ヒルベルト変換

Integral transform and linear operator

数学と信号処理において、ヒルベルト変換は、実変数関数u ( t )を受けて実変数の別の関数H( u )( t )を生成する 特定の特異積分です。ヒルベルト変換は、関数との畳み込みのコーシー主値によって与えられます (§ 定義を参照)。ヒルベルト変換は、周波数領域では特に単純な表現になります。関数のすべての周波数成分に±90° ( π /2 ラジアン) の位相シフトを与え、シフトの符号は周波数の符号に依存します (§ フーリエ変換との関係を参照)。ヒルベルト変換は信号処理において重要であり、実数値信号u ( t )の解析表現の要素となります。ヒルベルト変換は、この設定でDavid Hilbertにより初めて導入され、解析関数に対するリーマン-ヒルベルト問題の特殊なケースを解決しました。 ${\displaystyle 1/(\pi t)}$

意味

uのヒルベルト変換は、u ( t )と関数h ( t ) = ⁠の畳み込みと考えることができる。1/π t⁠ はコーシー核として知られる。1/ tはt = 0にわたって積分可能ではない、畳み込みを定義する積分は必ずしも収束しない。代わりに、ヒルベルト変換はコーシー主値（ここではpvと表記）を用いて定義される。明示的には、関数（または信号） u ( t )のヒルベルト変換は次のように与えられる

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {1}{\pi }}\,\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,\mathrm {d} \tau ,}$$

この積分が主値として存在すると仮定する。これはまさに、 uと緩和分布 p.v.の畳み込みである。1/π t⁠ ^[1]あるいは、変数を変更することで、主値積分は次のように明示的に書くこともできる[2 ^]

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {2}{\pi }}\,\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,\mathrm {d} \tau .}$$

ヒルベルト変換を関数uに2回連続して適用すると、結果は次のようになる。

$${\displaystyle \operatorname {H} {\bigl (}\operatorname {H} (u){\bigr )}(t)=-u(t),}$$

ただし、両方の反復を定義する積分が適切な意味で収束することを前提とする。特に、逆変換は である 。この事実は、ヒルベルト変換がu ( t )のフーリエ変換に与える影響を考えることで最も簡単に理解できる（後述の § フーリエ変換との関係を参照）。 ${\displaystyle -\operatorname {H} }$

上半平面上の解析関数に対して、ヒルベルト変換は境界値の実部と虚部の関係を記述する。すなわち、f ( z ) が上半複素平面{ z  : Im{ z } > 0}上で解析的であり、u ( t ) = Re{ f ( t + 0· i )}とすれば、このヒルベルト変換が存在する限り、加法定数を除いてIm{ f ( t + 0· i )} = H( u )( t )が成立する。

表記

信号処理において、u ( t )のヒルベルト変換は一般的に と表記される。^[3]しかし、数学においては、この表記法はu ( t )のフーリエ変換を表すために既に広く用いられている。^[4]ヒルベルト変換は と表記されることもある。さらに、多くの文献ではヒルベルト変換はここで定義されたものの負として定義される。^[5] ${\displaystyle {\hat {u}}(t)}$ ${\displaystyle {\tilde {u}}(t)}$

歴史

ヒルベルト変換は、リーマンが解析関数に関して提起した問題^{[6] [7]に関するヒルベルトの 1905 年の研究で生まれた。これは}リーマン-ヒルベルト問題として知られるようになった。ヒルベルトの研究は主に円上に定義された関数のヒルベルト変換に関するものであった。^{[8] [9]離散ヒルベルト変換に関する彼の初期の研究の一部は、}ゲッティンゲンで行った講義にまで遡る。その結果は後にヘルマン・ワイルの学位論文で発表された。^[10]シュアは離散ヒルベルト変換に関するヒルベルトの結果を改善し、それを積分の場合に拡張した。^[11]これらの結果は空間L ²とℓ ²に制限されていた。 1928年、マルセル・リースは、ヒルベルト変換はuの( L ^p空間)において1 < p < ∞に対して定義できること、ヒルベルト変換は1 < p < ∞に対して有界作用素であること、同様の結果が円周上のヒルベルト変換と離散ヒルベルト変換の両方に対して成り立つことを証明した。^[12]ヒルベルト変換は、アントニ・ジグムントとアルベルト・カルデロンが特異積分を研究していた際の刺激的な例であった。^[13]彼らの研究は現代の調和解析において基本的な役割を果たしている。ヒルベルト変換の様々な一般化、例えば双線型ヒルベルト変換や三線型ヒルベルト変換は、今日でも活発に研究されている分野である。 ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

フーリエ変換との関係

ヒルベルト変換は乗数演算子である。^[14] Hの乗数はσH ( _ω ) =− isgn ( ω )であり、ここでsgnは符号関数である。したがって、

$${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {H} (u){\bigr )}(\omega )=-i\operatorname {sgn}(\omega )\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega ),}$$

ここで はフーリエ変換 を表す。sgn ( x ) = sgn(2 π x )であるので、この結果は の3つの一般的な定義に当てはまる。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

