分解不可能分布

確率分布

確率論において、分解不可能な分布とは、2つ以上の非定数の独立した確率変数の和の分布として表すことができない確率分布です：Z  ≠  X  +  Y。もしそのように表すことができるなら、それは分解可能です：Z  =  X  +  Y _{。さらに、2つ以上の}独立した同一分布の確率変数の和の分布として表すことができるなら、それは_割り切れます：Z  =  X1  +  X2

例

分解不可能

• 最も単純な例はベルヌーイ分布である。

${\displaystyle X={\begin{cases}1&{\text{with probability }}p,\\0&{\text{with probability }}1-p,\end{cases}}}$

Xの確率分布は分解不可能です。

証明:非定数分布UとVが与えられ、Uは少なくとも2つの値a、  bを取り、Vは2つの値c、  d（a  <  b、c  <  d）を取るとすると、U  +  Vは少なくとも3つの異なる値、つまりa  +  c、a  +  d、b  +  dを取る（例えば0、1と0、1を使用する場合、 b  +  cはa  +  dと等しくなる）。したがって、非定数分布の和は少なくとも3つの値を取るため、ベルヌーイ分布は非定数分布の和ではない。

• a  +  b  +  c  = 1、a、  b、  c  ≥ 0、および

${\displaystyle X={\begin{cases}2&{\text{with probability }}a,\\1&{\text{with probability }}b,\\0&{\text{with probability }}c.\end{cases}}}$

この確率分布は、（ベルヌーイ分布に従う2つの確率変数の和の分布として）分解可能である。

${\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {c}}\leq 1\ }$

それ以外は分解不可能である。これを理解するには、UとVが独立な確率変数であり、U  +  Vがこの確率分布に従うと仮定する。すると、

${\displaystyle {\begin{matrix}U={\begin{cases}1&{\text{with probability }}p,\\0&{\text{with probability }}1-p,\end{cases}}&{\mbox{and}}&V={\begin{cases}1&{\text{with probability }}q,\\0&{\text{with probability }}1-q,\end{cases}}\end{matrix}}}$

ベルヌーイの場合と同様の推論により、あるp ,  q∈  [0,1]に対して、U  +  Vの和は3つ以上の値をとる。したがって、

${\displaystyle a=pq,\,}$

${\displaystyle c=(1-p)(1-q),\,}$

${\displaystyle b=1-a-c.\,}$

この2つの変数pとqの2つの二次方程式の連立方程式は、次の場合のみ解( p ,  q )∈[0,1] ^{2を持つ。}

${\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {c}}\leq 1.\ }$

したがって、たとえば、集合 {0, 1, 2} 上の離散一様分布は分解できませんが、確率がそれぞれ 1/2 である 2 つの試行 (したがって、確率a、b、cはそれぞれ 1/4、1/2、1/4 になります) の二項分布は分解できます。

• 絶対連続な分解不可能な分布。密度関数が

${\displaystyle f(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \,}}}x^{2}e^{-x^{2}/2}}$

分解不可能です。

分解可能

• すべての無限に分割可能な分布は、さらに分解可能です。特に、これには正規分布などの安定分布が含まれます。
• 区間[0, 1]上の一様分布は、0または1/2を等確率で仮定するベルヌーイ変数と[0, 1/2]上の一様分布の和であるため、分解可能である。これを繰り返すと、無限分解が得られる。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{X_{n} \over 2^{n}},}$

ここで、独立したランダム変数X _nはそれぞれ等しい確率で 0 または 1 に等しくなります。これは、2 進展開の各桁のベルヌーイ試行です。

• 分解不可能な確率変数の和は、元の被加数に分解できる。しかし、無限に割り切れる場合もある。確率変数Yが幾何分布に従うと仮定する。

${\displaystyle \Pr(Y=n)=(1-p)^{n}p\,}$

{0, 1, 2, ...} で。

任意の正の整数kに対して、負の二項分布するランダム変数のシーケンスY _j , j = 1, ..., kが存在し、Y ₁  + ... +  Y _kはこの幾何分布に従います。^{[引用が必要]} したがって、この分布は無限に割り切れます。

一方、D _{n を}Yのn 番目の 2進数桁とします（n ≥ 0）。すると、D _nは独立です^{[なぜ? ]}そして

${\displaystyle Y=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}D_{n},}$

そしてこの和の各項は分解不可能です。

関連概念

分解不可能性の対極にあるのが無限に分割可能であることです

• クラメールの定理は、正規分布は無限に分割可能であるが、正規分布にしか分解できないことを示しています。
• コクランの定理は、正規確率変数の二乗和をこれらの変数の線形結合の二乗和に分解した場合の項は常に独立したカイ二乗分布を持つことを示しています。

参照

• クラメールの定理
• コクランの定理
• 無限に割り切れる可能性（確率）
• 分布の因数分解に関するヒンチンの定理

参考文献

• Linnik, Yu. V.、Ostrovskii, IV.確率変数とベクトルの分解、アメリカ数学会、プロビデンス、RI、1977年

• ルカーチ、ユージン、『特性関数』、ニューヨーク、ハフナー出版社、1970年。

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