ホップ分岐

Critical point where a periodic solution arises

任意の微分方程式の固定点の複素固有値（点）。ホップ分岐の場合、2つの複素共役固有値が虚軸と交差する。

力学系と微分方程式の数学において、ホップ分岐は、系のパラメータを変化させることで、解（軌道）の集合が固定点に引き寄せられる（または反発する）状態から、振動する周期的な解に引き寄せられる（または反発する）状態に変化するときに発生すると言われている。^{[1]ホップ分岐は、}フォーク分岐の2次元版である。

ラジオ発振器から鉄道台車まで、様々なシステムがホップ分岐を示す。^[2] 自動車に牽引されるトレーラーは、積載状態が適切でなかったり、形状設計が不適切だったりすると、非常に不安定になることで有名である。これは、日常の世界におけるホップ分岐の直感的な例であり、パラメータが変化すると、安定した運動が不安定になり、振動する。流体の流れもまた、定常層流から非定常層流への移行時にホップ分岐挙動を示す。^[3]

力学系の解集合がパラメータの変化に応じてどのように変化するかに関する一般理論は分岐理論と呼ばれます。分岐という用語は、解集合が典型的には複数のクラスに分岐することから生じます。安定性理論は、機械系、電子系、生物系における安定性の一般理論を探求します。

ホップ分岐点を特定する従来のアプローチは、微分方程式系に関連付けられたヤコビ行列を用いることです。この行列が、パラメータを変化させたときに虚軸と交差する複素共役固有値のペアを持つ場合、その点が分岐点となります。この交差は、リミットサイクルに「分岐」する安定した固定点と関連付けられています。

ホップ分岐は、アンリ・ポアンカレ、アレクサンドル・アンドロノフ、エーバーハルト・ホップにちなんで名付けられ、ポアンカレ・アンドロノフ・ホップ分岐とも呼ばれます。

概要

ホップ分岐は、微分方程式で記述される様々な力学系で発生します。このような分岐の近傍では、力学系の2次元部分集合は正規形で近似され、これは標準的には次のような時間依存微分方程式として表されます。

${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=z\left((\lambda +i)+b|z|^{2}\right)}$

ここで、 は動的変数であり、複素数です。パラメータ は実数で、は複素パラメータです。この数は第一リアプノフ係数と呼ばれます。上記の式には、以下に示すような単純な厳密解があります。この解は、またはによって2つの異なる挙動を示します。 の関数としてのこの挙動の変化は、「ホップ分岐」と呼ばれます。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle b=\alpha +i\beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \lambda <0}$ ${\displaystyle \lambda ,}$

ホップ分岐の研究は、上記の式とその解そのものを研究するものではなく、そのような2次元部分空間がどのように識別され、この正規形に写像されるかを研究するものである。一つのアプローチは、分岐点付近でパラメータを変化させたときの微分方程式のヤコビ行列の固有値を調べることである。

正確な解決策

超臨界ホップ分岐の通常形の可視化。^[4]

正規形は、実質的にはスチュアート・ランダウ方程式を異なるパラメータ化で書き表したものに相当します。極座標系では単純な厳密解を持ちます。実部と虚部を別々に書き表すと、一対の常微分方程式が得られます。 ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=1+\beta r^{2}}$

そして

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=r\left(\lambda +\alpha r^{2}\right).}$

2番目の方程式は、 について線形であることを観察することで解くことができます。つまり、 ${\displaystyle 1/r^{2}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{r^{2}}}\right)=-2\left({\frac {\lambda }{r^{2}}}+\alpha \right)}$

これは単に指数方程式をずらしたものである。整理すると一般解が得られる。

${\displaystyle r(t)=r_{0}{\sqrt {\frac {\lambda }{\left(\lambda +\alpha r_{0}^{2}\right)e^{-2\lambda t}-\alpha r_{0}^{2}}}}}$

との符号に応じて、点の軌跡は原点に向かって螺旋状に近づいたり、無限大に向かって螺旋状に遠ざかったり、限界サイクルに近づいたりすることがわかります。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$

超臨界および亜臨界ホップ分岐

近傍のホップ分岐のダイナミクス。赤色は可能な軌道、濃い青色は安定構造、水色の破線は不安定構造。超臨界ホップ分岐：1a) 安定固定点 1b) 不安定固定点、安定限界サイクル 1c) 位相空間ダイナミクス。亜臨界ホップ分岐：2a) 安定固定点、不安定限界サイクル 2b) 不安定固定点 2c) 位相空間ダイナミクス。角度ダイナミクス、ひいては軌道の巻き方向を決定します。 ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle \omega }$