オイラーの公式によれば、 $${\displaystyle \sigma _{\operatorname {H} }(\omega )={\begin{cases}~~i=e^{+i\pi /2}&{\text{if }}\omega <0\\~~0&{\text{if }}\omega =0\\-i=e^{-i\pi /2}&{\text{if }}\omega >0\end{cases}}}$$

したがって、H( u )( t ) は、 u ( t )の負の周波数成分の位相を+90° ( π ⁄ 2 ラジアン) シフトし、正の周波数成分の位相を -90° シフトする効果があり、i ·H( u )( t )は、正の周波数成分を復元する効果があり、負の周波数成分はさらに +90° シフトされ、その結果、それらの値が反転されます (つまり、-1 で乗算されます)。

ヒルベルト変換を2回適用すると、 u ( t )の負の周波数成分と正の周波数成分の位相はそれぞれ+180°と-180°シフトし、これらは等しい量である。信号は反転され、つまりH(H( u )) = - uとなる。なぜなら、

$${\displaystyle \left(\sigma _{\operatorname {H} }(\omega )\right)^{2}=e^{\pm i\pi }=-1\quad {\text{for }}\omega \neq 0.}$$

選択されたヒルベルト変換の表

次の表では、周波数パラメータは実数です。 ${\displaystyle \omega }$

信号 ${\displaystyle u(t)}$	ヒルベルト変換[fn 1] ${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)}$
${\displaystyle \sin(\omega t+\varphi )}$ [脚注2]	${\displaystyle {\begin{array}{lll}\sin \left(\omega t+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}}\right)=-\cos \left(\omega t+\varphi \right),\quad \omega >0\\\sin \left(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(\omega t+\varphi \right),\quad \omega <0\end{array}}}$
${\displaystyle \cos(\omega t+\varphi )}$ [脚注2]	${\displaystyle {\begin{array}{lll}\cos \left(\omega t+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}}\right)=\sin \left(\omega t+\varphi \right),\quad \omega >0\\\cos \left(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}\right)=-\sin \left(\omega t+\varphi \right),\quad \omega <0\end{array}}}$
${\displaystyle e^{i\omega t}}$	${\displaystyle {\begin{array}{lll}e^{i\left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)},\quad \omega >0\\e^{i\left(\omega t+{\tfrac {\pi }{2}}\right)},\quad \omega <0\end{array}}}$
${\displaystyle e^{-i\omega t}}$	${\displaystyle {\begin{array}{lll}e^{-i\left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)},\quad \omega >0\\e^{-i\left(\omega t+{\tfrac {\pi }{2}}\right)},\quad \omega <0\end{array}}}$
${\displaystyle 1 \over t^{2}+1}$	${\displaystyle t \over t^{2}+1}$
${\displaystyle e^{-t^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi \,}}}F(t)}$ （ドーソン関数を参照）
シンク関数 ${\displaystyle \sin(t) \over t}$	${\displaystyle 1-\cos(t) \over t}$
ディラックのデルタ関数 ${\displaystyle \delta (t)}$	${\displaystyle {1 \over \pi t}}$
特性関数 ${\displaystyle \chi _{[a,b]}(t)}$	${\displaystyle {{\frac {1}{\,\pi \,}}\ln \left\vert {\frac {t-a}{t-b}}\right\vert }}$

注記

1. 一部の著者（例えばBracewell）は、我々の-Hを順方向変換の定義として用いています。その結果、この表の右列は反転されます。
2. sin関数とcos関数のヒルベルト変換は、積分の主値を無限遠で取ることによって定義できます。この定義は、ヒルベルト変換を超関数的に定義した結果と一致する。

ヒルベルト変換の詳細な表が利用可能です。^[15]定数のヒルベルト変換はゼロであることに注意してください。

定義の領域

ヒルベルト変換が明確に定義されているかどうかは、決して自明ではありません。なぜなら、それを定義する仮積分は適切な意味で収束しなければならないからです。しかしながら、ヒルベルト変換は、 1 < p < ∞の関数など、幅広い関数のクラスに対して明確に定義されています。 ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

より正確には、uが1 < p < ∞のとき、不定積分を定義する極限は ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {2}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,d\tau }$$

ほぼすべての tに対して存在する。極限関数も に含まれ、実際は不定積分の平均における極限でもある。つまり、 ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,\mathrm {d} \tau \to \operatorname {H} (u)(t)}$$

ε → 0のときL ^pノルムと同様にほぼすべての点でTitchmarsh定理により成り立つ。^[16]

p = 1の場合でも、ヒルベルト変換はほぼすべての点で点収束しますが、局所的にも積分不可能になることがあります。^[17]特に、この場合、平均収束は一般には起こりません。しかし、L ^{1関数のヒルベルト変換は}L ¹ -弱収束し、ヒルベルト変換はL ^1からL ^1,wへの有界演算子です。^[18]（特に、ヒルベルト変換はL ²上の乗数演算子でもあるため、マルチンキエヴィチ補間と双対性の議論によって、 HがL ^p上で有界であるという別の証明が得られます。）

