無限次元ベクトル関数

Whose values lie in an infinite-dimensional vector space

無限次元ベクトル関数は、その値がヒルベルト空間やバナッハ空間などの無限次元位相ベクトル空間内に存在する関数です。

このような機能は物理学を含むほとんどの科学に応用されています。

例

あらゆる正の整数とあらゆる実数に対してを設定すると、式で定義される関数は、実数値列の 無限次元ベクトル空間（または）にある値を取る。例えば、 ${\displaystyle f_{k}(t)=t/k^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t),\ldots )\,,}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ $${\displaystyle f(2)=\left(2,{\frac {2}{4}},{\frac {2}{9}},{\frac {2}{16}},{\frac {2}{25}},\ldots \right).}$$

空間には様々な位相が定義できるので、その微分について話すには、まず位相、あるいは極限の概念を明確にする必要がある。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

さらに、任意の集合に対して、 （ハメル）次元の濃度を持つ無限次元ベクトル空間が存在する（例えば、有限個の非零元を持つ関数の空間。ここでは所望のスカラー体である）。さらに、引数は実数集合ではなく任意の集合に存在し得る。 ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\to K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle t}$

積分と微分

スカラー関数の積分と微分に関する定理のほとんどは、ベクトル値関数にも一般化でき、多くの場合、本質的に同じ証明を用いる。おそらく最も重要な例外は、絶対連続関数は必ずしもその(ae)導関数の積分に等しいとは限らないということである（例えば、がヒルベルト空間である場合を除く）。ラドン・ニコディムの定理を参照のこと。 ${\displaystyle X}$

曲線とは、単位区間（より一般的には、実数の非退化閉区間）を位相空間に連続的に写すものである。弧とは、位相埋め込みでもある曲線である。ハウスドルフ空間に値を持つ曲線が弧となる場合、かつその場合のみ、その曲線は単射となる。

デリバティブ

がバナッハ空間または他の位相ベクトル空間である場合、の微分は通常の方法で定義できます。 ${\displaystyle f:[0,1]\to X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f'(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}.}$$

ヒルベルト空間に値を持つ関数

がヒルベルト空間に値を持つ実数の関数である場合、点におけるの微分は有限次元の場合と同様に定義できます。有限次元の場合の結果のほとんどは、多少の修正を加えて無限次元の場合にも当てはまります。微分は多変数関数（例えばや など）にも定義できます。この場合も は無限次元ベクトル空間です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle f'(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}.}$$ ${\displaystyle t\in R^{n}}$ ${\displaystyle t\in Y,}$ ${\displaystyle Y}$

がヒルベルト空間である場合、任意の導関数（および他の任意の極限）を成分ごとに計算できます。つまり、（つまり、 が空間 の直交基底である場合）、が存在し、が存在する場合、ただし、成分ごとの導関数の存在は、ヒルベルト空間における成分ごとの収束が、ヒルベルト空間の実際の位相に関する収束を保証しないのと同様に、導関数の存在を保証するものではありません。 ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},f_{3},\ldots )}$$ ${\displaystyle f=f_{1}e_{1}+f_{2}e_{2}+f_{3}e_{3}+\cdots ,}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f'(t)}$ $${\displaystyle f'(t)=(f_{1}'(t),f_{2}'(t),f_{3}'(t),\ldots ).}$$

上記のほとんどの結果は他の位相ベクトル空間にも当てはまります。しかし、 バナッハ空間の設定では、古典的な結果ほど多くの結果は当てはまりません。例えば、適切なバナッハ空間に値を持つ絶対連続関数は、どこにも微分を持つ必要はありません。さらに、ほとんどのバナッハ空間の設定では、直交基底は存在しません。 ${\displaystyle X}$

しわのある弧

が位相ベクトル空間で値をとる曲線の定義域に含まれる区間である場合、ベクトルは の弦と呼ばれ、によって決まります。^[1]がその定義域内の別の区間である 場合、2 つの弦は、およびが最大で 1 つの端点を共有するとき、重なり合わない弦であるといわれます。 ^{[1]直感的には、}内積空間 で値をとる曲線の 2 つの重なり合わない弦は、曲線が開始点と終了点の間の経路のどこかで直角に曲がる場合、直交ベクトルです。重なり合わない弦のすべてのペアが直交する場合、そのような右折は曲線のすべての点で発生します。そのような曲線はどの点でも微分できません。 ^[1]しわのある弧は 、任意の 2 つの重なり合わない弦が直交ベクトルであるという特性を持つ、単射連続曲線です。ヒルベルト空間におけるしわのある弧の例は次の通りである: ^[2]ここで、は定義される指示関数である。しわのある弧は任意の無限次元ヒルベルト空間に見出すことができる。なぜなら、そのような空間はどれも^[2]に同型な閉ベクトル部分空間を含むからである 。しわのある弧は、その像のスパンが^[2]の稠密部分集合である場合、正規化されていると言われる。 ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(b)-f(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [c,d]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [c,d]}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}(0,1)}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f:\;&&[0,1]&&\;\to \;&L^{2}(0,1)\\[0.3ex]&&t&&\;\mapsto \;&\mathbb {1} _{[0,t]}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {1} _{[0,\,t]}:(0,1)\to \{0,1\}}$ $${\displaystyle x\;\mapsto \;{\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in [0,t]\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle L^{2}(0,1).}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle f(0)=0,}$ ${\displaystyle \|f(1)\|=1,}$ ${\displaystyle f([0,1])}$ ${\displaystyle X.}$

命題^[2] -ヒルベルト空間内の任意の2つの正規化されたしわのある弧が与えられたとき、それぞれは他方の再パラメータ化とユニタリに等価である。

が増加同相写像である場合、 は曲線の再パラメータ化と呼ばれる^[1]内積空間内の 2 つの曲線とがユニタリ同値である場合、ユニタリ演算子(等長線型一対一)が存在して(または同値として) となる。 ${\displaystyle h:[0,1]\to [0,1]}$ ${\displaystyle f\circ h}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L:X\to X}$ ${\displaystyle g=L\circ f}$ ${\displaystyle f=L^{-1}\circ g}$

測定可能性

の測定可能性はさまざまな方法で定義できますが、最も重要なのはボホナー測定可能性と弱測定可能性です。 ${\displaystyle f}$

積分

の最も重要な積分は、ボッホナー積分（がバナッハ空間の場合）とペティス積分（が位相ベクトル空間の場合）と呼ばれます。これらの積分はどちらも線型関数と可換です。また、このような関数には空間が定義されています。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{p}}$

参照

• フレシェ空間における差別化
• ユークリッド空間からの微分可能ベクトル値関数 – 関数解析における微分可能関数Pages displaying short descriptions of redirect targets

参考文献

1. ハルモス、1982 年、5−7 ページ。
2. ハルモス 1982、5−7、168−170。

• Einar Hille & Ralph Phillips：「関数解析と半群」、Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. Vol. 31、Providence, RI、1957年。
• ハルモス, ポール・R. (1982年11月8日). 『ヒルベルト空間問題集』 .大学院数学テキスト. 第19巻 (第2版). ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-90685-0OCLC  8169781 。

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