Concept in probability theory
低指数関数的 パラメータ λ 1 , … , λ k > 0 {\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}>0\,} 金利（ 実質 ） サポート x ∈ [ 0 ; ∞ ) {\displaystyle x\in [0;\infty )\!} PDF 位相型分布 として表現される 他の単純な形式はない。詳細は記事を参照のこと。 − α e x Θ Θ 1 {\displaystyle -{\boldsymbol {\alpha }}e^{x\Theta }\Theta {\boldsymbol {1}}} CDF 位相型分布として表現される 1 − α e x Θ 1 {\displaystyle 1-{\boldsymbol {\alpha }}e^{x\Theta }{\boldsymbol {1}}} 平均 ∑ i = 1 k 1 / λ i {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}1/\lambda _{i}\,} 中央値 一般的な閉形式は存在しない [1] モード ( k − 1 ) / λ {\displaystyle (k-1)/\lambda } ならば 、すべてのkに対して λ k = λ {\displaystyle \lambda _{k}=\lambda } 分散 ∑ i = 1 k 1 / λ i 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}1/\lambda _{i}^{2}} 歪度 2 ( ∑ i = 1 k 1 / λ i 3 ) / ( ∑ i = 1 k 1 / λ i 2 ) 3 / 2 {\displaystyle 2(\sum _{i=1}^{k}1/\lambda _{i}^{3})/(\sum _{i=1}^{k}1/\lambda _{i}^{2})^{3/2}} 過剰尖度 単純な閉じた形式がない MGF α ( t I − Θ ) − 1 Θ 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(tI-\Theta )^{-1}\Theta \mathbf {1} } CF α ( i t I − Θ ) − 1 Θ 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(itI-\Theta )^{-1}\Theta \mathbf {1} }
確率論 において、 低 指数分布 または 一般化 アーラン分布は 連続分布 であり、 待ち行列理論 、 交通工学 、そしてより一般的には 確率過程 など、アーラン分布と同様の分野で用いられています。低指数分布は 変動係数が 1未満で あるため、低指数分布と呼ばれます。一方 、超指数分布 は変動係数が1を超え、 指数分布 は変動係数が1です。
概要 アーラン 分布は、すべて確率 を持つ k 個 の指数分布 の系列です。低指数分布は 、それぞれが確率（指数分布 の確率）を持つ k 個 の指数分布の系列です 。k 個 の独立に分布する指数確率変数 があるとする と、確率変数 λ {\displaystyle \lambda } λ i {\displaystyle \lambda _{i}} i t h {\displaystyle i^{th}} X i {\displaystyle X_{i}}
X = ∑ i = 1 k X i {\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}X_{i}} は、準指数分布に従う。準指数分布の最小変動係数は である 。 1 / k {\displaystyle 1/k}
位相型分布との関係 定義の結果、この分布を 位相型分布 の特殊なケースと見なすことが容易になります。 [2] 位相型分布は、有限状態 マルコフ過程 の吸収までの時間です。 最初の k 状態が過渡的で状態 k+1が吸収状態である k+1 状態過程があるとすると、過程の開始から吸収状態に到達するまでの時間の分布は位相型分布になります。最初の 1 から始めて、状態 iから i+1 へ 速度でスキップフリーで移動し、状態 k が 速度で吸収状態 k+1 に遷移する まで、これは低指数分布になります。 これは、部分生成行列の形式で表すことができます。 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} λ k {\displaystyle \lambda _{k}}
[ − λ 1 λ 1 0 … 0 0 0 − λ 2 λ 2 ⋱ 0 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 ⋱ − λ k − 2 λ k − 2 0 0 0 … 0 − λ k − 1 λ k − 1 0 0 … 0 0 − λ k ] . {\displaystyle \left[{\begin{matrix}-\lambda _{1}&\lambda _{1}&0&\dots &0&0\\0&-\lambda _{2}&\lambda _{2}&\ddots &0&0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ddots &-\lambda _{k-2}&\lambda _{k-2}&0\\0&0&\dots &0&-\lambda _{k-1}&\lambda _{k-1}\\0&0&\dots &0&0&-\lambda _{k}\end{matrix}}\right]\;.} 簡単にするために、上記の行列を と表記する。k 個 の各状態から開始する確率 が Θ ≡ Θ ( λ 1 , … , λ k ) {\displaystyle \Theta \equiv \Theta (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})}
α = ( 1 , 0 , … , 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(1,0,\dots ,0)} それから H y p o ( λ 1 , … , λ k ) = P H ( α , Θ ) . {\displaystyle Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})=PH({\boldsymbol {\alpha }},\Theta ).}
2パラメータの場合 分布が2つのパラメータ（ ）を持つ場合、確率関数と関連する統計量の明示的な形は次のようになる： [3] λ 1 ≠ λ 2 {\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}}
CDF: F ( x ) = 1 − λ 2 λ 2 − λ 1 e − λ 1 x − λ 1 λ 1 − λ 2 e − λ 2 x {\displaystyle F(x)=1-{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}e^{-\lambda _{1}x}-{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}e^{-\lambda _{2}x}}
