ヒルベルト記号

Function used in local class field theory related to reciprocity laws

数学において、ヒルベルト記号またはノルム留数記号は、 K ^× × K ^×から、実数体やp進数体などの局所体Kのn乗根群への関数(–, –) である。これは相互法則と関連しており、局所類体論のアルティン記号によって定義できる。ヒルベルト記号は、デイヴィッド・ヒルベルト (1897、セクション 64、131、1998、英語訳) が著書『Zahlbericht』で導入したが、より大きな局所体ではなく大域体の元に対して定義したというわずかな違いがある。

ヒルベルト記号は高次の局所体にも一般化されています。

二次ヒルベルト記号

非零元の乗法群を持つ局所体上では、二次ヒルベルト記号は次のように定義される関数である。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle K^{\times }\times K^{\times }\to \{\pm 1\}}$

${\displaystyle (a,b)={\begin{cases}+1,&{\mbox{ if }}z^{2}=ax^{2}+by^{2}{\mbox{ has a non-zero solution }}(x,y,z)\in K^{3};\\-1,&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}$

同様に、が二次拡大の元のノルムに等しい場合、かつその場合に限ります。^[1] ${\displaystyle (a,b)=1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle K[{\sqrt {a}}]}$

プロパティ

上記のディオファントス方程式の適切な解を選択すると、次の 3 つの特性が定義から直接得られます。

• が正方形の場合、すべての に対してとなります。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a,b)=1}$ ${\displaystyle b}$
• すべてにおいて、 。 ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle (a,b)=(b,a)}$
• に含まれる任意のに対して、 が成り立ちます。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle a-1}$ ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle (a,1-a)=1}$

（双）乗法性、すなわち、

${\displaystyle (a,b_{1}b_{2})=(a,b_{1})\cdot (a,b_{2})}$

しかしながら、任意のとを証明するのはより困難であり、局所類体理論の開発が必要になります。 ${\displaystyle a,b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle K^{\times }}$

3番目の性質は、ヒルベルト記号がスタインベルク記号の例であり、したがって、定義により、 2番目のミルナーK群上で因数分解されることを示しています。 ${\displaystyle K_{2}^{M}(K)}$

K ^× ⊗ K ^× / ( a ⊗ (1− a) , a ∈ K ^× \ {1})

最初の性質により、 は 上で因数分解されます。これがミルナー予想への第一歩です。 ${\displaystyle K_{2}^{M}(K)/2}$

代数としての解釈

ヒルベルト記号は、基底 1, i , j , kと乗法規則, ,を持つK上の中心単純代数を表すためにも用いられる。この場合、この代数はKのブラウアー群における位数 2 の元を表し、それが除算代数である場合は -1、2 行 2 列の行列の代数と同型である場合は +1 で識別される。 ${\displaystyle i^{2}=a}$ ${\displaystyle j^{2}=b}$ ${\displaystyle ij=-ji=k}$

有理数上のヒルベルト記号

有理数体の位 vと有理数a、bについて、対応する完成Q _vにおけるヒルベルト記号の値を( a、b ) _vで表す。通常通り、v が素数pに付随する付値である場合、対応する完成はp 進体であり、vが無限位である場合、完成は実数体である。

実数では、aまたはbの少なくとも 1 つが正であれば( a , b ) _∞は +1 になり、両方が負であれば -1 になります。

pが奇数のp進数では、と（ uとvはpと互いに素な整数）と書くと、 ${\displaystyle a=p^{\alpha }u}$ ${\displaystyle b=p^{\beta }v}$

${\displaystyle (a,b)_{p}=(-1)^{\alpha \beta \epsilon (p)}\left({\frac {u}{p}}\right)^{\beta }\left({\frac {v}{p}}\right)^{\alpha }}$、 どこ ${\displaystyle \epsilon (p)=(p-1)/2}$

この式には 2 つのルジャンドル記号が含まれます。

2進法では、再び と を書き、uとvを奇数とすると、 ${\displaystyle a=2^{\alpha }u}$ ${\displaystyle b=2^{\beta }v}$

${\displaystyle (a,b)_{2}=(-1)^{\epsilon (u)\epsilon (v)+\alpha \omega (v)+\beta \omega (u)}}$、 どこ ${\displaystyle \omega (x)=(x^{2}-1)/8.}$

vがすべての位に渡る場合、( a , b ) _vはほぼすべての位で1になることが知られています。したがって、次の積の式は

${\displaystyle \prod _{v}(a,b)_{v}=1}$

納得できます。これは二次の相互法則と同等です。

カプランスキーラジカル

体F上のヒルベルト記号は写像を定義する。

${\displaystyle (\cdot ,\cdot ):F^{*}/F^{*2}\times F^{*}/F^{*2}\rightarrow \mathop {Br} (F)}$

