誘導的次元

Invariant of topological spaces

数学の分野である位相幾何学において、位相空間Xの帰納的次元は、小さな帰納的次元ind( X ) または大きな帰納的次元Ind( X ) の2つの値のいずれかである。これらは、 n次元ユークリッド空間R ⁿにおいて、球体の境界がn − 1次元を持つという観察に基づいている。 したがって、一般空間の次元は、その空間内の適切な開集合の境界の次元を用いて帰納的に定義できるはずである。

小さな帰納的次元と大きな帰納的次元は、位相空間の「次元」という概念を捉える最も一般的な3つの方法のうちの2つであり、位相のみに依存します（例えば、計量空間の性質には依存しません）。もう1つはルベーグ被覆次元です。「位相次元」という用語は通常、ルベーグ被覆次元を指すと理解されています。「十分に良い」空間では、3つの次元の尺度は等しくなります。

正式な定義

点の次元を0にしたいのですが、点には空の境界があるので、

${\displaystyle \operatorname {ind} (\varnothing )=\operatorname {Ind} (\varnothing )=-1.}$

すると、帰納的に ind( X ) は次の性質を持つ最小の自然数nとなる。すなわち、 xを含む任意の開集合Uに対して、 x を含み、その閉包がUに含まれ、かつVの境界の帰納的次元がnより小さい開集合Vが存在する。ここで、 Vの境界は、 Xから継承した部分空間位相を用いた位相空間とみなされる。（ユークリッド空間の部分空間の場合、集合Vをxを中心とする小さな球体と考えることができる。）そのようなnが存在しない場合は、 ind( X ) = ∞と書く。 ${\displaystyle x\in X}$

大帰納的次元Ind( X )は、任意の閉部分集合FとFを含む任意の開部分集合Uに対して、 Fを含みその閉包がUに含まれる開Vが存在し、 Vの境界の大帰納的次元がn未満となるような最小のnとして定義される。そのようなnが存在しない場合は、Ind( X ) = ∞と書く。^[1]

例

適切で扱いやすい空間の場合、帰納的次元は期待通りの答えを与える。例えば、

${\displaystyle X=\{(x,y,0)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\}\cup \{(0,0,z)\mid 0\leq z<1\}\cup \{(0,0,-1)\}}$

ユークリッド空間R ³から位相を継承する。直感的に、X は1 次元のピースに 2 次元のピースが接続された構造と、互いに素な 0 次元の点から構成される。X の帰納的次元は大小ともに2である。

あまり予想されていないのは、無理数aとbの場合、集合は開集合かつ閉集合であり、したがって境界が空であるため、これが成り立つということです。 ${\displaystyle \operatorname {ind} \mathbb {Q} =\operatorname {Ind} \mathbb {Q} =0.}$ ${\displaystyle \{r\in \mathbb {Q} \mid a<r<b\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

次元間の関係

をルベーグ被覆次元とする。任意の位相空間Xに対して、 ${\displaystyle \dim }$

${\displaystyle \dim X=0}$もし、そして、もし、 ${\displaystyle \operatorname {Ind} X=0.}$

ウリゾーンの定理は、 Xが可算な基数を持つ正規空間であるとき、

${\displaystyle \dim X=\operatorname {Ind} X=\operatorname {ind} X.}$

このような空間はまさに可分かつ計量化可能な空間です (ウリゾーンの計量化定理を参照)。

ネーベリング・ポンチャギンの定理は、有限次元の空間は、同相写像を除いて、ユークリッド空間の部分空間として特徴付けられ、その通常の位相を持つと述べている。メンガー・ネーベリングの定理(1932) は、 がコンパクト計量分離可能で次元 である場合、 は 次元のユークリッド空間 の部分空間として埋め込まれることを述べている。(ゲオルク・ネーベリングはカール・メンガーの弟子であった。彼は、 の少なくとも座標が無理数である点からなるの部分空間であるネーベリング空間を考案した。これは 次元 の埋め込み空間に対する普遍的な性質を持つ。) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2n+1}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$

Xのみが計量化可能であると仮定すると、次の式が得られる（ミロスラフ・カチェトフ）

ind X ≤ Ind X = dim X ;

あるいはXが コンパクトでハウスドルフであると仮定する（PSアレクサンドロフ）

dim X ≤ ind X ≤ Ind X。

ここでの不等式は厳密である可能性があります。Vladimir V. Filippov の例では、2 つの帰納的次元が異なる可能性があることを示しています。

可分距離空間X が不等式を満たすのは、空間のすべての閉部分空間と各連続写像に対して連続拡張が存在する場合のみです。 ${\displaystyle \operatorname {Ind} X\leq n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:A\to S^{n}}$ ${\displaystyle {\bar {f}}:X\to S^{n}}$

参考文献

1. ハンゲルスキー、AV;ポントリャギン、LS (1990)。一般的なトポロジ。 Vol. I. デラウェア州ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 3-540-18178-4。 104ページ

さらに読む

• クリリー、トニー、2005年、「ポール・ウリゾーンとカール・メンガー：次元理論に関する論文」グラッタン＝ギネス、I.編『西洋数学のランドマーク著作』エルゼビア、844-55頁。
• R. エンゲルキング、次元理論。有限と無限、ヘルダーマン版 (1995)、ISBN 3-88538-010-2。
• VV Fedorchuk、The Fundamentals of Dimension Theory 、 Encyclopaedia of Mathematical Sciences、第 17 巻、General Topology Iに掲載、(1993) AV Arkhangel'skii および LS Pontryagin (編)、Springer-Verlag、ベルリンISBN 3-540-18178-4。
• VV Filippov,双コンパクト積の帰納的次元について, ソビエト. Math. Dokl., 13 (1972), N° 1, 250-254.
• AR Pears,一般空間の次元理論、ケンブリッジ大学出版局 (1975)。

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