PDF: f ( x ) = λ 1 λ 2 λ 1 − λ 2 ( e − x λ 2 − e − x λ 1 ) {\displaystyle f(x)={\frac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}(e^{-x\lambda _{2}}-e^{-x\lambda _{1}})}
平均： 1 λ 1 + 1 λ 2 {\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}}
分散： 1 λ 1 2 + 1 λ 2 2 {\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}
変動係数: λ 1 2 + λ 2 2 λ 1 + λ 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}}
変動係数は常に 1 未満です。
標本平均値（ ）と標本変動係数（ ）が与えられれば、パラメータ およびは 次のように推定できます。 x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} c {\displaystyle c} λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} λ 2 {\displaystyle \lambda _{2}}
λ 1 = 2 x ¯ [ 1 + 1 + 2 ( c 2 − 1 ) ] − 1 {\displaystyle \lambda _{1}={\frac {2}{\bar {x}}}\left[1+{\sqrt {1+2(c^{2}-1)}}\right]^{-1}}
λ 2 = 2 x ¯ [ 1 − 1 + 2 ( c 2 − 1 ) ] − 1 {\displaystyle \lambda _{2}={\frac {2}{\bar {x}}}\left[1-{\sqrt {1+2(c^{2}-1)}}\right]^{-1}}
これらの推定値は、 および を設定することによりモーメント法から導出できます 。 1 λ 1 + 1 λ 2 = x ¯ {\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}={\bar {x}}} λ 1 2 + λ 2 2 λ 1 + λ 2 = c {\displaystyle {\frac {\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}=c}
結果のパラメータ およびは、 の場合に実数値になります 。 λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} λ 2 {\displaystyle \lambda _{2}} c 2 ∈ [ 0.5 , 1 ] {\displaystyle c^{2}\in [0.5,1]}
キャラクター設定 確率変数の 累積分布関数 は 次のように表される。 X ∼ H y p o ( λ 1 , … , λ k ) {\displaystyle X\sim Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})}
F ( x ) = 1 − α e x Θ 1 {\displaystyle F(x)=1-{\boldsymbol {\alpha }}e^{x\Theta }{\boldsymbol {1}}} および 密度関数 、
f ( x ) = − α e x Θ Θ 1 , {\displaystyle f(x)=-{\boldsymbol {\alpha }}e^{x\Theta }\Theta {\boldsymbol {1}}\;,} ここで 、 は サイズ kの 1 の 列ベクトル であり、は A の 指数行列 である 。 すべての に対して のとき 、 密度関数は 次のように表される。 1 {\displaystyle {\boldsymbol {1}}} e A {\displaystyle e^{A}} λ i ≠ λ j {\displaystyle \lambda _{i}\neq \lambda _{j}} i ≠ j {\displaystyle i\neq j}
f ( x ) = ∑ i = 1 k λ i e − x λ i ( ∏ j = 1 , j ≠ i k λ j λ j − λ i ) = ∑ i = 1 k ℓ i ( 0 ) λ i e − x λ i {\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}e^{-x\lambda _{i}}\left(\prod _{j=1,j\neq i}^{k}{\frac {\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{k}\ell _{i}(0)\lambda _{i}e^{-x\lambda _{i}}} ここで、は 点に関連付けられた ラグランジュ基底多項式 です 。 ℓ 1 ( x ) , … , ℓ k ( x ) {\displaystyle \ell _{1}(x),\dots ,\ell _{k}(x)} λ 1 , … , λ k {\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}}
この分布 の ラプラス変換は
L { f ( x ) } = − α ( s I − Θ ) − 1 Θ 1 {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(x)\}=-{\boldsymbol {\alpha }}(sI-\Theta )^{-1}\Theta {\boldsymbol {1}}} 瞬間を見つけるために使える、
E [ X n ] = ( − 1 ) n n ! α Θ − n 1 . {\displaystyle E[X^{n}]=(-1)^{n}n!{\boldsymbol {\alpha }}\Theta ^{-n}{\boldsymbol {1}}\;.}
一般的なケース 一般に、 指数分布の和が それぞれ と の項数を持つ異なる和を持つ場合 、累積分布関数は次 のように表される
。 a {\displaystyle a} λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ a {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{a}} r 1 , r 2 , ⋯ , r a {\displaystyle r_{1},r_{2},\cdots ,r_{a}} t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0}
F ( t ) = 1 − ( ∏ j = 1 a λ j r j ) ∑ k = 1 a ∑ l = 1 r k Ψ k , l ( − λ k ) t r k − l exp ( − λ k t ) ( r k − l ) ! ( l − 1 ) ! , {\displaystyle F(t)=1-\left(\prod _{j=1}^{a}\lambda _{j}^{r_{j}}\right)\sum _{k=1}^{a}\sum _{l=1}^{r_{k}}{\frac {\Psi _{k,l}(-\lambda _{k})t^{r_{k}-l}\exp(-\lambda _{k}t)}{(r_{k}-l)!(l-1)!}},} と