リミットサイクルは、第1リアプノフ係数が負の場合、軌道安定であり、 の場合、分岐は超臨界であると言われる。それ以外の場合、リミットサイクルは不安定であり、分岐は亜臨界である。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda >0.}$

が負の場合、安定なリミットサイクルが存在する。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda >0:}$

${\displaystyle z(t)=re^{i\omega t}}$

どこ

${\displaystyle r={\sqrt {-\lambda /\alpha }}\quad {\text{ and }}\quad \omega =1+\beta r^{2}.}$

これが超臨界状態です。

が正の場合、 に対して不安定なリミットサイクルが存在する 。この分岐は亜臨界分岐と呼ばれる。亜臨界分岐と超臨界分岐へのこの分類は、ピッチフォーク分岐の分類と類似している。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda <0.}$

ヤコビアン

ホップ分岐は、正規形のヤコビ行列の固有値を調べることで理解できます。これは、正規形を直交座標系で書き直すことで最も簡単に行えます。すると、以下のようになります。 ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=\lambda x-y+\left(\alpha x-\beta y\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)\\{\dot {y}}&=x+\lambda y+\left(\beta x+\alpha y\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)\\\end{aligned}}}$

ここで、略記とが使われています。ヤコビアンは ${\displaystyle {\dot {x}}=dx/dt}$ ${\displaystyle {\dot {y}}=dy/dt}$

${\displaystyle J=\left[{\begin{array}{cc}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial x}}&{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial y}}\\{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial x}}&{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial y}}\end{array}}\right]}$

これを計算するのは少し面倒です:

${\displaystyle J=\left[{\begin{array}{cc}\lambda +3\alpha x^{2}-2\beta xy+\alpha y^{2}\quad &-1-3\beta y^{2}+2\alpha xy-\beta x^{2}\\1+3\beta x^{2}+2\alpha xy+\beta y^{2}\quad &\lambda +3\alpha y^{2}+2\beta xy+\alpha x^{2}\end{array}}\right]}$

不動点は に位置することが既に確認されており、その位置ではヤコビアンが特に単純な形をとります。 ${\displaystyle x=y=0}$

${\displaystyle J=\left[{\begin{array}{cc}\lambda &-1\\1&\lambda \end{array}}\right]}$

対応する特性多項式は

${\displaystyle 0=\det[J-wI]=\left(\lambda -w\right)^{2}+1}$

解決策がある

${\displaystyle w=\lambda \pm i}$

ここで、はヤコビアンの複素共役固有値のペアです。パラメータ が負の場合、固有値の実部は（当然のことながら）負になります。パラメータ がゼロを横切ると、実部はゼロになります。これがホップ分岐です。前述のように、が正になるとき、リミットサイクルが発生します。 ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha <0}$

すべてのホップ分岐はこの一般的な形式を持ちます。ヤコビ行列には、関連するパラメータが変化すると虚軸と交差する複素共役固有値のペアがあります。

線形化

上記のヤコビアン計算は、不動点に接する接平面上で計算することで大幅に簡略化できます。不動点は に位置しているので、線形次数よりも高い項をすべて削除することで、微分方程式を「線形化」することができます。これにより、 ${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=\lambda x-y\\{\dot {y}}&=x+\lambda y\\\end{aligned}}}$

ヤコビアンはこれまでと全く同じように計算されます。計算を簡素化する以外、何も変更されていません。線型化された微分方程式は、接束上に定義されたリー微分によって与えられると認識できます。すべての余接束は常にシンプレクティック多様体であるため、分岐理論はシンプレクティック幾何学を用いて定式化するのが一般的です。^[5]

例

セルコフ系におけるホップ分岐（論文参照）。パラメータが変化すると、安定平衡から外れたリミットサイクル（青色）が出現する。

ホップ分岐は、捕食者と被食者の相互作用に関するロトカ・ヴォルテラモデル（濃縮のパラドックスとして知られる）、神経膜電位に関するホジキン・ハクスリーモデル、 ^[6]解糖系のセルコフモデル、^[7]ベロウソフ・ジャボチンスキー反応、ローレンツアトラクター、ブルッセレータ、遅延微分方程式、古典電磁気学で発生する。^[8]ホップ分岐は核分裂波でも発生することが示されている。^[9]