プロパティ

境界性

1 < p < ∞の場合、 のヒルベルト変換は有界線型作用素であり、定数C _pが存在し、 ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \left\|\operatorname {H} u\right\|_{p}\leq C_{p}\left\|u\right\|_{p}}$$

すべての人のために。^[19] ${\displaystyle u\in L^{p}(\mathbb {R} )}$

最も良い定数は^[20]で与えられる。 ${\displaystyle C_{p}}$ $${\displaystyle C_{p}={\begin{cases}\tan {\frac {\pi }{2p}}&{\text{if}}~1<p\leq 2\\[4pt]\cot {\frac {\pi }{2p}}&{\text{if}}~2<p<\infty \end{cases}}}$$

2のべき乗となる最適な定数を見つける簡単な方法は、いわゆるコトラー恒等式を用いて、すべての実数値fに対して成り立つ定数を見つけることです。周期ヒルベルト変換についても、同様の最適な定数が成り立ちます。 ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (\operatorname {H} f)^{2}=f^{2}+2\operatorname {H} (f\operatorname {H} f)}$

ヒルベルト変換の有界性は対称部分和演算子の収束 を意味する。 ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle S_{R}f=\int _{-R}^{R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} \xi }$$

にfする。^[21] ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

反自己随伴性

ヒルベルト変換は、と双対空間間の双対性ペアリングに対する反自己随伴演算子である。ここで、pとqはホルダー共役であり、1 < p、q < ∞ である。記号的に、 ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \langle \operatorname {H} u,v\rangle =\langle u,-\operatorname {H} v\rangle }$$

および。^[22 ] ${\displaystyle u\in L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle v\in L^{q}(\mathbb {R} )}$

逆変換

ヒルベルト変換は反反転であり^[23]、

$${\displaystyle \operatorname {H} {\bigl (}\operatorname {H} \left(u\right){\bigr )}=-u}$$

ただし、各変換は明確に定義されている。Hは空間 を保存するので、特にヒルベルト変換は 上で可逆であり、 ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \operatorname {H} ^{-1}=-\operatorname {H} }$$

複雑な構造

の実数値関数の実バナッハ空間上でH ² = −I （" I " は恒等演算子）が成り立つため、ヒルベルト変換はこのバナッハ空間上に線型複素構造を定義する。特に、p = 2のとき、ヒルベルト変換は複素ヒルベルト空間の構造における実数値関数のヒルベルト空間を与える。 ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

ヒルベルト変換の（複素）固有状態は、ペイリー・ウィーナーの定理により、ハーディ空間H ²の上部半平面と下部半平面における正則関数として表現できます。

差別化

正式には、ヒルベルト変換の微分は微分のヒルベルト変換です。つまり、これらの 2 つの線形演算子は可換です。

$${\displaystyle \operatorname {H} \left({\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {H} (u)}$$

このアイデンティティを繰り返して、

$${\displaystyle \operatorname {H} \left({\frac {\mathrm {d} ^{k}u}{\mathrm {d} t^{k}}}\right)={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}\operatorname {H} (u)}$$

これは、 uとその最初のk導関数がに属する限り厳密に真である。^[24]これは周波数領域で簡単に確認でき、微分はωによる乗算になる。 ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

畳み込み

ヒルベルト変換は、緩和分布との畳み込みとして形式的に実現できる^[25]

$${\displaystyle h(t)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{\pi \,t}}}$$

したがって、正式には、

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)=h*u}$$

しかし、これは事前にはコンパクトサポートの超関数uに対してのみ定義できる。コンパクトサポート関数（これはa fortiori超関数である）はL ^pに稠密であるため、これをある程度厳密に扱うことは可能である。あるいは、 h ( t ) が関数log| t |/ πの超微分であるという事実を利用することもできる。すなわち、

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{\pi }}\left(u*\log {\bigl |}\cdot {\bigr |}\right)(t)\right)}$$

ほとんどの演算目的において、ヒルベルト変換は畳み込みとして扱うことができます。例えば、形式的な意味では、畳み込みのヒルベルト変換は、以下のいずれかの因子のみに適用されたヒルベルト変換の畳み込みです。

$${\displaystyle \operatorname {H} (u*v)=\operatorname {H} (u)*v=u*\operatorname {H} (v)}$$

これは、 uとvがコンパクトにサポートされている超関数である場合に厳密に真である。なぜなら、その場合、

$${\displaystyle h*(u*v)=(h*u)*v=u*(h*v)}$$

適切な極限まで進むと、 u ∈ L ^pかつv ∈ L ^qの場合でも真となる。ただし、

$${\displaystyle 1<{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}}$$

ティッチマーシュの定理より。^[26]

不変性

ヒルベルト変換は、 に対して次の不変性を持ちます。 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

• これは変換と可換である。つまり、任意のaについてT _a f ( x ) = f ( x + a )という演算子と可換である。 ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• これは正の拡大と可換である。つまり、すべてのλ > 0に対して、演算子M _λ f ( x ) = f ( λ x )と可換である。
• これは反射R f ( x ) = f (− x )と反交換します。

