入射テンソル積

数学の一分野である関数解析において、入射テンソル積は特定の位相テンソル積であり、2つのTVSの基礎ベクトル空間のテンソル積に両立する位相を持たせることで形成される位相ベクトル空間(TVS)である。これはアレクサンダー・グロタンディークによって導入され、核空間を定義するために使用された。入射テンソル積は核空間以外にも応用があり、後述するように、関数や列の空間としてのTVS、特にバナッハ空間の多くの構成は、より単純な空間の入射テンソル積となる。

意味

およびを上の局所凸位相ベクトル空間とし、連続双対空間およびにおける下付き文字は弱*位相を表す。複素TVSで記述されているが、ここで述べられている結果は一般に実数の場合にも当てはまる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$

連続双線型汎関数のベクトル空間は、（ベクトル空間）テンソル積と同型であり、以下のように表される。内の各単純テンソルに対して、で与えられる双線型写像 が存在する。 写像を に線型拡張すると、同型であることが示される。 ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle x\otimes y}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle f\in B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle f(\varphi ,\psi )=\varphi (x)\psi (y)}$ ${\displaystyle x\otimes y\mapsto f}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$

それぞれの双対空間を有界収束の位相で表すとします。 が局所凸位相ベクトル空間である場合、 となります。 入射テンソル積 の位相は上のある位相から誘導される位相であり、その基本開集合は次のように構成されます。 およびの任意の同連続部分集合、および内の任意の近傍に対して、 ですべての集合が有界となり、 の集合が上に局所凸 TVS 位相を形成するために必要かつ十分な場合を定義します^{[1] [説明が必要]}この位相は-位相または入射位相と呼ばれます。が基礎となるスカラー体である特殊なケースでは、 は上記のようにテンソル積であり、と-位相からなる位相ベクトル空間は で表され、 は必ずしも完備ではありません。その完備化はと の入射テンソル積であり、で表されます。 ${\displaystyle X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle Z}$ ${\textstyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right)~\subseteq ~B\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle B\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle G\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle H\subseteq Y^{\prime }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Z}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,H,N)=\left\{b\in B\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)~:~b(G\times H)\subseteq N\right\}}$$ ${\displaystyle b(G\times H)}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,H,N)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle Z=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$

と がノルム空間であるならば、 はノルム可能である。と がバナッハ空間であるならば、 もまたノルム可能である。そのノルムは、との（連続）双対によって表される。双対空間 と の単位球をと で表すと、元の入射ノルムは と定義される 。ただし、上限はすべての式 について取られる。すると、 の入射ノ​​ルムによる完備化は、 に位相ベクトル空間として同型となる。^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle Y^{*}}$ ${\displaystyle B_{X^{*}}}$ ${\displaystyle B_{Y^{*}}}$ ${\displaystyle \|u\|_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle u\in X\otimes Y}$ $${\displaystyle \|u\|_{\varepsilon }=\sup {\big \{}{\big |}\sum _{i}\varphi (x_{i})\psi (y_{i}){\big |}:\varphi \in B_{X^{*}},\psi \in B_{Y^{*}}{\big \}}}$$ ${\displaystyle u=\sum _{i}x_{i}\otimes y_{i}}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$

基本的なプロパティ

地図は連続している。^[3] ${\displaystyle (x,y)\mapsto x\otimes y:X\times Y\to X\otimes _{\varepsilon }Y}$

と が局所凸空間間の2つの線型写像であるとする。 と が両方とも連続であれば、それらのテンソル積 も連続である。さらに、 ${\displaystyle u:X_{1}\to Y_{1}}$ ${\displaystyle v:X_{2}\to Y_{2}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u\otimes v:X_{1}\otimes _{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}}$

• とが両方ともTVS埋め込みである場合、 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}.}$
• (resp. ) が(resp. )の線型部分空間である場合、 はの線型部分空間に正準同型であり、は の線型部分空間に正準同型である。 ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle Y_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Y_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}.}$
• と の例があり、と は両方とも射影準同型ですが、は準同型ではありません。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}}$
• 4つの空間すべてがノルムされている場合、^[4] ${\displaystyle \|u\otimes v\|_{\varepsilon }=\|u\|\|v\|.}$

射影テンソル積との関係

射影位相または-位相は、 を双線型形式に送ることで定義される標準写像を連続にする上の最も微細な局所凸位相である。がこの位相を持つとき、それは と表され、の射影テンソル積と呼ばれる。 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y}$ ${\displaystyle X\times Y\to X\otimes Y}$ ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$ ${\displaystyle x\otimes y.}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

入射位相は常に射影位相よりも粗く、射影位相は帰納位相(最も細かい局所凸 TVS 位相は個別に連続する) よりも粗いです。 ${\displaystyle X\times Y\to X\otimes Y}$

