リー代数の指数

代数学において、g を体K上のリー代数とする。さらにg上の一形式とする。ξの安定集合g _ξは、余随伴表現においてξを消滅させるgの元のリー部分代数である。リー代数の指数は ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle \operatorname {ind} {\mathfrak {g}}:=\min \limits _{\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}\dim {\mathfrak {g}}_{\xi }.}$

例

簡約リー代数

gが簡約的である場合、随伴表現と余随伴表現は同型であり、rk gはgの元の安定集合の最小次元であるため、gの添え字はgの階数でもあります。 これは実際には、 gの任意の正則元の安定集合の次元です

フロベニウスのリー代数

ind g = 0 のとき、gはフロベニウス・リー代数と呼ばれる。これは、 g ^*内の何らかのξに対してキリロフ形式 が非特異であるという事実と同値である。gが代数群Gのリー代数であるときの別の同値な条件は、 g がフロベニウスであるための必要十分条件は、 G が余接表現の下でg ^*内に開軌道を持つ場合であり、これはgがフロベニウスとなるための必要十分条件である。 ${\displaystyle K_{\xi }\colon {\mathfrak {g\otimes g}}\to \mathbb {K} :(X,Y)\mapsto \xi ([X,Y])}$

代数群のリー代数

gが代数群Gのリー代数である場合、 gの添え字はGの (co)随伴作用に対して不変であるg ^*上の有理関数体の超越次数である。^{[ 1 ]}

参考文献

1. Panyushev, Dmitri I. (2003). 「リー代数の指数、冪零元の中心化子、そして中心化子の正規化子」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 134 (1): 41–59 . doi : 10.1017/S0305004102006230 . S2CID  13138268

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