セルコフモデルは

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-x+ay+x^{2}y,~~{\frac {dy}{dt}}=b-ay-x^{2}y.}$

この図はセルコフモデルにおけるホップ分岐を示す位相図です。^[10]

鉄道車両システムにおいて、ホップ分岐解析は特に重要です。従来、鉄道車両は低速域では安定な運動を示しますが、高速域では不安定な運動に移行します。これらのシステムの非線形解析の目的の一つは、ボゴリュボフ法を用いて、接線路上における鉄道車両の分岐、非線形横方向安定性、およびハンチング挙動を解析的に調査することです。^[2]

幾何学的解釈

シンプレクティック幾何学の観点から抽象的に定式化することの利点は、複雑に見える動的システムに対して幾何学的な直観力が得られることです。

微分方程式の集合に対するすべての可能な解（点軌跡）の空間を考えてみましょう。これらの解の接ベクトルは、その系の位相空間、より正式には接線束内にあります。位相空間は、安定多様体、不安定多様体、中心多様体の3つの部分に分けることができます。安定多様体は、積分時に極限点または限界サイクルに近づくすべての接ベクトル場から構成されます。不安定多様体は、極限点/限界サイクルから離れる方向を指すベクトル場から構成されます。中心多様体は、極限上の点とその接ベクトルから構成されます。

ホップ分岐は、パラメータの変化に伴うこれらの多様体の再構成です。通常の形式では、位相空間は4次元です。2つの座標と2つの速度が（および）のとき、解の（4次元）空間全体が安定多様体に属します。が変化すると、中心多様体は点から円へと変化します。が変化すると、安定多様体は反転して不安定になります。 ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle {\dot {x}},{\dot {y}}.}$ ${\displaystyle \lambda <0}$ ${\displaystyle \alpha <0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$

一般的な設定では、抽象化により 4 次元のサブスペースを完全なシステムから分離することができ、その後、パラメータが変化すると、全体的なジオメトリに対するすべての変更がその 4 次元のサブスペースに分離されます。

ホップ分岐の正式な定義

固定点の安定性の局所的な変化によって周期軌道が出現または消失する現象は、ホップ分岐として知られています。以下の定理は、共役で非零の純虚数の固有値の組を1つ持つ固定点に対して成り立ちます。この定理は、この分岐現象が発生する条件を説明しています。

定理（ ^[11]の11.2節を参照）。固定点で評価された連続パラメトリック力学系のヤコビアンを とする。の固有値はすべて、1つの共役対を除いて負の実部を持ち、その共役対はパラメータのある関数として変化すると仮定する。ホップ分岐は、この固有値対が虚軸と交差するときに発生する。これは、システムパラメータが変化するにつれて、 が負から正へと変化するときに発生する。 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \rho \pm i\epsilon }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

ラウス・ハーウィッツ基準

ラウス・ハーウィッツ基準（^[12]のセクションI.13 ）はホップ分岐が発生するための必要条件を与えている。^[13]

シュトゥルム系列

を特性多項式に関連付けられたシュトゥルム級数とします。これらは以下の形式で表されます。 ${\displaystyle p_{0},~p_{1},~\dots ~,~p_{k}}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle p_{i}(\mu )=c_{i,0}\mu ^{k-i}+c_{i,1}\mu ^{k-i-2}+c_{i,2}\mu ^{k-i-4}+\cdots }$

における係数は、いわゆるフルヴィッツ行列式に対応する。^[13]その定義は、関連するフルヴィッツ行列と関連している。 ${\displaystyle c_{i,0}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{1,~\dots ~,~k\}}$

命題

命題1.おそらくを除いて、すべてのフルヴィッツ行列式が正であれば、関連するヤコビ行列式には純虚数固有値は存在しない。 ${\displaystyle c_{i,0}}$ ${\displaystyle c_{k,0}}$

命題2 。すべてのフルヴィッツ行列式（すべての）が正であり、関連するヤコビ行列のすべての固有値が、純虚数の共役ペアを除いて負の実部を持つ場合。 ${\displaystyle c_{i,0}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{0,~\dots ~,~k-2\}}$ ${\displaystyle c_{k-1,0}=0}$ ${\displaystyle c_{k-2,1}<0}$