乗法定数を除いて、ヒルベルト変換はこれらの性質を持つL2^上の唯一の有界演算子である。^[27]

実際、ヒルベルト変換と可換な作用素はより多く存在する。この群は、ユニタリ作用素U _gによって空間に作用し、その式は次のようになる。 ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \operatorname {U} _{g}^{-1}f(x)={\frac {1}{cx+d}}\,f\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)\,,\qquad g={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}~,\qquad {\text{ for }}~ad-bc=\pm 1.}$$

このユニタリ表現はの主な級数表現の一例である。この場合、 は既約であり、2 つの不変部分空間、ハーディ空間とその共役空間の直交和として分割される。 これらは、上半平面と下半平面上の正則関数のL ²境界値の空間である。とその共役空間は、フーリエ変換が実軸の負の部分と正の部分でそれぞれ消失するL ²関数から構成される。 ヒルベルト変換はH = − i (2 P − I)に等しく、Pはから への直交射影、 I は恒等演算子であるため、とその直交補空間は、固有値± iに対するHの固有空間となる。 言い換えると、H は演算子U _gと可換である。 演算子U _gからとその共役空間への制限により、の既約表現、いわゆる離散級数表現の極限が得られる。^[28] ${\displaystyle ~{\text{SL}}(2,\mathbb {R} )~.}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$

定義領域の拡張

分布のヒルベルト変換

さらに、ヒルベルト変換を特定の超関数空間に拡張することが可能である（ Pandey 1996、第3章）。ヒルベルト変換は微分と可換であり、 L ^p上の有界作用素であるため、H はソボレフ空間の逆極限における連続変換を与えるように制限する：

$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}={\underset {n\to \infty }{\underset {\longleftarrow }{\lim }}}W^{n,p}(\mathbb {R} )}$$

ヒルベルト変換は、L ^p個の超関数からなるの双対空間（ と表記）上で定義できます。これは、 の双対性ペアリングによって実現されます。に対して、以下を定義します。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}'}$
${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'_{L^{p}}}$

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)\in {\mathcal {D}}'_{L^{p}}=\langle \operatorname {H} u,v\rangle \ \triangleq \ \langle u,-\operatorname {H} v\rangle ,\ {\text{for all}}\ v\in {\mathcal {D}}_{L^{p}}.}$$

^{ゲルファンドとシロフ[29]}によるアプローチによって、緩和超関数の空間上のヒルベルト変換を定義することも可能であるが、積分の特異性のために、より注意が必要である。

有界関数のヒルベルト変換

ヒルベルト変換は の関数に対しても定義できますが、いくつかの修正と注意が必要です。正しく理解すれば、ヒルベルト変換は有界平均振動（BMO）類のバナッハ空間に写像されます。 ${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}$

素朴に解釈すると、有界関数のヒルベルト変換は明らかに定義が困難である。例えば、u = sgn( x )の場合、 H( u )を定義する積分はほぼ全域で±∞に発散する。このような困難さを軽減するため、 L ^∞関数のヒルベルト変換は、積分の次の正規化された形で定義される。

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)=\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )\left\{h(t-\tau )-h_{0}(-\tau )\right\}\,\mathrm {d} \tau }$$

ここで、h ( x ) = ⁠1/πx⁠そして

$${\displaystyle h_{0}(x)={\begin{cases}0&{\text{if}}~|x|<1\\{\frac {1}{\pi \,x}}&{\text{if}}~|x|\geq 1\end{cases}}}$$

修正された変換Hは、カルデロンとジグムンドによる一般的な結果から、コンパクト台関数上の加法定数を除いて元の変換と一致する。^[30]さらに、結果として得られる積分は、ほぼすべての点で、またBMOノルムに関して、有界平均振動の関数に収束する。

^{フェファーマンの研究[31]}の深い結果は、関数が有界平均振動であるためには、ある関数に対してf + H( g )の形をとる必要があるということである。 ${\displaystyle f,g\in L^{\infty }(\mathbb {R} )}$

共役関数

ヒルベルト変換は、関数f ( x )とg ( x )のペアとして理解することができ、その関数は上半平面における正則関数F ( z )の境界値となる。 ^[32]このような状況下で、fとgが十分に積分可能であれば、一方は他方のヒルベルト変換となる。 $${\displaystyle F(x)=f(x)+i\,g(x)}$$

と仮定すると、ポアソン積分の理論により、fは上半平面への唯一の調和拡張を許容し、この拡張は次のように与えられる。 ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ).}$

$${\displaystyle u(x+iy)=u(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\;{\frac {y}{(x-s)^{2}+y^{2}}}\;\mathrm {d} s}$$

これはfとポアソン核の畳み込みである

$${\displaystyle P(x,y)={\frac {y}{\pi \,\left(x^{2}+y^{2}\right)}}}$$

さらに、上半平面で定義される唯一の調和関数vが存在し、 F ( z ) = u ( z ) + iv ( z )は正則であり、 $${\displaystyle \lim _{y\to \infty }v\,(x+i\,y)=0}$$

