高いコトティエント数
数学の一分野である数論において、高コトティエント数とは、1より大きく、方程式に対して複数の解を持つ正の整数のことである。
1より小さい整数と1より大きい整数のどちらよりも大きい。ここで、はオイラーのトーティエント関数である。この方程式の解は無限に存在する。
- = 1
したがって、この値は定義から除外されます。最初のいくつかの非常に高いコトティエント数は、以下のとおりです。[1]
- 2、4、8、23、35、47、59、63、83、89、113、119、167、209、269、299、329、389、419、509、629、659、779、839、1049、1169、1259、1469、1649、1679、1889 、 ... （OEISのシーケンスA100827）
高いコトティエント数の多くは奇数である。[1]
この概念は、高度合成数の概念にいくらか似ています。高度合成数が無限に存在するように、高度余弦数も無限に存在します。数が大きくなるにつれて因数分解が困難になるため、計算はより困難になります。
例
のコトティエントは 、つまり と少なくとも 1 つの共通の素因数を持つ 6以下の正の整数の数として定義されます。たとえば、6 のコトティエントは 4 です。4 つの正の整数2、3、4、6 が 6 と共通の素因数を持っているからです。8 のコトティエントも 4 です。今回は 2、4、6、8 です。コトティエントが 4 になる数は 6 と 8 の 2 つだけです。コトティエントが 2 やコトティエントが 3 である数はそれより少なく (それぞれ 1 つずつ)、4 はコトティエントの高い数です。
（ OEISの配列A063740）
| k（高係数kは太字で表示） | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| x − φ( x ) = kの解の数 | 1 | ∞ | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 3 | 2 | 0 | 2 | 3 | 2 | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 4 | 4 | 3 | 0 | 4 | 1 | 4 | 3 |
| n | k s となる | （OEISのシーケンスA063740）となるk sの数 |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、...（すべて素数） | ∞ |
| 2 | 4 | 1 |
| 3 | 9 | 1 |
| 4 | 6、8 | 2 |
| 5 | 25 | 1 |
| 6 | 10 | 1 |
| 7 | 15、49 | 2 |
| 8 | 12、14、16 | 3 |
| 9 | 21、27 | 2 |
| 10 | 0 | |
| 11 | 35, 121 | 2 |
| 12 | 18、20、22 | 3 |
| 13 | 33, 169 | 2 |
| 14 | 26 | 1 |
| 15 | 39、55 | 2 |
| 16 | 24、28、32 | 3 |
| 17 | 65、77、289 | 3 |
| 18 | 34 | 1 |
| 19 | 51、91、361 | 3 |
| 20 | 38 | 1 |
| 21 | 45、57、85 | 3 |
| 22 | 30 | 1 |
| 23 | 95、119、143、529 | 4 |
| 24 | 36、40、44、46 | 4 |
| 25 | 69、125、133 | 3 |
| 26 | 0 | |
| 27 | 63、81、115、187 | 4 |
| 28 | 52 | 1 |
| 29 | 161、209、221、841 | 4 |
| 30 | 42、50、58 | 3 |
| 31 | 87, 247, 961 | 3 |
| 32 | 48、56、62、64 | 4 |
| 33 | 93、145、253 | 3 |
| 34 | 0 | |
| 35 | 75、155、203、299、323 | 5 |
| 36 | 54、68 | 2 |
| 37 | 217, 1369 | 2 |
| 38 | 74 | 1 |
| 39 | 99、111、319、391 | 4 |
| 40 | 76 | 1 |
| 41 | 185、341、377、437、1681 | 5 |
| 42 | 82 | 1 |
| 43 | 123、259、403、1849 | 4 |
| 44 | 60、86 | 2 |
| 45 | 117、129、205、493 | 4 |
| 46 | 66、70 | 2 |
| 47 | 215、287、407、527、551、2209 | 6 |
| 48 | 72、80、88、92、94 | 5 |
| 49 | 141、301、343、481、589 | 5 |
| 50 | 0 |
素数
素数である最初のいくつかの高コトティエント数は[2]である。
- 2、23、47、59、83、89、113、167、269、389、419、509、659、839、1049、1259、1889、2099、2309、2729、3359、3989、4289、4409、5879、6089、6719、9029、9239、…（OEISのシーケンスA105440）
参照
参考文献
- ^ ab Sloane, N. J. A. (編). 「数列A100827（高コトティエント数）」.オンライン整数数列百科事典. OEIS財団.。
- ^ Sloane, N. J. A. (編). 「数列A105440（高コトティエント素数）」.オンライン整数数列百科事典. OEIS財団.