パラメトリック連続動的システムでホップ分岐が発生するために私たちが求めている条件 (上記の定理を参照) は、この最後の命題によって与えられます。

例

常微分方程式で書かれた古典的なファンデルポール振動子を考えてみましょう。

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {dx}{dt}}=\mu (1-y^{2})x-y,\\{\dfrac {dy}{dt}}=x.\end{array}}\right.}$

このシステムに関連するヤコビ行列は

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}-\mu (-1+y^{2})&-2\mu yx-1\\1&0\end{bmatrix}}.}$

固定点におけるヤコビアンの特性多項式（ ）は ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$

${\displaystyle P(\lambda )=\lambda ^{2}-\mu \lambda +1.}$

関連するシュトゥルム級数は

${\displaystyle {\begin{array}{l}p_{0}(\lambda )=a_{0}\lambda ^{2}-a_{2}\\p_{1}(\lambda )=a_{1}\lambda \end{array}}}$

係数付き ${\displaystyle a_{0}=1,a_{1}=-\mu ,a_{2}=1.}$

シュトゥルム多項式は次のように表すことができます（ここでは）。 ${\displaystyle i=0,1}$

${\displaystyle p_{i}(\mu )=c_{i,0}\mu ^{k-i}+c_{i,1}\mu ^{k-i-2}+c_{i,2}\mu ^{k-i-4}+\cdots }$

ファンデルポール振動子の場合、係数は

${\displaystyle c_{0,0}=1,\qquad c_{1,0}=-\mu ,\qquad c_{0,1}=-1.}$

ホップ分岐は命題2が満たされるときに発生する可能性がある。この場合、命題2は以下を要求する。

${\displaystyle c_{0,0}>0,\qquad c_{1,0}=0,\qquad c_{0,1}<0.}$

明らかに、最初の条件と 3 番目の条件は満たされています。2 番目の条件は、次の場合に Van der Pol 発振器でホップ分岐が発生することを規定しています。 ${\displaystyle \mu =0}$

シリアル拡張法

直列展開法は、秩序パラメータの摂動展開によってホップ分岐を含む明示的な解を得る方法を提供する。 ^[14]

で定義される系を考える。ここでは滑らかで、はパラメータである。パラメータ は、がゼロより下からゼロより上に増加するにつれて、原点が螺旋状のシンクから螺旋状のソースに変化するように書かれる必要がある。この式をこの形にするには、パラメータの線形変換が必要になるかもしれない。 については、 2つのタイミングを用いて摂動展開を行う。 ${\displaystyle {\ddot {x}}+h({\dot {x}},x,\mu )=0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu >0}$

${\displaystyle x(t)=\epsilon x_{1}(t,T)+\epsilon ^{2}x_{2}(t,T)+\epsilon ^{3}x_{3}(t,T)+\cdots }$

ここでは「スロータイム」（つまり「ツータイミング」）であり、は の関数である。調和バランスの議論（詳細は^[14]を参照）により、 を使用することができる。 の摂動展開を に代入し、までの項を維持すると、 における3つの常微分方程式が得られる。 ${\displaystyle T=\nu t}$ ${\displaystyle \epsilon ,\nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \epsilon =\mu ^{1/2},\nu =\mu }$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle {\ddot {x}}+h({\dot {x}},x,\mu )=0}$ ${\displaystyle \epsilon ^{3}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$

最初の方程式は という形をしており、 によって解けます。はの「緩やかに変化する」関数です。これを2番目の方程式に代入すると、 について解くことができます。 ${\displaystyle \partial _{tt}x_{1}+\omega _{0}^{2}x_{1}=0}$ ${\displaystyle x_{1}(t,T)=A(T)\cos(\omega _{0}t+\phi (T)).}$ ${\displaystyle A(T),\phi (T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{2}(t,T)}$

次に、 の解を3番目の方程式に代入すると、 の形の方程式が得られます。この方程式の右辺は三角関数の項の和です。これらの項のうち、 を含む「共鳴項」はゼロに設定する必要があります。これは、ポアンカレ・リンドステット法と同じ考え方です。これにより、 の2つの常微分方程式が得られ、 の平衡値とその安定性を解くことができます。 ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ${\displaystyle \partial _{tt}x_{3}+\omega _{0}^{2}x_{3}=\cdots }$ ${\displaystyle \cos(\omega _{0}t),\sin(\omega _{0}t)}$ ${\displaystyle A,\phi }$ ${\displaystyle A}$

