ヘッセンベルク行列

Kind of square matrix in linear algebra

線形代数学において、ヘッセンベルク行列は特別な種類の正方行列であり、「ほぼ」三角形状である。正確には、上ヘッセンベルク行列は最初の下対角成分の下に零要素を持ち、下ヘッセンベルク行列は最初の上対角成分の上に零要素を持つ。^{[1]これらは}カール・ヘッセンベルクにちなんで名付けられている。^[2]

ヘッセンベルク分解は、行列をユニタリ行列とヘッセンベルク行列に分解する行列分解であり、は共役転置を表します。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle PHP^{*}=A}$$ ${\displaystyle P^{*}}$

定義

上ヘッセンベルク行列

正方行列は、すべての に対して となるとき、上ヘッセンベルク形式である、または上ヘッセンベルク行列であると言われます。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{i,j}=0}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle i>j+1}$

上ヘッセンベルク行列は、すべての対角要素がゼロでない場合、つまりすべてのに対してとなる場合、非縮約行列と呼ばれます。^[3] ${\displaystyle a_{i+1,i}\neq 0}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n-1\}}$

下ヘッセンベルク行列

正方行列は、その転置が上ヘッセンベルク行列である場合、またはすべての に対してである場合、下ヘッセンベルク形式である、または下ヘッセンベルク行列であると言われます。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle a_{i,j}=0}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle j>i+1}$

すべての上対角要素がゼロでない場合、つまりすべての に対して である場合、下ヘッセンベルグ行列は非縮約行列と呼ばれます。 ${\displaystyle a_{i,i+1}\neq 0}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n-1\}}$

例

次の行列を考えてみましょう。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&4&2&3\\3&4&1&7\\0&2&3&4\\0&0&1&3\\\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&2&0&0\\5&2&3&0\\3&4&3&7\\5&6&1&1\\\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&2&0&0\\5&2&0&0\\3&4&3&7\\5&6&1&1\\\end{bmatrix}}}$$

行列は、上側の未約ヘッセンベルク行列であり、下側の未約ヘッセンベルク行列であり、下側のヘッセンベルク行列ですが未約ではありません。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

コンピュータプログラミング

多くの線形代数アルゴリズムは、三角行列に適用すると計算量が大幅に少なくなりますが、この改善はヘッセンベルク行列にもしばしば適用されます。線形代数問題の制約により、一般行列を三角行列に簡約できない場合は、ヘッセンベルク形式への簡約が次善の策となることがよくあります。実際、任意の行列をヘッセンベルク形式に簡約することは、有限数のステップで実現できます (たとえば、ユニタリ相似変換のハウスホルダー変換を通じて)。その後のヘッセンベルク行列の三角行列への簡約は、シフトQR分解などの反復手順を通じて実現できます。固有値アルゴリズムでは、シフト QR 分解とデフレーション手順を組み合わせることで、ヘッセンベルク行列をさらに三角行列に簡約できます。一般行列をヘッセンベルグ行列に縮小し、さらに三角行列に縮小する代わりに、一般行列を三角行列に直接縮小すると、固有値問題のQR アルゴリズムに必要な演算が節約されることがよくあります。

ヘッセンベルク行列への縮約

世帯主の変換

任意の行列は、ハウスホルダー変換を用いた相似変換によってヘッセンベルク行列に変換できます。以下の変換手順は、ガルシア＆ホーン著『A Second Course In Linear Algebra』^[4]から引用したものです。 ${\displaystyle n\times n}$

を任意の実数または複素行列とし、を の最初の行を削除して構築したの部分行列とし、を の最初の列とします。ここで、世帯主行列を構築します。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle (n-1)\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}^{\prime }}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$ ${\displaystyle V_{1}=I_{(n-1)}-2{\frac {ww^{*}}{\|w\|^{2}}}}$ $${\displaystyle w={\begin{cases}\|\mathbf {a} _{1}^{\prime }\|_{2}\mathbf {e} _{1}-\mathbf {a} _{1}^{\prime }\;\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\;a_{11}^{\prime }=0\\\|\mathbf {a} _{1}^{\prime }\|_{2}\mathbf {e} _{1}+{\frac {\overline {a_{11}^{\prime }}}{|a_{11}^{\prime }|}}\mathbf {a} _{1}^{\prime }\;\;\;,\;\;\;a_{11}^{\prime }\neq 0\\\end{cases}}}$$

このハウスホーダー行列はにマッピングされ、したがってブロック行列は行列 を にマッピングします。この行列は、最初の列の2番目の要素より下にはゼロのみを持ちます。次に、同様の方法で を としてハウスホーダー行列を作成します。この行列はの最初の列を にマッピングします。ここではの最初の行と最初の列を削除して作成されたの部分行列です。次に、 は の下対角要素の1番目と2番目の要素より下にはゼロのみを持つ行列 にマッピングされます。次に、を の最初の行と最初の列を削除して作成された行列について、同様の方法で を作成し、 を作成します。前の手順と同じように進めます。これを合計手順続けます。 ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}^{\prime }}$ ${\displaystyle \|\mathbf {a} _{1}^{\prime }\|\mathbf {e} _{1}}$ ${\displaystyle U_{1}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &V_{1}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U_{1}A}$ ${\displaystyle (n-2)\times (n-2)}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle A^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \|\mathbf {a} _{1}^{\prime \prime }\|\mathbf {e} _{1}}$ ${\displaystyle A^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle U_{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&V_{2}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle U_{1}A}$ ${\displaystyle U_{2}U_{1}A}$ ${\displaystyle V_{3}}$ ${\displaystyle U_{3}}$ ${\displaystyle A^{\prime \prime \prime }}$ ${\displaystyle A^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle n-2}$