Ψ k , l ( x ) = − ∂ l − 1 ∂ x l − 1 ( ∏ j = 0 , j ≠ k a ( λ j + x ) − r j ) . {\displaystyle \Psi _{k,l}(x)=-{\frac {\partial ^{l-1}}{\partial x^{l-1}}}\left(\prod _{j=0,j\neq k}^{a}\left(\lambda _{j}+x\right)^{-r_{j}}\right).} 追加の条約を締結した 。 [4] λ 0 = 0 , r 0 = 1 {\displaystyle \lambda _{0}=0,r_{0}=1}
用途 この分布は集団遺伝学、 [5] 細胞生物学、 [6] [7]待ち行列理論 [8] [9] で利用されてきた 。
参照
参考文献 ^ "HypoexponentialDistribution". Wolfram言語＆システムドキュメンテーションセンター . Wolfram. 2012年. 2024年 2月27日 閲覧 。 ^ Legros, Benjamin; Jouini, Oualid (2015). 「アーラン確率変数の和を計算するための線形代数的アプローチ」. 応用数学モデリング . 39 (16): 4971– 4977. doi : 10.1016/j.apm.2015.04.013 . ^ Bolch, Gunter; Greiner, Stefan; de Meer, Hermann; Trivedi, Kishor S. (2006). 待ち行列ネットワークとマルコフ連鎖：コンピュータサイエンスアプリケーションによるモデリングと性能評価 （第2版）. Wiley. pp. 24– 25. doi :10.1002/0471791571. ISBN 978-0-471-79157-7 。 ^ Amari, Suprasad V.; Misra, Ravindra B. (1997). 「指数確率変数の和の分布に関する閉形式表現」 IEEE Transactions on Reliability . 46 (4): 519– 522. doi :10.1109/24.693785. ^ Strimmer, Korbinian; Pybus, Oliver G. (2001). 「一般化スカイラインプロットを用いたDNA配列の人口動態史の探究」. Molecular Biology and Evolution . 18 (12): 2298– 2305. doi : 10.1093/oxfordjournals.molbev.a003776 . PMID 11719579. ^ Yates, Christian A.; Ford, Matthew J.; Mort, Richard L. (2017). 「細胞増殖のマルコフ過程としての多段階表現」. Bulletin of Mathematical Biology . 79 (12): 2905– 2928. arXiv : 1705.09718 . doi : 10.1007/s11538-017-0356-4 . PMC 5709504. PMID 29030804 . ^ Gavagnin, Enrico; Ford, Matthew J.; Mort, Richard L.; Rogers, Tim; Yates, Christian A. (2019). 「現実的な細胞周期時間分布を持つ細胞移動モデルの侵入速度」. Journal of Theoretical Biology . 481 : 91–99 . arXiv : 1806.03140 . doi :10.1016/j.jtbi.2018.09.010. PMID 30219568. ^ Călinescu, Malenia (2009年8月). 「救急車サービスの予測とキャパシティプランニング」 (PDF) . 理学部 . アムステルダム自由大学 . 2010年2月15日時点のオリジナル (PDF) からアーカイブ。 ^ Bekker, René; Koeleman, Paulien M. (2011). 「入院スケジュールの策定とベッド需要の変動性の低減」. 医療経営科学 . 14 (3): 237– 249. doi : 10.1007/s10729-011-9163-x . PMC 3158339. PMID 21667090 .
さらに読む MF Neuts . (1981) 確率モデルにおける行列幾何学的解：アルゴリズム的アプローチ、第 2 章：位相タイプの確率分布、Dover Publications Inc. G. Latouche, V. Ramaswami. (1999) 確率モデルにおける行列解析手法入門、第1版。第2章: PH分布; ASA SIAM、 Colm A. O'Cinneide (1999). 位相型分布：未解決問題といくつかの特性 , Communication in Statistic - Stochastic Models, 15(4), 731–757. L. LeemisとJ. McQueston (2008). 単変量分布関係 , The American Statistician, 62(1), 45—53. S. Ross. (2007) 確率モデル入門、第9版、ニューヨーク：Academic Press
離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}-\lambda _{1}&\lambda _{1}&0&\dots &0&0\\0&-\lambda _{2}&\lambda _{2}&\ddots &0&0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ddots &-\lambda _{k-2}&\lambda _{k-2}&0\\0&0&\dots &0&-\lambda _{k-1}&\lambda _{k-1}\\0&0&\dots &0&0&-\lambda _{k}\end{matrix}}\right]\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5adc28a5ad374c83a57976ffcd0f726ebea058a3)
![{\displaystyle \lambda _{1}={\frac {2}{\bar {x}}}\left[1+{\sqrt {1+2(c^{2}-1)}}\right]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096ed8bcb754a6201411bad8643c952de98539e5)
![{\displaystyle \lambda _{2}={\frac {2}{\bar {x}}}\left[1-{\sqrt {1+2(c^{2}-1)}}\right]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e57ca056a9b5573b3050b784b59caa31d0d25f)
![{\displaystyle c^{2}\in [0.5,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a669187a5e53e070be2e61de47643b3e68947f05)
![{\displaystyle E[X^{n}]=(-1)^{n}n!{\boldsymbol {\alpha }}\Theta ^{-n}{\boldsymbol {1}}\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77583344b090d9c7bc68e36bb0387108c41702e4)