この調和関数は、共役ポアソン核との畳み込みによってfから得られる。

$${\displaystyle Q(x,y)={\frac {x}{\pi \,\left(x^{2}+y^{2}\right)}}.}$$

したがって $${\displaystyle v(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\;{\frac {x-s}{\,(x-s)^{2}+y^{2}\,}}\;\mathrm {d} s.}$$

実際、コーシー核の実部と虚部は $${\displaystyle {\frac {i}{\pi \,z}}=P(x,y)+i\,Q(x,y)}$$

となるので、F = u + ivはコーシーの積分公式により正則となる。

このようにしてuから得られる関数vはuの調和共役と呼ばれる。 y → 0におけるv ( x , y )の（非接線）境界極限はfのヒルベルト変換である。したがって、簡潔に言えば、 $${\displaystyle \operatorname {H} (f)=\lim _{y\to 0}Q(-,y)\star f}$$

ティッチマーシュの定理

ティッチマーシュの定理（ 1937年の研究に取り入れたECティッチマーシュにちなんで名付けられた）は、上半平面における正則関数の境界値とヒルベルト変換の関係を明確にする。^{[33]この定理は、実数直線上の複素数値の2}乗可積分関数F ( x )が上半平面Uにおける正則関数のハーディ空間 H ² ( U )における関数の境界値となるための必要十分条件を与える。

この定理は、複素数値の二乗可積分関数に対する次の条件が同等であることを述べています。 ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

• F ( x )は、上半平面における正則関数F ( z )のz → xの極限であり $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|F(x+i\,y)|^{2}\;\mathrm {d} x<K}$$
• F ( x )の実部と虚部は互いのヒルベルト変換である。
• フーリエ変換は x < 0の場合にゼロになります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(F)(x)}$

より弱い結果は、 p > 1のクラスL ^pの関数に対して成り立つ。^{[34]具体的には、} F ( z ) が次のような正則関数である場合、

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|F(x+i\,y)|^{p}\;\mathrm {d} x<K}$$

任意のyに対して、L ^pノルムでy → 0のときにF ( x + iy ) → F ( x )が成り立つような複素数値関数F ( x )が存在する（ほぼすべての点で各点ごとに成り立つ）。さらに、 ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle F(x)=f(x)+i\,g(x)}$$

ここで、fは実数値関数であり、gはfのヒルベルト変換（クラスL ^p）です。 ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

これはp = 1の場合には当てはまりません。実際、L ¹関数fのヒルベルト変換は、必ずしも他のL ¹関数に平均収束するとは限りません。しかしながら、^[35] fのヒルベルト変換は、ほぼすべての点で有限関数gに収束し、

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {|g(x)|^{p}}{1+x^{2}}}\;\mathrm {d} x<\infty }$$

この結果は、円板上のハーディ関数に対するアンドレイ・コルモゴロフの結果と直接類似している。 ^{[36]通常はティッチマーシュの定理と呼ばれるが、この結果はハーディ、ペイリー、ウィーナー（}ペイリー・ウィーナー定理を参照）を含む他の多くの研究や、リース、ヒレ、タマルキンの研究を集約したものである。 ^[37]

リーマン・ヒルベルト問題

リーマン・ヒルベルト問題の一つの形式は、関数F ₊とF _{−のペアを特定しようとするものである}。F _+は上半平面上で正則であり、 F _−は下半平面上で正則であり、実軸上のxに対して、 $${\displaystyle F_{+}(x)-F_{-}(x)=f(x)}$$

ここで、f ( x )は与えられた実数値関数である。この式の左辺は、F _±の極限と適切な半平面との差、あるいは超関数分布として理解できる。この形の2つの関数は、リーマン・ヒルベルト問題の解である。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

正式には、F _±がリーマン・ヒルベルト問題を解くと $${\displaystyle f(x)=F_{+}(x)-F_{-}(x)}$$

するとf ( x )のヒルベルト変換は^[38]で与えられる。 $${\displaystyle H(f)(x)=-i{\bigl (}F_{+}(x)+F_{-}(x){\bigr )}.}$$

円上のヒルベルト変換

周期関数fに対して円ヒルベルト変換が定義されます。

$${\displaystyle {\tilde {f}}(x)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\operatorname {p.v.} \int _{0}^{2\pi }f(t)\,\cot \left({\frac {x-t}{2}}\right)\,\mathrm {d} t}$$

円ヒルベルト変換は、ハーディ空間の特性評価やフーリエ級数における共役関数の研究に用いられる。この核は、 ヒルベルト変換が元々この形で研究されていたため、ヒルベルト核として知られている。 ^[8] $${\displaystyle \cot \left({\frac {x-t}{2}}\right)}$$

ヒルベルト核（円ヒルベルト変換用）は、コーシー核を1 ⁄ x周期的にすることで得られる。より正確には、x ≠ 0に対して

$${\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}\cot \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{x+2n\pi }}+{\frac {1}{\,x-2n\pi \,}}\right)}$$

