ヘッセ正規形

解析幾何学における方程式

ヘッセ正規形を用いて計算された原点Oから直線Eまでの距離。法線ベクトルは赤、直線は緑、点Oは青で示されています。

解析幾何学において、ヘッセ正規形（オットー・ヘッセにちなんで名付けられた）は、ユークリッド平面上の直線、ユークリッド空間上の平面、または高次元の超平面を記述するために使用される方程式である。^{[1] [2]主に距離の計算に使用される（}点-平面距離と点-直線距離を参照）。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ベクトル表記では次のように表される。

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

点は内積（またはスカラー積）を表します。ベクトルは、座標系の原点Oから、平面または直線E上に位置する任意の点Pを指します。ベクトルは、平面または直線Eの単位法線ベクトルを表します。距離は、原点Oから平面または直線までの最短距離です。 ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}_{0}}$ ${\displaystyle d\geq 0}$

正規形からの導出/計算

注: 簡潔にするため、以下の導出は3次元の場合について論じていますが、2次元の場合にも適用可能です。

通常形式では、

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0\,}$

平面は、点の法線ベクトルと任意の位置ベクトルによって与えられる。の方向は、次の不等式を満たすように選択される。 ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ${\displaystyle A\in E}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\,}$

法線ベクトルをその大きさで割ると、単位（または正規化された）法線ベクトルが得られる。 ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle |{\vec {n}}|}$

${\displaystyle {\vec {n}}_{0}={{\vec {n}} \over {|{\vec {n}}|}}\,}$

そして上記の式は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}_{0}=0.\,}$

代用

${\displaystyle d={\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0\,}$

ヘッセ正規形を得る

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

この図では、dは原点からの距離です。平面上のすべての点において成立するため、点Q（原点からのベクトルが平面Eと交わる点）においても成立します。スカラー積の定義によれば、 ${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d}$ ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{s}}$

${\displaystyle d={\vec {r}}_{s}\cdot {\vec {n}}_{0}=|{\vec {r}}_{s}|\cdot |{\vec {n}}_{0}|\cdot \cos(0^{\circ })=|{\vec {r}}_{s}|\cdot 1=|{\vec {r}}_{s}|.\,}$

の大きさは原点から平面までの最短距離です。 ${\displaystyle |{\vec {r}}_{s}|}$ ${\displaystyle {{\vec {r}}_{s}}}$

直線までの距離

直線から点までの四分円（距離の2乗）は ${\displaystyle ax+by+c=0}$ ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle {\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}.}$

単位長さが ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (ax+by+c)^{2}.}$

参考文献

1. ボッシェ、マキシム（1915）、平面解析幾何学：微分積分入門章付き、H.ホルト、p.44。
2. ジョン・ヴィンス著『コンピュータグラフィックスのための幾何学』 Springer、2005年、ISBN 9781852338343、42、58、135、273ページ

外部リンク

• Weisstein, Eric W.「ヘッセ正規形」。MathWorld。

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