シリアル拡張の例

次のように定義されるシステムを考えてみましょう。

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dot {x}}&=\mu x+y-x^{2}\\{\dot {y}}&=-x+\mu y+2x^{2}\\\end{array}}\right.}$

この系は原点に平衡点を持つ。が負から正に増加すると、原点は安定螺旋点から不安定螺旋点へと変化する。方程式から消去すると、単一の二階微分方程式が得られる。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\ddot {x}}-2\mu {\dot {x}}+(1+\mu ^{2})x+2x{\dot {x}}-(2+\mu )x^{2}=0.}$

実行される摂動展開は

${\displaystyle x(t)=\epsilon x_{1}(t,T)+\epsilon ^{2}x_{2}(t,T)+\cdots }$

と

${\displaystyle \epsilon =\mu ^{1/2},\qquad T=\mu t.}$

最大で次の順序まで拡張すると、 ${\displaystyle \epsilon ^{3}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{tt}x_{1}+x_{1}=0\\\partial _{tt}x_{2}+x_{2}=2x_{1}^{2}-2x_{1}\partial _{t}x_{1}\\\partial _{tt}x_{3}+x_{3}=4x_{1}x_{2}+2\partial _{t}(x_{1}-x_{1}x_{2}-\partial _{T}x_{1})\end{cases}}}$

最初の方程式の解は

${\displaystyle x_{1}(t,T)=A(T)\cos(t+\phi (T)).}$

ここに、それぞれ単振動の「緩やかに変化する振幅」と「緩やかに変化する位相」が示されています。2番目の方程式の解は ${\displaystyle A(T),\phi (T)}$

${\displaystyle x_{2}(t,T)=B\cos(t+\theta )+A^{2}-{\frac {1}{3}}A^{2}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi )),}$

ここで、 は振幅と位相が緩やかに変化する。と はに吸収され、 とは同値であり、一般性を失うことなく設定できる。これを実証するために、摂動展開は次のように書ける。 ${\displaystyle B,\theta }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi ;}$ ${\displaystyle B=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\epsilon x_{1}+\epsilon ^{2}x_{2}+\cdots \\&=\epsilon (A\cos(t+\phi )+\epsilon B\cos(t+\theta ))+\cdots \\\end{aligned}}}$

基本的な三角法では、2 つの余弦を 1 つに結合することができます。

${\displaystyle A\cos(t+\phi )+\epsilon B\cos(t+\theta )=C\cos(t+\xi )}$

に対してであり、である。しかし、これはと全く同じ形である。したがって、項はを に、を に再定義することで消去できる。したがって、2番目の方程式の解は ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \xi .}$ ${\displaystyle x_{1}.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \phi .}$

${\displaystyle x_{2}(t,T)=A^{2}-{\frac {1}{3}}A^{2}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi ))}$

3番目の式を代入すると

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{tt}x_{3}+x_{3}&=(2A-A^{3}-2A')\sin(t+\phi )\\&\quad -(2A\phi '+11A^{3}/3)\cos(t+\phi )\\&\quad +{\frac {1}{3}}A^{3}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))\end{aligned}}}$

共鳴項を消去すると

${\displaystyle A'=A-A^{3}/2,\quad \phi '=-{\frac {11}{6}}A^{2}}$

ここで、ダッシュは遅い時間による微分を表します。最初の式は、が安定な平衡状態であることを示しています。ホップ分岐は、反発ではなく吸引のリミットサイクルを作り出します。 ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle A={\sqrt {2}}}$

を代入するととなる。時間座標をずらすと となる。3番目の式は ${\displaystyle A={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \phi =-{\frac {11}{3}}T+\phi _{0}}$ ${\displaystyle \phi _{0}=0}$

${\displaystyle \partial _{tt}x_{3}+x_{3}={\frac {1}{3}}A^{3}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))}$

解決策を提示する

${\displaystyle x_{3}={\frac {\sqrt {2}}{12}}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))}$

の式を代入すると、 ${\displaystyle A={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$

${\displaystyle x_{1}={\sqrt {2}}\cos(t+\phi ),\quad x_{2}=2-{\frac {2}{3}}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi ))}$