この対応関係から得られるヒルベルト変換の対応する結果から、円ヒルベルト変換に関する多くの結果を導き出すことができます。

より直接的な関係は、ケーリー変換C ( x ) = ( x – i ) / ( x + i )によって与えられ、これは実数直線を円上に、上半平面を単位円板上に写す。これによりユニタリ写像が導かれる。

$${\displaystyle U\,f(x)={\frac {1}{(x+i)\,{\sqrt {\pi }}}}\,f\left(C\left(x\right)\right)}$$

L ² ( T )をへ変換する演算子Uはハーディ空間H ² ( T )をハーディ空間 へ変換する。^[39] ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$

信号処理におけるヒルベルト変換

ベドロシアンの定理

ベドロシアンの定理は、スペクトルが重なり合わない低域通過信号と高域通過信号の積のヒルベルト変換は、低域通過信号と高域通過信号のヒルベルト変換の積で与えられる、または

$${\displaystyle \operatorname {H} \left(f_{\text{LP}}(t)\cdot f_{\text{HP}}(t)\right)=f_{\text{LP}}(t)\cdot \operatorname {H} \left(f_{\text{HP}}(t)\right),}$$

ここで、f _LPとf _{HP は}それぞれローパス信号とハイパス信号である。^{[40]このことが適用される通信信号のカテゴリの一つは、}狭帯域信号モデル と呼ばれる。 このカテゴリの一つに、高周波正弦波「搬送波」の振幅変調がある。

$${\displaystyle u(t)=u_{m}(t)\cdot \cos(\omega t+\varphi ),}$$

ここでu _m ( t )は音声や音楽などの狭帯域「メッセージ」波形である。ベドロシアンの定理によれば、次の式が成り立つ。^[41]

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\begin{cases}+u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\varphi )&{\text{if }}\omega >0\\-u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\varphi )&{\text{if }}\omega <0\end{cases}}}$$

解析的表現

共役関数の具体的な種類は次のとおりです。

$${\displaystyle u_{a}(t)\triangleq u(t)+i\cdot H(u)(t),}$$

の解析的表現として知られる。 この名称は、主にオイラーの公式による数学的な扱いやすさを反映している。ベドロシアンの定理を狭帯域モデルに適用すると、解析的表現は次のように表される：^[42] ${\displaystyle u(t).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{a}(t)&=u_{m}(t)\cdot \cos(\omega t+\varphi )+i\cdot u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\varphi ),\quad \omega >0\\&=u_{m}(t)\cdot \left[\cos(\omega t+\varphi )+i\cdot \sin(\omega t+\varphi )\right],\quad \omega >0\\&=u_{m}(t)\cdot e^{i(\omega t+\varphi )},\quad \omega >0.\,\end{aligned}}}$

式1

フーリエ変換の性質から、この複素ヘテロダイン演算はu _m ( t )の負の周波数成分すべてを0 Hzより上にシフトできることがわかります。この場合、結果の虚数部は実数部のヒルベルト変換となります。これはヒルベルト変換を生成する間接的な方法です。

角度（位相/周波数）変調

フォーム：^[43]

$${\displaystyle u(t)=A\cdot \cos(\omega t+\varphi _{m}(t))}$$

これは角度変調と呼ばれ、位相変調と周波数変調の両方を含みます。瞬時周波数は、   ωが  十分に大きい場合、以下と比較すると次のようになります。 ${\displaystyle \omega +\varphi _{m}^{\prime }(t).}$ ${\displaystyle \varphi _{m}^{\prime }}$

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)\approx A\cdot \sin(\omega t+\varphi _{m}(t))}$$そして： $${\displaystyle u_{a}(t)\approx A\cdot e^{i(\omega t+\varphi _{m}(t))}.}$$

単側波帯変調（SSB）

式1の u _m ( t )も解析的表現（メッセージ波形）である場合、次の式が成り立ちます。

$${\displaystyle u_{m}(t)=m(t)+i\cdot {\widehat {m}}(t)}$$

結果は単側波帯変調です。

$${\displaystyle u_{a}(t)=(m(t)+i\cdot {\widehat {m}}(t))\cdot e^{i(\omega t+\varphi )}}$$

伝達される成分は次の通りである: ^{[44] [45]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&=\operatorname {Re} \{u_{a}(t)\}\\&=m(t)\cdot \cos(\omega t+\varphi )-{\widehat {m}}(t)\cdot \sin(\omega t+\varphi )\end{aligned}}}$$

因果関係

この関数は、畳み込みでの実際の実装に対して、因果関係に基づく 2 つの課題を提示します (0 での未定義値に加えて)。 ${\displaystyle h(t)=1/(\pi t)}$

• 持続時間は無限です（技術的には無限サポート）。有限長ウィンドウ処理は変換の有効周波数範囲を狭めます。ウィンドウが短いほど、低周波数と高周波数での損失が大きくなります。直交フィルタも参照してください。
• これは非因果フィルタです。そのため、遅延版が必要です。対応する出力はその後、 だけ遅延されます。解析信号 の虚数部を生成する場合、ソース（実数部）も だけ遅延させる必要があります。 ${\displaystyle h(t-\tau ),}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$

離散ヒルベルト変換

図1：周波数応答がナイキスト周波数の約95%に帯域制限されたフィルタ

図2：ハイパス周波数応答を持つヒルベルト変換フィルタ

図3 .