ここで、Br( F )はFのブラウアー群である。この写像の核、すなわち任意のbに対して( a , b )=1となるような元aは、Fのカプランスキー根基である。^[2]

根号は F ^* /F ^{*2の部分群であり、 F *}の部分群と同一視される。根号が F ^{*と等しいのは、} F がu不変量が最大で 2 である場合に限る^。[3] 逆に、根号 F ^{*2を持つ体は}ヒルベルト体と呼ばれる。^[4]

一般ヒルベルト記号

K がKの標数と素な正の整数nに対するn乗根群を含む局所体である場合、ヒルベルト記号 (,) はK *× K * から μ _nへの関数である。アルティン記号を用いると、これは^[5]で定義される。

${\displaystyle (a,b){\sqrt[{n}]{b}}=(a,K({\sqrt[{n}]{b}})/K){\sqrt[{n}]{b}}}$

ヒルベルトはもともとアルティン記号が発見される前にヒルベルト記号を定義しており、彼の定義 ( n が素数の場合) では、 K がnと互いに素な留数特性を持つ場合はべき乗留数記号が使用され、 K がn を割り切る留数特性を持つ場合はかなり複雑でした。

プロパティ

ヒルベルト記号は（乗法的に）双線形である：

( ab , c ) = ( a , c )( b , c )

( a , bc ) = ( a , b )( a , c )

歪んだ対称:

( a , b ) = ( b , a ) ⁻¹

非退化:

( a , b )=1 は、 aがK * ⁿに属する場合に限り、すべてのbに対して成り立つ。

これはノルムを検出します (ノルム剰余記号という名前が由来です)。

( a , b )=1 であるのは、 a がK ( ⁿ √ b )の元のノルムである場合に限ります。

「シンボル」プロパティを持ちます:

( a ,1– a )=1、( a ,–a ) =1。

ヒルベルトの相互法則

ヒルベルトの相互法則は、aとbがn乗根を含む代数体にある場合、 ^[6]

${\displaystyle \prod _{p}(a,b)_{p}=1}$

ここで、積は数体の有限素数pと無限素数pについてであり、(,) _pはpにおける完備化のヒルベルト記号である。ヒルベルトの相互法則は、アルティンの相互法則と、アルティン記号を用いたヒルベルト記号の定義から導かれる。

べき乗剰余記号

Kがn乗根を含む数体、 p がn を割り切れない素イデアル、 π がpの局所体の素元、aがpと互いに素である場合、べき乗剰余記号(¹
_p）はヒルベルト記号と^{[7]の関係にある。}

${\displaystyle {\binom {a}{p}}=(\pi ,a)_{p}}$

べき乗剰余記号は乗法的に分数イデアルに拡張され、数体の元に対して（^a
_b)=(^a
_{( b )}）ここで、（b ）はbによって生成される主イデアルである。ヒルベルトの相互法則は、 aとb が互いに素であり、かつnに対して、留数記号に対して次の相互法則を意味する。

${\displaystyle {\binom {a}{b}}={\binom {b}{a}}\prod _{p|n,\infty }(a,b)_{p}}$

参照

• 東谷代数

外部リンク

• 「ノルム剰余記号」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Mathworldの HilbertSymbol

参考文献

1. ミルン. 類体理論(PDF) . p. 110.
2. ラム（2005）pp.450–451
3. ラム（2005）p.451
4. ラム（2005）p.455
5. ノイキルヒ (1999) p.333
6. ノイキルヒ (1999) p.334
7. ノイキルヒ (1999) p.336

• ボレヴィッチ, ZI ;シャファレヴィッチ, IR (1966) 『数論』 アカデミック・プレス, ISBN 0-12-117851-X、Zbl  0145.04902
• David Hilbert (1897)、「Die Theorie der algebraischen Zahlkörper」、Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (ドイツ語)、4 : 175–546、ISSN  0012-0456
• ヒルベルト、デイヴィッド（1998）、代数的数体理論、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-62779-1、MR  1646901
• ラム・ツィット・ユエン（2005）「体上の二次形式入門」、数学大学院研究、第67巻、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-1095-2、Zbl  1068.11023
• ミルナー、ジョン・ウィラード（1971） 「代数的K理論入門」、数学研究年報、第72巻、プリンストン大学出版局、MR  0349811、Zbl  0237.18005
• Neukirch、Jürgen (1999)、代数的数論、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 322、Norbert Schappacher によるドイツ語からの翻訳、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 3-540-65399-6、Zbl  0956.11021
• セール、ジャン＝ピエール（1996）、算数講座、数学大学院テキスト、第7巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-90040-5、Zbl  0256.12001
• Vostokov, SV; Fesenko, IB (2002), 局所体とその拡張, Translations of Mathematical Monographs, vol. 121, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3259-2、Zbl  1156.11046

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