 2 で割り、 bとcを交換することでも得られます。

半角接線のパラメータ化

テキストのように辺の長さと内角がラベル付けされた三角形

任意の三角形の辺の長さを 、これらの辺の向かい合う内角を 、半角タンジェントを ととします。これらの値はすべて正で を満たします。この「三重タンジェント恒等式」は、三角形の基本恒等式の半角タンジェント版をラジアン（つまり 90°）で表したものです。これは、タンジェントの加法公式を用いて証明できます。正弦と余弦の法則により、三角形が有理ヘロン三角形である場合、 のすべての正弦と余弦は有理数です。また、半角タンジェントは正弦と余弦の有理関数であるため、半角タンジェントも有理数であることがわかります。 ${\displaystyle a,b,c>0}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ${\textstyle t=\tan {\frac {\alpha }{2}},}$ ${\textstyle u=\tan {\frac {\beta }{2}},}$ ${\textstyle v=\tan {\frac {\gamma }{2}}}$ ${\displaystyle t,u,v}$ ${\displaystyle tu+uv+vt=1}$ ${\textstyle {\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\beta }{2}}+{\frac {\gamma }{2}}={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$

逆に、が正の有理数である場合、それらは相似ヘロン三角形のクラスの内角の半角正接であることがわかります。^[22]条件はに並べ替えることができ、制約はを必要とします。したがって、有理ヘロン三角形の相似クラスと、積が1未満である正の有理数のペアの間には一対一の関係があります。 ${\displaystyle t,u,v}$ ${\displaystyle tu+uv+vt=1,}$ ${\displaystyle tu+uv+vt=1}$ ${\textstyle v={\frac {1-tu}{t+u}},}$ ${\displaystyle v>0}$ ${\displaystyle tu<1.}$ ${\displaystyle (t,u)}$

この一対一関係を明確にするために、相似類の特定のメンバーとして、対角の正弦に等しい辺の長さを持つ単位直径の円に内接する三角形を選ぶことができる。^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&s-a={\frac {2u(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\[5mu]b&=\sin \beta ={\frac {2u}{1+u^{2}}},&s-b={\frac {2t(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\[5mu]c&=\sin \gamma ={\frac {2(t+u)(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},&s-c={\frac {2tu(t+u)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\[5mu]&&s={\frac {2(t+u)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\A&={\frac {4tu(t+u)(1-tu)}{(1+t^{2})^{2}(1+u^{2})^{2}}},&r={\frac {2tu(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\end{aligned}}}$

ここでは半周、は面積、は内接円の半径であり、とは有理数であるため、これらすべての値は有理数です。 ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma }$ ${\displaystyle r={\sqrt {\tfrac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle u}$

（整）ヘロン三角形を得るには、 a、b、c の分母をクリアする必要があります。これにはいくつかの方法があります。（既約分数）でと、三角形を で拡大すると、結果はオイラーの媒介変数化になります。（最小公分母）でと、三角形を で拡大すると、結果はブラフマグプタの媒介変数化に似ていますが、完全に同一ではありません。代わりに、これが であり、それが最小公分母に縮小されると、つまり であり、 であれば、三角形をで拡大するとブラフマグプタの媒介変数化とまったく同じになります。 ${\displaystyle t=m/n}$ ${\displaystyle u=p/q,}$ ${\displaystyle \gcd(m,n)=\gcd(p,q)=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2}),}$ ${\displaystyle t=m/k}$ ${\displaystyle u=n/k}$ ${\displaystyle \gcd(m,n,k)=1}$ ${\displaystyle (k^{2}+m^{2})(k^{2}+n^{2})/2k,}$ ${\displaystyle 1/t}$ ${\displaystyle 1/u}$ ${\displaystyle t=k/m}$ ${\displaystyle u=k/n}$ ${\displaystyle \gcd(m,n,k)=1,}$ ${\displaystyle (k^{2}+m^{2})(k^{2}+n^{2})/2k.}$

これは、どちらのパラメータ化でもすべてのヘロン三角形が生成されることを証明しています。

辺の長さがa、b、c、半周がa、面積がAである三角形に幾何学的に相似な三角形の集合を与えるt、u、vの値は、 ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ $${\displaystyle (t,u,v)=\left({\frac {A}{s(s-a)}},{\frac {A}{s(s-b)}},{\frac {A}{s(s-c)}}\right)\,.}$$

その他の結果

Kurz (2008) は、ヘロン三角形を生成するための高速アルゴリズムを導き出しました。

内接円と 外接円の3つすべてが整数値である、原始的かつ分解不可能な非ピタゴラスヘロン三角形は無数に存在し、 ^[24]によって生成されるものも含まれる^{：Thm. 4} ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (r_{a},r_{b},r_{c})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=5(5n^{2}+n-1),&r_{a}&=5n+3,\\b&=(5n+3)(5n^{2}-4n+1),&r_{b}&=5n^{2}+n-1,\\c&=(5n-2)(5n^{2}+6n+2),&r_{c}&=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1),\\&&r&=5n-2,\\A&=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1)=r_{c}.\end{aligned}}}$