これらを に戻すと、 の次数 までの直列展開も得られます。 ${\displaystyle y=x^{2}+{\dot {x}}-\mu x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mu ^{3/2}}$

解決策を書き終えると ${\displaystyle \theta :=t+\phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\mu ^{1/2}{\sqrt {2}}\cos \theta +\mu \left(-{\frac {2}{3}}\sin(2\theta )-{\frac {2}{3}}\cos(2\theta )+2\right)\\&\qquad +\mu ^{3/2}{\frac {1}{\sqrt {72}}}\left(5\sin(3\theta )-\cos(3\theta )\right)+{\mathcal {O}}(\mu ^{2})\\\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=-\mu ^{1/2}{\sqrt {2}}\sin \theta +\mu \left(+{\frac {4}{3}}\sin(2\theta )-{\frac {1}{3}}\cos(2\theta )+1\right)\\&\qquad +\mu ^{3/2}{\frac {1}{\sqrt {72}}}\left(-5\sin(3\theta )+7\cos(3\theta )+36\sin \theta +28\cos \theta \right)+{\mathcal {O}}(\mu ^{2})\end{aligned}}}$

これにより、リミットサイクルの媒介変数方程式が得られます。これは右の図に示されています。

• 分岐の例
• 
  系 および において、原点の周りでホップ分岐が発生する。の周りではホモクリニック分岐が発生する。 ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu x+y-x^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-x+\mu y+2x^{2}}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \mu =0.06605695}$
• 
  ホモクリニック分岐の詳細な図。
• 
  がゼロから増加すると、ホップ分岐を経て原点から安定なリミットサイクルが現れます。このリミットサイクルは次数 までパラメトリックにプロットされます。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{3/2}}$

参照

• 反応拡散系

参考文献

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2. Serajian, Reza (2011). 「ホップ分岐理論によって認識された非線形輪軸ハンチングに対する台車と車体の慣性の影響」(PDF) . International Journal of Automotive Engineering . 3 (4): 186– 196.
3. Agnaou, M.; Lasseux, D.; Ahmadi, A. (2016). 「モデル多孔質構造における定常層流から非定常層流へ：第一ホップ分岐の考察」Computers & Fluids . 136 : 67– 82. doi :10.1016/j.compfluid.2016.05.030. hdl : 10985/10895 . ISSN  0045-7930.
4. Heitmann, S., Breakspear, M (2017-2022) 脳ダイナミクスツールボックス. bdtoolbox.org doi.org/10.5281/zenodo.5625923
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8. López, Álvaro G (2020-12-01). 「電気力学的物体の均一運動の安定性解析」. Physica Scripta . 96 (1): 015506. doi :10.1088/1402-4896/abcad2. ISSN  1402-4896. S2CID  228919333.
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10. 詳細な導出については、Strogatz, Steven H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos . Addison Wesley. p. 205. ISBNを参照。 978-0-7382-0453-6。
11. Hale, J.; Koçak, H. (1991). 『ダイナミクスと分岐』応用数学テキスト第3巻. ベルリン: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-97141-2。
12. Hairer, E.; Norsett, SP; Wanner, G. (1993). 『常微分方程式の解法 I: 非剛性問題』（第2版）. ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0。
13. Kahoui, ME; Weber, A. (2000). 「ソフトウェアコンポーネントアーキテクチャにおける量指定子除去によるホップ分岐の決定」. Journal of Symbolic Computation . 30 (2): 161– 179. doi : 10.1006/jsco.1999.0353 .
14. 18.385J / 2.036J 非線形ダイナミクスとカオス 2014年秋：ホップ分岐。MIT OpenCourseWare

さらに読む

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• Hale, J. ; Koçak, H. (1991). Dynamics and Bifurcations . Texts in Applied Mathematics. Vol. 3. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-97141-2。
• ハサード, ブライアン・D.;カザリノフ, ニコラス・D.;ワン, イェー・ヘイ (1981). ホップ分岐の理論と応用. ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-23158-2。
• クズネツォフ, ユーリ・A. (2004). 『応用分岐理論の要素』（第3版）. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-21906-6。
• ストロガッツ、スティーブン・H. (1994). 『非線形ダイナミクスとカオス』アディソン・ウェスリー. ISBN 978-0-7382-0453-6。

外部リンク

• ホップ分岐
• Scholarpediaのアンドロノフ・ホップ分岐のページ

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