初期値の定式化（一般相対性理論）

一般相対性理論の初期値の定式化は、時間の経過と共に進化する宇宙を記述するアルバート・アインシュタインの一般相対性理論を再定式化したものである。

アインシュタイン場の方程式の各解は、宇宙の歴史全体を包含する。それは、物事のあり方を捉えた単なるスナップショットではなく、時空全体、すなわち、その特定の宇宙におけるあらゆる場所、あらゆる瞬間における物質と幾何学の状態を包含する記述である。このことから、アインシュタインの理論は、物理系の発展方程式を規定する他のほとんどの物理理論とは異なるように思われる。系が特定の瞬間に特定の状態にある場合、物理法則によってその過去または未来を外挿することができる。アインシュタインの方程式は、他の場と比べて微妙な違いがあるように思われる。すなわち、自己相互作用する（つまり、他の場が存在しなくても非線形である）こと、微分同相不変であること、したがって、唯一の解を得るには、固定された背景計量とゲージ条件を導入する必要があること、そして、計量は時空構造、ひいては任意の初期データセットの依存領域を決定するため、特定の解が定義される領域は、事前に定義されないことである。^{[ 1 ]}

しかし、これらの問題を克服するアインシュタインの方程式の書き直し方がある。まず、時空を「空間」の時間発展として書き直す方法がある。この初期バージョンはポール・ディラックによるもので、より簡単な方法は、その発明者であるリチャード・アーノウィット、スタンレー・デザー、チャールズ・ミスナーにちなんでADM形式主義として知られている。「3+1」アプローチとしても知られるこれらの形式において、時空は、内部計量を持つ3次元超曲面と、外部曲率を持つ時空への埋め込みに分割される。これら2つの量は、超曲面の時間発展をトレースするハミルトン形式における動的変数である。 ^{[ 2 ]}このような分割により、一般相対性理論の初期値形式 を述べることができる。これには、任意に指定することはできないが、特定の制約方程式を満たす必要があり、適切に滑らかな3次元多様体上で定義される初期データが含まれる。他の微分方程式と同様に、存在定理と一意性定理を証明できます。つまり、アインシュタイン方程式の解である唯一の時空が存在し、それは大域的に双曲型であり、に対してはコーシー面（つまり、過去のすべてのイベントは 上で起こることに影響を与え、将来のすべてのイベントは 上で起こることの影響を受ける）であり、指定された内部計量と外部曲率を持ちます。これらの条件を満たすすべての時空は等長変換によって関連付けられます。^{[ 3 ]} ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

3+1 分割による初期値定式化は数値相対論の基礎であり、相対論的時空の進化 (特にブラックホールの合体や重力崩壊) をコンピュータでシミュレートする試みである。^{[ 4 ]} しかし、数値相対論を特に困難にしている他の物理的進化方程式のシミュレーションとは大きな違いがあり、特に進化している動的オブジェクトに空間と時間自体が含まれる (そのため、たとえば重力波を表す摂動を評価するための固定された背景がない) ことと、特異点の発生 (シミュレートされた時空部分内で発生すると、コンピュータモデルで表現しなければならない任意の大きな数値につながる) という事実である。^{[ 5 ]}

参照

• ADM形式主義

注記

1. Hawking & Ellis 1973、7.1節を参照
2. Arnowitt、Deser、Misner 1962 ; 教育的な入門については、 Misner、Thorne、Wheeler 1973、§21.4～§21.7を参照。
3. Fourès-Bruhat 1952およびBruhat 1962。教育的な入門書としては、 Wald 1984、第10章を参照。オンラインレビューはReula 1998に掲載されている。
4. Gourgoulhon 2007を参照。
5. ここで言及した問題やその他の困難を含めた数値相対論の基礎については、 Lehner 2001 を参照してください。

参考文献

• リチャード・アーノウィット、スタンレー・デザー、チャールズ・W.・ミスナー (1962).「一般相対性理論の力学」、L.・ウィッテン編著『重力：現代研究入門』、ワイリー、pp.  227– 265.
• イヴォンヌ・ブルハット（1962年）「コーシー問題」ウィッテン（L.編）『重力：現代研究入門』ワイリー、130頁。
• フォーレス・ブリュア、イヴォンヌ (1952)。「リネエールではない派生的部分の確実なシステムを注ぐ存在理論」。アクタ・マセマティカ。88 (1): 141–225。Bibcode : 1952AcMa...88..141F。土井：10.1007/BF02392131。
• Gourgoulhon, Eric (2007). 3+1 形式主義と数値相対論の基底. arXiv : gr-qc/0703035 . Bibcode : 2007gr.qc.....3035G .
• ホーキング、スティーブン・W.、エリス、ジョージFR (1973). 『時空の大規模構造』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-09906-4。
• Kalvakota, Vaibhav R. (2021年7月1日). 「一般相対性理論におけるコーシー問題の簡潔な説明」
• レーナー, ルイス (2001). 「数値相対論：レビュー」.クラス. 量子重力. 18 (17): R25– R86. arXiv : gr-qc/0106072 . Bibcode : 2001CQGra..18R..25L . doi : 10.1088/0264-9381/18/17/202 . S2CID  9715975 .
• ミスナー, チャールズ・W.; ソーン, キップ・S.; ウィーラー, ジョン・A. (1973). 『重力』 WHフリーマン. ISBN 0-7167-0344-0。
• Reula, Oscar A. (1998). 「アインシュタイン方程式に対する双曲的方法」 . Living Rev. Relativ . 1 (1): 3. Bibcode : 1998LRR.....1....3R . doi : 10.12942 /lrr-1998-3 . PMC  5253804. PMID  28191833 .
• ウォルド、ロバート・M. (1984).一般相対性理論. シカゴ: シカゴ大学出版局. ISBN 0-226-87033-2。

「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Initial_value_formulation_(general_relativity)&oldid=1313679821」より取得