格子上に配置できるヘロン三角形は無数に存在するが、すべてのヘロン三角形に当てはまるように頂点が格子点にあるだけでなく、内接円と外接円の中心も格子点にある。^{[24] : Thm. 5}

いくつかの種類のヘロン三角形のパラメーター化については、整数三角形 § ヘロン三角形も参照してください。

例

面積と、面積が同じ場合は周長で並べた原始整数ヘロン三角形のリストは、以下の表のようになります。「原始」とは、3辺の長さの最大公約数が1であることを意味します。

エリア	周囲	辺の長さb + d	辺の長さe	辺の長さc
6	12	5	4	3
12	16	6	5	5
12	18	8	5	5
24	32	15	13	4
30	30	13	12	5
36	36	17	10	9
36	54	26	25	3
42	42	20	15	7
60	36	13	13	10
60	40	17	15	8
60	50	24	13	13
60	60	29	25	6
66	44	20	13	11
72	64	30	29	5
84	42	15	14	13
84	48	21	17	10
84	56	25	24	7
84	72	35	29	8
90	54	25	17	12
90	108	53	51	4
114	76	37	20	19
120	50	17	17	16
120	64	30	17	17
120	80	39	25	16
126	54	21	20	13
126	84	41	28	15
126	108	52	51	5
132	66	30	25	11
156	78	37	26	15
156	104	51	40	13
168	64	25	25	14
168	84	39	35	10
168	98	48	25	25
180	80	37	30	13
180	90	41	40	9
198	132	65	55	12
204	68	26	25	17
210	70	29	21	20
210	70	28	25	17
210	84	39	28	17
210	84	37	35	12
210	140	68	65	7
210	300	149	148	3
216	162	80	73	9
234	108	52	41	15
240	90	40	37	13
252	84	35	34	15
252	98	45	40	13
252	144	70	65	9
264	96	44	37	15
264	132	65	34	33
270	108	52	29	27
288	162	80	65	17
300	150	74	51	25
300	250	123	122	5
306	108	51	37	20
330	100	44	39	17
330	110	52	33	25
330	132	61	60	11
330	220	109	100	11
336	98	41	40	17
336	112	53	35	24
336	128	61	52	15
336	392	195	193	4
360	90	36	29	25
360	100	41	41	18
360	162	80	41	41
390	156	75	68	13
396	176	87	55	34
396	198	97	90	11
396	242	120	109	13

辺の長さが 600,000 を超えない原始ヘロン三角形のリストは、Kurz (2008) によって計算されています。

完全な正方形の辺を持つヘロン三角形

2021 年 2 月現在、正方形の辺を持つ原始ヘロン三角形は 2 つだけが知られています。

(1853 ² , 4380 ² , 4427 ² , 面積=32 918 611 718 880）、2013年に出版。^[25]

(11789 ² , 68104 ² , 68595 ² , 面積=284 239 560 530 875 680）、2018年に出版。^[26]

正方形の辺を持つヘロン三角形は、完全直方体問題と関連しています。完全直方体問題の解の存在は、完全正方形三角形問題の解の存在と同義です。^[27]「辺の長さが完全正方形で、角の二等分線が整数である三角形は存在するか？」

等しい三角形

図形の面積が周囲長と等しいとき、その図形は等角三角形と呼ばれます。等角三角形は正確に5つあります。辺の長さが(5,12,13)​​、(6,8,10)、(6,25,29)、(7,15,20)、(9,10,17)の三角形です。 ^{[28] [29]}ただし、原始三角形はそのうち4つだけです。

ほぼ正三角形のヘロン三角形

有理数辺を持つ正三角形の面積は無理数であるため、正三角形はヘロン三角形ではありません。しかし、直角三角形の複製から「ほぼ正三角形」である二等辺ヘロン三角形の列を導くことができます。この三角形では、斜辺の長さが一方の辺のほぼ2倍になります。これらのほぼ正三角形の最初の数例は、次の表（OEISの列A102341）に示されています。

辺の長さ			エリア
1つの	b = a	c
5	5	6	12
17	17	16	120
65	65	66	1848
241	241	240	25,080​
901	901	902	351 780
3361	3361	3360	4 890 480
12 545	12 545	12 546	68 149 872
46 817	46 817	46 816	949 077 360

ヘロン三角形には、3辺がn − 1、n、n + 1の形をとるため「ほぼ正三角形」となる唯一の数列が存在する。この問題のすべての解を連分数に基づいて生成する方法は、 1864年にエドワード・サングによって記述され、^[30] 1880年にはラインホルト・ホッペによってそれらの解の閉じた形式表現が与えられた。^[31]これらのほぼ正三角形の最初の数例は、次の表（OEISのシーケンスA003500）にリストされている。