の構築により、任意の行列の最初の列は右からの による乗算に対して不変となる。したがって、任意の行列は という形式の相似変換によって上ヘッセンベルク行列に変換できる。 ${\displaystyle U_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle U_{k}^{*}}$ ${\displaystyle U_{(n-2)}(\dots (U_{2}(U_{1}AU_{1}^{*})U_{2}^{*})\dots )U_{(n-2)}^{*}=U_{(n-2)}\dots U_{2}U_{1}A(U_{(n-2)}\dots U_{2}U_{1})^{*}=UAU^{*}}$

ヤコビ（ギブンズ）回転

ヤコビ回転（ギブンズ回転とも呼ばれる）は、次の形式の直交行列変換である。

${\displaystyle A\to A'=J(p,q,\theta )^{T}AJ(p,q,\theta )\;,}$

ここで、、は、ヤコビ回転行列であり、行列要素は、 ${\displaystyle J(p,q,\theta )}$ ${\displaystyle p<q}$

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}J(p,q,\theta )_{ii}&{}=1\;\forall i\neq p,q\\J(p,q,\theta )_{pp}&{}=\cos(\theta )\\J(p,q,\theta )_{qq}&{}=\cos(\theta )\\J(p,q,\theta )_{pq}&{}=\sin(\theta )\\J(p,q,\theta )_{qp}&{}=-\sin(\theta )\;.\end{aligned}}\right.}$

回転角度を選択して次の式を満たすように行列要素をゼロにすることができる。 ${\displaystyle A'_{p-1,q}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle A_{p-1,p}\sin \theta +A_{p-1,q}\cos \theta =0\;,}$

さて、次のようなヤコビ回転の列は ${\displaystyle (p,q)}$

${\displaystyle (p,q)=(2,3),(2,4),\dots ,(2,n),(3,4),\dots ,(3,n),\dots ,(n-1,n)}$

行列を下側ヘッセンベルク形式に縮約する。^[5] ${\displaystyle A}$

プロパティ

に対して、すべての行列は上ヘッセンベルク行列であり、下ヘッセンベルク行列でもある。^[6] ${\displaystyle n\in \{1,2\}}$ ${\displaystyle n\times n}$

ヘッセンベルク行列と三角行列の積もヘッセンベルク行列です。より正確には、が上ヘッセンベルク行列で が上三角行列である場合、 とは上ヘッセンベルク行列です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle AT}$ ${\displaystyle TA}$

上ヘッセンベルク行列と下ヘッセンベルク行列の両方である行列は三重対角行列であり、ヤコビ行列はその重要な例である。これには対称ヘッセンベルク行列またはエルミートヘッセンベルク行列が含まれる。エルミート行列は三重対角実対称行列に簡約できる。^[7]

ヘッセンベルク演算子

ヘッセンベルク作用素は、無限次元ヘッセンベルク行列である。これは通常、ヤコビ作用素をある領域上の二乗可積分正則関数の空間、すなわちベルグマン空間に対する直交多項式系に一般化したものである。この場合、ヘッセンベルク作用素は右シフト作用素であり、次式で表される 。 ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle [Sf](z)=zf(z).}$$

ヘッセンベルク作用素の各主部分行列の固有値は、その部分行列の特性多項式によって与えられる。これらの多項式はベルクマン多項式と呼ばれ、ベルクマン空間の直交多項式基底を与える。

参照

• ヘッセンベルク種

注記

1. ホーン&ジョンソン (1985)、28ページ。 Stoer & Bulirsch (2002)、251 ページ
2. Biswa Nath Datta (2010) 数値線形代数とその応用、第2版、Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM) ISBN 978-0-89871-685-6、307ページ
3. ホーン＆ジョンソン 1985年、35ページ
4. ラモン・ガルシア、ステファン、ホーン、ロジャー（2017年）。『線形代数の第二講座』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 9781107103818。
5. Bini, Dario A.; Robol, Leonardo (2016). 「実対角行列と低ランク行列の準分離型ヘッセンベルグ縮約とその応用」線形代数とその応用. 502 : 186–213 . arXiv : 1501.07812 . doi :10.1016/j.laa.2015.08.026.
6. 講義ノート。2016年10月21日のコーネル大学講義ノート
7. 「LAPACKの計算ルーチン（固有値）」. sites.science.oregonstate.edu . 2020年5月24日閲覧。

参考文献

• ホーン、ロジャー A.; ジョンソン、チャールズ R. (1985)、『マトリックス分析』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-38632-6。
• ステア、ジョセフ。 Bulirsch、Roland (2002)、数値解析入門(第 3 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-95452-3。
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007)「Section 11.6.2. Reduction to Hessenberg Form」、Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (第3版)、ニューヨーク: Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-88068-8、2011年8月11日にオリジナルからアーカイブ、 2011年8月13日取得

外部リンク

• MathWorldのヘッセンベルク行列。
• PlanetMathのヘッセンベルク行列。
• 凝縮形式（ヘッセンベルグ形式、三重対角形式、二重対角形式）への簡約化のための高性能アルゴリズム
• アルゴリズムの概要

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