図4. cos( ωt )のヒルベルト変換はsin( ωt )である。この図は、sin(ωt)と、MATLABライブラリ関数hilbert()によって計算された2つの近似ヒルベルト変換を示している。

図5 . 区分畳み込みを用いたコサイン関数の離散ヒルベルト変換

離散関数の場合、離散時間フーリエ変換（DTFT）、離散ヒルベルト変換を用いると、−π < ω < πの領域におけるDTFT は次のように表されます。 ${\displaystyle u[n],}$ ${\displaystyle U(\omega )}$ ${\displaystyle {\widehat {u}}[n],}$ ${\displaystyle {\widehat {u}}[n]}$

${\displaystyle \operatorname {DTFT} ({\widehat {u}})=U(\omega )\cdot (-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega )).}$

畳み込み定理を用いた逆DTFTは次のようになる：^{[46] [47]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {u}}[n]&={\scriptstyle \mathrm {DTFT} ^{-1}}(U(\omega ))\ *\ {\scriptstyle \mathrm {DTFT} ^{-1}}(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\\&=u[n]\ *\ {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \\&=u[n]\ *\ \underbrace {{\frac {1}{2\pi }}\left[\int _{-\pi }^{0}i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega -\int _{0}^{\pi }i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \right]} _{h[n]},\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle h[n]\ \triangleq \ {\begin{cases}0,&{\text{if }}n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}}&{\text{if }}n{\text{ odd}}\end{cases}}}$

これは無限インパルス応答 (IIR) です。

実践上の考慮事項^[48]

方法 1: ストリーミングデータと FIR 近似を直接畳み込む。この近似を で示す。 切り捨ての例を図 1 と 2 に示す。 図 1 は、奇数の反対称係数を持ち、タイプ III と呼ばれる。^[49]このタイプは、本質的に周波数 0 とナイキストで振幅がゼロの応答を示し、バンドパスフィルタの形状になる。^{[50] [51]}タイプ IV 設計 (偶数の反対称係数) を図 2に示す。^{[52] [53]}これはハイパス周波数応答を持つ。^[54]通常、タイプ III が選択される。^{[55] [56]}理由は次の通りである。 ${\displaystyle u[n]}$ ${\displaystyle h[n],}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}[n].}$ ${\displaystyle h[n]}$

• 一般的な（つまり、適切にフィルタリングされ、サンプリングされた）シーケンスには、ナイキスト周波数で有用なコンポーネントはありません。 ${\displaystyle u[n]}$
• タイプIVのインパルス応答では、シーケンスのサンプルシフトが必要です。これにより、図2に示すように、ゼロ値の係数が非ゼロになります。したがって、タイプIIIの設計は、タイプIVの設計の2倍の効率になる可能性があります。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle h[n]}$
• タイプIII設計の群遅延は整数サンプル数であり、これにより解析信号を作成するための調整が容易になります。タイプIVの群遅延は2つのサンプルの中間値です。 ${\displaystyle {\widehat {u}}[n]}$ ${\displaystyle u[n]}$

の急激な切り捨ては、平坦な周波数応答にリップル（ギブス効果）を引き起こします。これは、窓関数を用いてゼロに向かって徐々に減衰させることで軽減できます。^[57] ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$

方法2： 区分畳み込み。直接畳み込みは、畳み込み定理を介して高速フーリエ変換の効率性にアクセスできるオーバーラップセーブ^{などの方法よりも計算量が非常に多いことがよく知られています。 [58]}具体的には、のセグメントの離散フーリエ変換（DFT）を、シーケンスのDFTと点ごとに乗算します。積に対して逆DFTが実行され、セグメントの立ち上がりエッジと立ち下がりエッジにおける過渡的なアーティファクトは除去されます。入力セグメントが重なり合うことで、出力ストリームにギャップが生じなくなります。等価な時間領域記述は、長さ（任意のパラメータ）のセグメントを周期関数 で畳み込むことです。 ${\displaystyle u[n]}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\tilde {h}}_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\tilde {h}}[n-mN].}$

の非ゼロ値の持続時間が出力シーケンスに のサンプルが含まれる場合、出力は の各ブロックから破棄され、ギャップを防ぐために入力ブロックはその量だけオーバーラップされます。 ${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$ ${\displaystyle M<N,}$ ${\displaystyle N-M+1}$ ${\displaystyle {\widehat {u}}.}$  ${\displaystyle M-1}$ ${\displaystyle N,}$

方法3: 方法2と同じですが、 のDFTを分布のサンプル（実数部と虚数部がすべてまたは ）に置き換え、これを周期的な和で畳み込みます。^[A] ${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$ ${\displaystyle -i\operatorname {sgn} (\omega )}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pm 1.}$ ${\displaystyle u[n]}$

${\displaystyle h_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-mN],}$   ^{[B] [C]}