辺の長さ			エリア	内半径
n − 1	n	n + 1
1	2	3	0	0
3	4	5	6	1
13	14	15	84	4
51	52	53	1170	15
193	194	195	16 296	56
723	724	725	226 974	209
2701	2702	2703	3 161 340	780
10 083	10 084	10 085	44 031 786	2911
37 633	37 634	37 635	613 283 664	10 864

nの次の値は、前の値に 4 を掛け、その前の値を引くことで求められます ( 52 = 4 × 14 − 4、194 = 4 × 52 − 14など)。

${\displaystyle n_{t}=4n_{t-1}-n_{t-2}\,,}$

ここで、tは表の任意の行を表します。これはルーカス列です。あるいは、この式は正の整数tに対してすべてのnを生成します。同様に、A = 面積、y = 内接半径とすると、 ${\displaystyle (2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}}$

${\displaystyle {\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1)^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}}$

ここで、{ n , y }はn2−12y2 = 4^の解である。小さな変換n =2xは^、従来のペル方程式 x2−3y2 =1^を与え、その解は√3の通常の連分数展開から導くことができる。^[ 32 ]

変数nは の形をとり、kは7、97、1351、18817、…である。この数列の数は、連続するk個の整数が整数の標準偏差を持つという性質を持つ。^[33] ${\displaystyle n={\sqrt {2+2k}}}$

参照

• ヘロン四面体
• ブラフマグプタ四辺形
• ブラフマグプタ三角形
• ロビンズ・ペンタゴン
• 整数三角形#ヘロン三角形

参考文献

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2. Beauregard, Raymond A.; Suryanarayan, ER (1998年1月)、「The Brahmagupta Triangles」(PDF) , College Mathematics Journal , 29 (1): 13– 17, doi :10.2307/2687630, JSTOR  2687630
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4. 任意の三角形の辺と面積は、ヘロンの公式の両辺を2乗して得られるディオファントス方程式を満たす。ヘロンの公式 § 証明 を参照。逆に、すべて正の整数である方程式の解を考えてみよう。この解は、三角不等式が満たされる場合、つまり3つの整数と がすべて正である場合に限り、有効な三角形に対応する。この場合、これは必然的に真である。つまり、これらの和のいずれかが負またはゼロであれば、他の2つは正となり、方程式の右辺は負またはゼロとなり、正である左辺と等しくなることはあり得ない。 ${\displaystyle (a,b,c,A)}$ ${\displaystyle a+b-c,}$ ${\displaystyle b+c-a,}$ ${\displaystyle c+a-b}$ ${\displaystyle 16\,A^{2},}$
5. Weisstein, Eric W.「ヘロニアン三角形」。MathWorld。
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15. Fricke, Jan (2002-12-21). 「ヘロン単体と整数埋め込みについて」. arXiv : math/0112239 .
16. 証明。ヘロン三角形は原始三角形であると仮定できる。ディオファントス方程式の右辺は次のように書き直すことができる。c の長 さを奇数にすると、すべての平方は奇数となり、したがって の形となり、2つの差は8の倍数となる。 ${\displaystyle ((a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(a-b)^{2}).}$ ${\displaystyle 8k+1;}$。は64の倍数で、Aは偶数です。3 で割り切れるかどうかは、c が3の倍数でないかどうかで決まります（三角形は原始三角形であると考えられます）。 と のいずれかが 3 の倍数でない場合、対応する因数は3の倍数です（ 3の倍数でないものの平方はの形になるため）。これは、3 が の約数であることを意味します。そうでない場合、3はと の両方を割り切れず、 ディオファントス二乗の右辺は の平方ではなく、マイナス乗の3を法とする平方と同値ではありません。したがって、この最後のケースは不可能です。 ${\displaystyle 16A^{2}}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle 3k+1}$ ${\displaystyle 16A^{2}.}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a-b,}$ ${\displaystyle 4A,}$
17. 証明。三角不等式が成り立つと仮定すると、となり、ちょうど1つの辺の長さが偶数であるという条件は満たされない。2つの辺の長さが偶数である場合、 となり、ディオファントス方程式は となり、これは2つの正の整数に対しては不可能である。 ${\displaystyle a\geq b\geq c,}$ ${\displaystyle b\leq a\leq b+c.}$ ${\displaystyle c=1,}$ ${\displaystyle a=b,}$ ${\displaystyle c=2,}$ ${\displaystyle a=b+1.}$ ${\displaystyle a=b,}$ ${\displaystyle 16A^{2}=16(a^{2}-1),}$
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32. リチャードソン、ウィリアム H. (2007)、スーパーヘロニアン三角形
33. オンライン整数列百科事典、OEIS :A011943。

さらに読む

• カーマイケル、ロバート・ダニエル(1915). 「I. 序論 有理三角形 無限降下法」ディオファントス解析. ワイリー . pp.  1– 23.
• ディクソン、レナード・ユージン(1920). 「V. 有理辺を持つ三角形、四辺形、四面体」.数論史第2巻 ディオファントス解析. ワシントン・カーネギー研究所. pp.  191– 224.

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「ヘロンの三角形」。MathWorld。
• 整数列のオンライン百科事典 ヘロニアン
• S. sh. Kozhegel'dinov (1994)、「基本ヘロン三角形について」、Math. Notes、55 (2): 151– 6、doi :10.1007/BF02113294、S2CID  115233024

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