六角数

数字の種類

六角数（中央の列）を長方形の数と奇数辺の三角数として並べ替えることができることを言葉なしで証明する

六角数は図形数である。n番目の六角数h _nは、最大n辺の正六角形の輪郭線からなる点のパターンにおいて、それらの六角形が1つの頂点を共有するように重ねられたときに、そのパターンに含まれる異なる点の数である。

最初の 4 つの六角形の数字。

n番目の六角数の公式

${\displaystyle h_{n}=2n^{2}-n=n(2n-1)={\frac {2n(2n-1)}{2}}.}$

最初のいくつかの六角形の数字（OEISのシーケンスA000384）は次のとおりです。

1、6、15、28、45、66、91、120、153、190、231、276、325、378、435、496、561、630、703、780、861、946 ...​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

すべての六角数は三角数ですが、他のすべての三角数（1番目、3番目、5番目、7番目など）だけが六角数です。三角数と同様に、六角数の10進数のデジタルルートは1、3、6、または9のいずれかになります。デジタルルートのパターンは9つの項ごとに繰り返され、「1 6 6 1 9 3 1 3 9」となります。

すべての偶数完全数は六角形であり、次の式で与えられる。

${\displaystyle M_{p}2^{p-1}=M_{p}{\frac {M_{p}+1}{2}}=h_{(M_{p}+1)/2}=h_{2^{p-1}}}$

ここで、M _pはメルセンヌ素数です。奇数の完全数は知られていないため、既知の完全数はすべて六角形です。

たとえば、2番目の六角数は 2×3 = 6、4番目は 4×7 = 28、16番目は 16×31 = 496、64番目は 64×127 = 8128 です。

最大4つの六角数の和で表すことができない最大の数は130です。アドリアン・マリー・ルジャンドルは1830年に、1791より大きい 任意の整数をこの方法で表すことができることを証明しました。

さらに、5 つの六角数を使用して表現できない (6 つの六角数では表現できる) 整数は 11 と 26 の 2 つだけです。

六角数は、ウィーンソーセージの標準的な包装をモデルにした中心六角数と混同しないでください。曖昧さを避けるため、六角数は「角六角数」と呼ばれることもあります。

六角数のテスト

正の整数xが六角数であるかどうかを効率的に判定するには、次のように計算すれば よい。

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}+1}{4}}.}$

nが整数の場合、 xはn番目の六角数です。n が整数でない場合、 xは六角数ではありません。

合同関係

• ${\displaystyle h_{n}\equiv n{\pmod {4}}}$
• ${\displaystyle h_{3n}+h_{2n}+h_{n}\equiv 0{\pmod {2}}}$

その他の特性

シグマ表記法を用いた表現

六角形列のn番目の数は、シグマ表記法を使って次のよう に表すこともできる。

${\displaystyle h_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}{(4k+1)}}$

ここで、空の合計は 0 とみなされます。

六角数の逆数の和

六角数の逆数の和は2ln(2)であり、ここでlnは自然対数を表す。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(2k-1)}}&=\lim _{n\to \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2k}}\right)\\&=\lim _{n\to \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}+{\frac {1}{2k}}-{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{2n}{\frac {1}{k}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n+k}}\\&=2\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+{\frac {k}{n}}}}\\&=2\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}dx\\&=2[\ln(1+x)]_{0}^{1}\\&=2\ln {2}\\&\approx {1.386294}\end{aligned}}}$

インデックスを乗算する

並べ替えると、次の式が得られます。

${\displaystyle h_{2n}=4h_{n}+2n}$

${\displaystyle h_{3n}=9h_{n}+6n}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle h_{m*n}=m^{2}h_{n}+(m^{2}-m)n}$

比率関係

前の最終式をmとnに関して使用し、さらにいくつかの削減と移動を行うと、次の式が得られます。

${\displaystyle {\frac {h_{m}+m}{h_{n}+n}}=\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}}$

特定の自然数のべき乗の約数の数

${\displaystyle 12^{n-1}}$n >0には約数が存在します。 ${\displaystyle h_{n}}$

同様に、 pとq が異なる素数である形式の任意の自然数に対して、 n >0には約数が存在します。 ${\displaystyle r=p^{2}q}$ ${\displaystyle r^{n-1}}$ ${\displaystyle h_{n}}$

証明。は、 k = 0 ... 2( n − 1), l = 0 ... n − 1に対して、の形の約数を持ちます。kと lの各組み合わせは異なる約数を生み出すので、 には約数、つまり約数があります。∎ ${\displaystyle r^{n-1}=(p^{2}q)^{n-1}=p^{2(n-1)}q^{n-1}}$ ${\displaystyle p^{k}q^{l}}$ ${\displaystyle r^{n-1}}$ ${\displaystyle [2(n-1)+1][(n-1)+1]}$ ${\displaystyle (2n-1)n=h_{n}}$

六角形の平方数

六角形かつ完全な正方形である数字の列は、1、1225、1413721、... OEIS : A046177から始まります。

参照

• 中心六角数

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「六角数」。MathWorld。

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