任意のパラメータに対しては、FIRではないため、エッジ効果は変換全体にわたって影響を及ぼします。削除する対象とそれに応じたオーバーラップ量の決定は、アプリケーションに依存する設計上の問題です。 ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle h[n]}$

図3は、方法2と方法3の違いを示しています。反対称インパルス応答の半分のみ、つまり非ゼロ係数のみが表示されています。青いグラフは方法2に対応しており、テーパードウィンドウ関数ではなく矩形窓関数によって切り捨てられています。これはMatlab関数hilb(65)によって生成されます。その過渡効果は正確に分かっており、容易に無視できます。関数の引数によって決定される周波数応答は、アプリケーションに依存する唯一の設計上の問題です。 ${\displaystyle h[n]}$

赤いグラフは方法3に対応しています。これは分布の逆DFTです。具体的には、 MATLAB関数hilbert(u,512)によってのセグメントと畳み込まれた関数です。^[61]出力シーケンスの実部は元の入力シーケンスであるため、複素出力はの解析的表現となります。 ${\displaystyle h_{512}[n],}$ ${\displaystyle -i\operatorname {sgn} (\omega )}$ ${\displaystyle u[n]}$ ${\displaystyle u[n].}$

入力が純粋なコサインの一部である場合、2つの異なる値の畳み込みの結果は図4（赤と青のプロット）に示されています。エッジ効果により、結果は純粋な正弦関数になりません（緑のプロット）。はFIRシーケンスではないため、理論上は効果の範囲は出力シーケンス全体になります。しかし、正弦関数との差はエッジから離れるにつれて小さくなります。パラメータは出力シーケンスの長さです。これが入力シーケンスの長さを超える場合、入力はゼロ値の要素を追加することで変更されます。ほとんどの場合、これによりエッジ歪みの程度は軽減されます。しかし、エッジ歪みの持続時間は、インパルス応答の固有の立ち上がり時間と立ち下がり時間によって左右されます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h_{N}[n]}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h[n]}$

図5は、方法2（青）と方法3（赤点）の両方を用いた区分畳み込みの例です。正弦関数は、4つの重なり合う部分で処理された余弦関数の離散ヒルベルト変換を計算し、それらをつなぎ合わせることで生成されます。FIRの結果（青）が示すように、IIRの結果（赤）に見られる歪みは、と（図3の緑と赤）の差によるものではありません。がテーパード（窓関数）になっているという事実は、この文脈では実際には役に立ちます。真の問題は、窓関数が十分に適用されていないことです。実際、オーバーラップセーブ法では ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle h_{N}[n]}$ ${\displaystyle h_{N}[n]}$ ${\displaystyle M=N,}$ ${\displaystyle M<N.}$

数論的ヒルベルト変換

数論的ヒルベルト変換は、離散ヒルベルト変換を適切な素数を法とする整数に拡張したものである^{[62] 。これは、}離散フーリエ変換の数論的変換への一般化に従っている。数論的ヒルベルト変換は、直交離散列の集合を生成するために用いることができる^{[63] 。}

参照

• 分析信号
• 調和共役
• ヒルベルト分光法
• 複素平面におけるヒルベルト変換
• ヒルベルト・ファン変換
• クラマース・クローニヒ関係
• リース変換
• 単側波帯変調
• 畳み込み型の特異積分演算子
• スティルチェス変換

注記

1. § 周期畳み込み、式4bを参照
2. の偶数値に対するの閉じた形式は次のようになる: ^[59] ${\displaystyle h_{N}[n]}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle h_{N}[n]={\begin{cases}{\frac {2}{N}}\cot(\pi n/N)&{\text{for }}n{\text{ odd}},\\0&{\text{for }}n{\text{ even}}.\end{cases}}}$$
3. の奇数値に対するの閉じた形式は次式で表される: ^[60] ${\displaystyle h_{N}[n]}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle h_{N}[n]={\frac {1}{N}}\left(\cot(\pi n/N)-{\frac {\cos(\pi n)}{\sin(\pi n/N)}}\right),}$$

ページ引用

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3. 例えば、Brandwood 2003、p.87。
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17. ティッチマーシュ 1948、§5.14。
18. Stein & Weiss 1971、Lemma V.2.8。
19. この定理は Riesz 1928, VII によるものです。また、Titchmarsh 1948, Theorem 101 も参照してください。
20. この結果はPichorides 1972によるものです。またGrafakos 2004の注釈4.1.8も参照してください。
21. 例えばDuoandikoetxea 2000、p.59を参照。
22. Titchmarsh 1948、定理102。
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30. カルデロンとジグムンド、1952年。フェファーマン 1971 を参照。
31. フェファーマン 1971; フェファーマン＆スタイン 1972
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さらに読む

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外部リンク

• ヒルベルト変換の有界性の導出
• Mathworld ヒルベルト変換 — 変換表が含まれています
• ワイスタイン、エリック・W.「ティッチマーシュの定理」。MathWorld。
• 「GS256 講義3：ヒルベルト変換」（PDF）。2012年2月27日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。ヒルベルト変換の入門レベルの入門書。

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