双曲型偏微分方程式

Type of partial differential equations

数学において、階の双曲型偏微分方程式は、大まかに言えば、1 次導関数の初期値問題が適切に設定される偏微分方程式(PDE)です。^{[出典が必要]}より正確には、コーシー問題は、任意の非特性超曲面に沿った任意の初期データに対して局所的に解くことができます。力学方程式の多くは双曲型であるため、双曲型方程式の研究は、現在大きな関心を集めています。モデルとなる双曲型方程式は波動方程式です。1 つの空間次元では、これは次のようになります。方程式には 、 uとその 1 次時間導関数がt = 0の直線 (十分な滑らかさを持つ) 上の任意に指定された初期データである場合、すべての時間tに対して解が存在するという特性があります。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$

双曲型方程式の解は「波状」です。双曲型微分方程式の初期データに擾乱が生じた場合、空間上のすべての点が同時にその擾乱を感じるわけではありません。固定された時間座標に対して、擾乱は有限の伝播速度を持ちます。擾乱は方程式の特性に沿って伝播します。この特徴により、双曲型方程式は楕円型偏微分方程式や放物型偏微分方程式と質的に区別されます。楕円型方程式または放物型方程式の初期（または境界）データに擾乱が生じると、その領域内の実質的にすべての点が同時にその擾乱を感じます。

双曲性の定義は基本的に定性的なものですが、対象となる微分方程式の種類に応じて正確な基準が存在します。線形微分作用素については、ラース・ゴーディングによって、微小局所解析の文脈においてよく発達した理論が存在します。非線形微分方程式は、その線形化がゴーディングの意味で双曲的である場合、双曲型です。保存則の系に由来する一次方程式系については、多少異なる理論が存在します。

意味

偏微分方程式は、を通る非特性超曲面上に与えられた任意の初期データに対して、の近傍でコーシー問題が一意に解けることを条件として、において双曲型となる。^[1] ここで、所定の初期データは、微分方程式の次数より1小さい次までの曲面上の関数のすべての（横）導関数から構成される。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

例

変数の線形変換により、判別式を持つ形式の任意の方程式は、方程式の定性的な理解に重要でない低次の項を除いて、波動方程式に変換できます。 ^{[2] ：400}この定義は平面双曲線 の定義に類似しています。 $${\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(lower order derivative terms)}}=0}$$ $${\displaystyle B^{2}-AC>0}$$

一次元波動方程式は双曲型方程式の一例である。二次元および三次元波動方程式も双曲型偏微分方程式の範疇に含まれる。この種の二階双曲型偏微分方程式は、一階微分方程式の双曲型連立方程式に変換することができる。^{[2] : 402} $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$$

一次方程式の双曲型システム

以下は、未知の関数、についての 1 階偏微分方程式の連立です。ここで、 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})}$ ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\vec {f}}^{j}({\vec {u}})=0,}$$

∗

ここで、は連続的に微分可能な関数であり、一般には非線形です。 ${\displaystyle {\vec {f}}^{j}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s})}$

次に、それぞれに対してヤコビ行列を定義する。 ${\displaystyle {\vec {f}}^{j}}$ ${\displaystyle s\times s}$ $${\displaystyle A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.}$$

系( ∗ )が双曲型であるとは、すべての に対して行列が実固有値のみを持ち、対角化可能である場合である。 ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}}$

行列がs個の異なる実固有値を持つ場合、それは対角化可能である。この場合、系( ∗ )は厳密に双曲的と呼ばれる。 ${\displaystyle A}$

行列が対称であれば、対角化可能であり、固有値は実数となる。この場合、系 ( ∗ ) は対称双曲型と呼ばれる。 ${\displaystyle A}$

双曲系と保存則

双曲型システムと保存則の間には関連がある。1つの未知関数に対する1つの偏微分方程式からなる双曲型システムを考える。すると、システム( ∗ )は次の形をとる。 ${\displaystyle u=u({\vec {x}},t)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{f^{j}}(u)=0.}$$

∗∗

ここで、は、によって与えられるフラックスに従って移動する量として解釈できる。この量が保存されることを確認するには、領域上で( ∗∗ )を積分する。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\,d\Omega =0.}$$

と が十分に滑らかな関数である場合、発散定理を用いて積分の順序と の順序を変えることで、一般形の量の保存則を得ることができます。これは、領域 におけるの時間変化率が、その境界 を通るの正味流束 に等しいことを意味します。これは等式であるため、の範囲内で が保存されると結論付けることができます。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\vec {f}}}$ ${\displaystyle \partial /\partial t}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\,d\Gamma =0,}$$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$

参照

• 楕円偏微分方程式
• 準楕円演算子
• 放物型偏微分方程式

参考文献

1. ロジェストヴェンスキー、BL (2001) [1994]、「双曲型偏微分方程式」、数学百科事典、EMSプレス
2. Evans, Lawrence C. (2010) [1998],偏微分方程式, Graduate Studies in Mathematics , vol. 19 (第2版), Providence, RI: American Mathematical Society , doi :10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3、MR  2597943、OCLC  465190110

さらに読む

• ADポリアニン著『エンジニアと科学者のための線形偏微分方程式ハンドブック』 Chapman & Hall/CRC Press、ボカラトン、2002年。ISBN 1-58488-299-9

外部リンク

• 「双曲型偏微分方程式、数値解析法」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• EqWorld の線形双曲線方程式: 数式の世界。
• EqWorld の非線形双曲線方程式: 数式の世界。

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