Heun関数

数学において、局所ホイン関数^{[ 1 ]}は、ホインの微分方程式の解で、正則かつ特異点z  = 0 で 1 となるものである。局所ホイン関数は、 z = 1 でも正則な場合は Hf と表記されるホイン関数と呼ばれ、3 つの有限特異点z  = 0, 1,  aすべてで正則な場合は Hpと表記されるホイン多項式 と呼ばれる。 ${\displaystyle H\ell (a,q;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;z)}$

ホウン方程式

ホイン方程式は、次の形式の 2階線形常微分方程式である。

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}}\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}}w=0.}$

この条件は、無限遠における正規特異点の特性指数が α と β となるように取られます (以下を参照)。 ${\displaystyle \epsilon =\alpha +\beta -\gamma -\delta +1}$

複素数qは補助パラメータと呼ばれる。ホイン方程式には、指数 (0, 1  − γ )、(0, 1 − δ)、(0, 1 − ϵ)、(α, β) を持つ 0, 1, a, ∞ の 4 つの正則特異点がある。ラメ方程式や超幾何微分方程式など、最大 4 つの正則特異点を持つ拡張複素平面上のすべての2階線形常微分方程式は、変数変換によってこの方程式に変換できる。

ホイン方程式のさまざまな正規特異点が不規則特異点に合体すると、以下の表に示すように、方程式のいくつかの合流形式が生じます。

ホイン方程式の形式^{[ 2 ]}

形状	特異点	方程式
一般的な	0, 1, a , ∞	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}}\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}}w=0}$
合流	0, 1, ∞（不規則、ランク1）	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+\epsilon \right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z(z-1)}}w=0}$
二重合流	0（不規則、ランク1）、∞（不規則、ランク1）	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\delta }{z^{2}}}+{\frac {\gamma }{z}}+1\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z^{2}}}w=0}$
二合流性	0、∞（不規則、ランク2）	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}-\left[{\frac {\gamma }{z}}+\delta +z\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z}}w=0}$
三合流	∞（不規則、ランク3）	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(\gamma +z\right)z{\frac {dw}{dz}}+\left(\alpha z-q\right)w=0}$

qアナログ

ホイン方程式のq類似体はハーン（1971）[3]によって発見され、2017年 に竹村によって^研究された。^{[ 4 ]}

対称性

ホイン方程式は、コクセター図D ₄のコクセター群と同型な、順序 192 の対称性群を持ち、これはクンマーによって得られた超幾何微分方程式の 24 の対称性と類似しています。

局所ホイン関数を固定する対称性は、4点上の対称群と同型な位数24の群を形成するため、これらの対称性を局所ホイン関数に作用させることで得られる本質的に異なる解は192/24 = 8 = 2 × 4個存在し、4つの特異点それぞれについて2つの指数それぞれに対する解を与える。192個の対称性の完全なリストは、Maier (2007) ^{[ 5 ]}によって機械計算によって与えられた。これまで様々な著者が手作業でこれらをリストアップしようと試みたが、多くの誤りや欠落があった。例えば、ホインがリストアップした48個の局所解のほとんどには重大な誤りが含まれている。 harvtxt error: no target: CITEREFMaier2007 (help)

参照

• Hein-Stieltjes 多項式は Heun 多項式の一般化です。

参考文献

1. カール・ヒューン (1888 年 6 月)。「リーマンの機能に関する理論」。Mathematische Annalen (ドイツ語)。33 (2): 161–179。土井: 10.1007/BF01443849。ISSN  0025-5831。
2. 「DLMF: §31.12 ホイン方程式の合流形 ‣ 特性 ‣ 第31章 ホイン関数」dlmf.nist.gov . 2026年1月25日閲覧。
3. Hahn, W. (1971). 「補助パラメータを持つ線形幾何差分方程式について」. Funkcial. Ekvac . 14 : 73–78 .
4. 竹村公一 (2017). 「Ruijsenaars-van Diejen 演算子と q-Painlevé 方程式の縮退」。ジャーナル・オブ・インテグラブル・システムズ。2 (1)。arXiv : 1608.07265。ドイ: 10.1093/integr/xyx008。ISSN 2058-5985。 
5. Maier, Robert S. (2006-11-28). 「ホイン方程式の192の解」 .計算数学. 76 (258): 811– 843. arXiv : math/0408317 . doi : 10.1090/S0025-5718-06-01939-9 . ISSN 0025-5718 . 

• A. Erdélyi、F. Oberhettinger、W. Magnus、F. Tricomi 『高等超越関数』第3巻（McGraw Hill、NY、1953年）。
• フォーサイス、アンドリュー・ラッセル（1959）[1906]、微分方程式論、第4章常線形方程式、ニューヨーク：ドーバー出版、p.158、MR0123757 
• Ronveaux, A.編（1995年）、Heunの微分方程式、Oxford Science Publications、The Clarendon Press Oxford University Press、ISBN 978-0-19-859695-0、MR  1392976
• Sleeman, BD; Kuznetzov, VB (2010) 「Heun関数」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
• Valent, Galliano (2007)、「Heun関数と楕円関数」、差分方程式、特殊関数、直交多項式、World Sci. Publ.、Hackensack、NJ、pp.  664– 686、arXiv : math-ph/0512006、doi : 10.1142/9789812770752_0057、ISBN 978-981-270-643-0、MR  2451210、S2CID  8520520

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