空間がハウスドルフであることは、と がともにハウスドルフである場合に限ります。と がノルムされている場合、すべての に対して、 は射影ノルムです。^[5] ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \|\theta \|_{\varepsilon }\leq \|\theta \|_{\pi }}$ ${\displaystyle \theta \in X\otimes Y}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\pi }}$

入射位相と射影位相は両方ともグロタンディークの核空間の定義に登場します。^[6]

入射テンソル積の双対

の連続双対空間はのベクトル部分空間であり、 によって表されます。の元は上の整形式と呼ばれ、この用語は次の事実によって正当化されます。 ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle J(X,Y).}$ ${\displaystyle J(X,Y)}$ ${\displaystyle X\times Y}$

の双対は、およびのそれぞれ閉等連続部分集合およびに対しての連続双線型形式と、全質量 を持つコンパクト集合上のラドン測度からなる。^[7]の場合、 はバナッハ空間であり、は単位球およびとすることができる。^[8] ${\displaystyle J(X,Y)}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle X\times Y}$ $${\displaystyle v(x,y)=\int _{S\times T}\varphi (x)\psi (y)\,d\mu (\varphi ,\psi )}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle Y_{\sigma }^{\prime },}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S\times T}$ ${\displaystyle \leq 1}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle B_{X^{*}}}$ ${\displaystyle B_{Y^{*}}}$

さらに、がの等連続部分集合である場合、要素は固定され、ラドン測度の空間のノルム有界部分集合を通ることで表現される^[9]。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle J(X,Y)}$ ${\displaystyle v\in A}$ ${\displaystyle S\times T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S\times T.}$

例

バナッハ空間に対して、バナッハ空間理論における に関連する特定の構成は、入射的なテンソル積として実現できる。を の元からなる列の空間とし、ノルム を備えるものとする。を における無条件に和分可能な列の空間とし、ノルム を備えるもの とする。このとき、 と はバナッハ空間であり、等長的にと である（ただしは古典的な列空間である）。^[10]これらの事実は、 が局所凸TVSである場合にも一般化できる。 ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \|(x_{i})\|=\sup _{i}\|x_{i}\|_{X}}$ ${\displaystyle \ell _{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \|(x_{i})\|=\sup {\big \{}\sum _{i=1}^{\infty }|\varphi (x_{i})|:\varphi \in B_{X^{*}}{\big \}}.}$$ ${\displaystyle c_{0}(X)}$ ${\displaystyle \ell _{1}(X)}$ ${\displaystyle c_{0}(X)\cong c_{0}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$ ${\displaystyle \ell _{1}(X)\cong \ell _{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$ ${\displaystyle c_{0},\,\ell _{1}}$ ${\displaystyle X}$

とがコンパクトハウスドルフ空間であるならば、はバナッハ空間として、上の連続関数のバナッハ空間を表す。^[11] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C(H\times K)\cong C(H){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }C(K)}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$

微分可能関数の空間

がの開部分集合、が完全なハウスドルフの局所凸位相ベクトル空間、 が- 倍連続的に微分可能な- 値関数の空間であるとします。このとき、 となります。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)\cong C^{k}(\Omega ){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$

シュワルツ空間は TVSにも一般化でき、次のように定義できる。 をすべての変数の多項式とのすべてのペアに対して、 が の有界部分集合となるような空間とすると、が の有界部分集合となる 。を、が の関数として一様収束する位相で表し、がすべての可能な変数の多項式ペアにわたって変化するようにする。すると、^[11] ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\{P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x):x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x),}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)\cong {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$

注記

1. Treves 2006、427–428 ページ。
2. ライアン2002、45ページ。
3. Trèves 2006、434ページ。
4. Trèves 2006、439–444頁。
5. Trèves 2006、434～444頁。
6. シェーファー＆ウォルフ 1999、170ページ。
7. Treves 2006、500–502 ページ。
8. ライアン2002、58ページ。
9. シェーファー＆ウォルフ 1999、168ページ。
10. ライアン2002、47～49頁。
11. Treves 2006、446–451ページ。

参考文献

• ライアン、レイモンド (2002).バナッハ空間のテンソル積入門. ロンドン、ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 1-85233-437-1. OCLC  48092184。
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。

さらに読む

• ディーステル、ジョー (2008). 『テンソル積の計量理論：グロタンディークの概論再考』 プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC  185095773.
• グロタンディーク、アレクサンダー(1955). 「位相テンソル積と核空間」.アメリカ数学会誌シリーズ(フランス語). 16 . プロビデンス: アメリカ数学会. MR  0075539. OCLC  9308061.
• グロタンディーク、グロタンディーク (1966)。Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (フランス語)。プロビデンス: アメリカ数学協会。ISBN 0-8218-1216-5. OCLC  1315788。
• ピエチュ、アルブレヒト (1972)。核の局所的に凸状の空間。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 0-387-05644-0. OCLC  539541.
• ウォン（1979）『シュワルツ空間、核空間、テンソル積』ベルリン・ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-09513-6OCLC  5126158 。

外部リンク

• ncatlabの核空間

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