誘導メトリック

数学および理論物理学において、誘導計量とは、部分多様体上に定義された計量テンソルであり、その部分多様体が埋め込まれている多様体上の計量テンソルから引き戻しによって誘導される。^[1]これは、引き戻し操作の成分形式である次の式（アインシュタインの総和規則を使用）を使用して決定することができる。^[2]

g_{ab}=\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }g_{\mu \nu }\

ここで、は部分多様体の座標のインデックスを記述し、関数は、接線インデックスが、で示される高次元多様体への埋め込みをエンコードします。 $a$ $b$ $\xi ^{a}$ $X^{\mu }(\xi ^{a})$ $\mu$ $\nu$

例 – 3D曲線

させて

\Pi \colon {\mathcal {C}}\to \mathbb {R} ^{3},\ \tau \mapsto {\begin{cases}{\begin{aligned}x^{1}&=(a+b\cos(n\cdot \tau ))\cos(m\cdot \tau )\\x^{2}&=(a+b\cos(n\cdot \tau ))\sin(m\cdot \tau )\\x^{3}&=b\sin(n\cdot \tau ).\end{aligned}}\end{cases}}

パラメータを持つ曲線の定義域からユークリッド多様体への写像とする。ここに定数がある。 ${\mathcal {C}}$ $\tau$ $\mathbb {R} ^{3}$ $a,b,m,n\in \mathbb {R}$

次に、次のような指標が与えられます。 $\mathbb {R} ^{3}$

g=\sum \limits _{\mu ,\nu }g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\otimes \mathrm {d} x^{\nu }\quad {\text{with}}\quad g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

。

そして計算する

g_{\tau \tau }=\sum \limits _{\mu ,\nu }{\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \tau }}{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial \tau }}\underbrace {g_{\mu \nu }} _{\delta _{\mu \nu }}=\sum \limits _{\mu }\left({\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \tau }}\right)^{2}=m^{2}a^{2}+2m^{2}ab\cos(n\cdot \tau )+m^{2}b^{2}\cos ^{2}(n\cdot \tau )+b^{2}n^{2}

したがって $g_{\mathcal {C}}=(m^{2}a^{2}+2m^{2}ab\cos(n\cdot \tau )+m^{2}b^{2}\cos ^{2}(n\cdot \tau )+b^{2}n^{2})\,\mathrm {d} \tau \otimes \mathrm {d} \tau$

参照

最初の基本形

参考文献

^ Lee, John M. (2006-04-06). リーマン多様体：曲率入門.大学院数学テキスト. Springer Science & Business Media. pp. 25– 27. ISBN 978-0-387-22726-9. OCLC 704424444。
^ ポワソン、エリック（2004年）『相対主義者のツールキット』ケンブリッジ大学出版局、p.62、ISBN 978-0-521-83091-1。

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[1] Lee, John M. (2006-04-06). リーマン多様体：曲率入門.大学院数学テキスト. Springer Science & Business Media. pp. 25– 27. ISBN 978-0-387-22726-9. OCLC 704424444。

[2] ポワソン、エリック（2004年）『相対主義者のツールキット』ケンブリッジ大学出版局、p.62、ISBN 978-0-521-83091-1。