円周角

幾何学において、円周角とは、円上で二本の弦が交わる際に円の内部に形成される角度のことです。また、円周角は、円上の一点を二点が囲む角度とも定義されます。

同様に、円周角は、端点を共有する円の 2 つの弦によって定義されます。

円周角定理は、円周角の大きさと、同じ円弧を切る中心角の大きさを関連付けます。

円周角定理はユークリッドの『原論』第 3 巻に命題 20 として登場します。

この定理は、同様に角の二等分（ただし円に内接しない三角形の角の二等分）を伴う角の二等分定理と混同しないように注意してください。

定理

声明

固定点 $A$ と $B$ に対し、平面上の点集合*Mにおいて、* $∠ AMB$ がαに等しい角度は円弧である。O を $円$ の中心とする ∠ $AOB の$ $度合いは2$ $α$ である。

円周角定理は、円に内接する角 $θ$ は、円周上の同じ弧と交わる中心角 $2 θ$ の半分であると述べています。したがって、円周角の頂点を同じ弧上の異なる位置に移動しても、この角度は変化しません。

証拠

1弦が直径となる円周角

右の図のように、円の中心を $O$ とします。円上の2点を $V$ 、 $A$ とします。点 V の正反対の点を点 B とします。 $点$ O $を$ 含む直径を弦 VB とします $。$ 弦 $VA$ とします $。$ 角 $∠$ $BVAは円弧$ $AB$ と交わる内接角です。これを $ψ$ と書きます。線 $OA$ とします。角 $∠$ $BOAは円弧$ $AB$ と交わる中心角です。これを $θ$ と書きます。

直線 $OV$ と $直線OAは$ $どちら$ も円の半径なので、長さは等しい。したがって、三角形 $△ VOA$ は二等辺三角形なので、角 $∠BVA$ と角 $∠VAO は$ 等しい。

角度 $∠ BOA$ と $∠ AOV$ は補角であり、合計すると直角(180°) となるため、角度 $∠ AOV$ $は180° - θ$ となります。

$三角形△ VOA$ の3つの角度の合計は $180°$ でなければなりません。

$(180^{\circ }-\theta )+\psi +\psi =180^{\circ }.$

両辺を足すと $\theta -180^{\circ }$

$2\psi =\theta .$

円の中心を内側に持つ内接角

ケース：中央内部から角度まで
   $ψ 0 = ∠ DVC 、 θ 0 = ∠ DOC$

   $ψ 1 = ∠ EVD 、 θ 1 = ∠ EOD$

   $ψ 2 = ∠ EVC 、 θ 2 = ∠ EOC$

$点O$ を中心とする円が与えられます。円上の3点 $V、C、Dを選びます。線分$ $VC$ と $VD$ を引きます。角 $∠ DVC$ は円周角です。次に線分 $OVを引き、点$ $O$ を越えて円と点 $E$ で交わるように延長します。角 $∠ DVC は$ 円上の弧 $DCと交わります。$

この円弧が点 $E$ を内包していると仮定します。点 $Eは点$ $V$ の正反対の点です。∠ $DVE と ∠ EVC$ も円周角ですが、どちらの角も円の中心を通る辺を持っているため、上記のパート1の定理を適用できます。

したがって、

$\angle DVC=\angle DVE+\angle EVC.$

それから

${\begin{aligned}\psi _{0}&=\angle DVC,\\\psi _{1}&=\angle DVE,\\\psi _{2}&=\angle EVC,\end{aligned}}$

となることによって

$\psi _{0}=\psi _{1}+\psi _{2}.\qquad \qquad (1)$

$線分OC$ と $線分$ $OD$ $を$ 描きます。∠DOC $は中心角ですが、$ $∠DOE$ と $∠EOC も$ 中心角です。 $\angle DOC=\angle DOE+\angle EOC.$

させて

${\begin{aligned}\theta _{0}&=\angle DOC,\\\theta _{1}&=\angle DOE,\\\theta _{2}&=\angle EOC,\end{aligned}}$

となることによって

$\theta _{0}=\theta _{1}+\theta _{2}.\qquad \qquad (2)$

パート1から、およびであることがわかっています。これらの結果を式(2)と組み合わせると、 $\theta _{1}=2\psi _{1}$ $\theta _{2}=2\psi _{2}$

$\theta _{0}=2\psi _{1}+2\psi _{2}=2(\psi _{1}+\psi _{2})$

したがって、式（１）によれば、

$\theta _{0}=2\psi _{0}.$

円の中心を外側に持つ内接角

前のケースは、この証明の最初の部分で説明したように、円周角の尺度が2 つの円周角の差である場合にまで拡張できます。

$点O$ を中心とする円が与えられます。円上の3点 $V、C、Dを選びます。線分$ $VC$ と $VD$ を引きます。角 $∠ DVC$ は円周角です。次に線分 $OVを引き、点$ $O$ を越えて円と点 $E$ で交わるように延長します。角 $∠ DVC は$ 円上の弧 $DCと交わります。$

$この弧が点E$ を含まないと仮定します。点 $E$ $は点$ $V$ の正反対の点です。∠ $EVD$ $と∠$ $EVC$ も円周角ですが、どちらも円の中心を通る辺を持っているため、上記のパート1の定理を適用できます。

したがって、

$\angle DVC=\angle EVC-\angle EVD.$

それから

${\begin{aligned}\psi _{0}&=\angle DVC,\\\psi _{1}&=\angle EVD,\\\psi _{2}&=\angle EVC,\end{aligned}}$

となることによって

$\psi _{0}=\psi _{2}-\psi _{1}.\qquad \qquad (3)$

$線分OC$ と $線分$ $OD$ $を$ 描きます。∠DOC $は中心角ですが、$ $∠EOD$ と $∠EOC$ $も$ 中心角です。

$\angle DOC=\angle EOC-\angle EOD.$

させて

${\begin{aligned}\theta _{0}&=\angle DOC,\\\theta _{1}&=\angle EOD,\\\theta _{2}&=\angle EOC,\end{aligned}}$

となることによって

$\theta _{0}=\theta _{2}-\theta _{1}.\qquad \qquad (4)$

パート1から、およびであることがわかっています。これらの結果を式(4)と組み合わせると、式(3)より、 $\theta _{1}=2\psi _{1}$ $\theta _{2}=2\psi _{2}$ $\theta _{0}=2\psi _{2}-2\psi _{1}$ $\theta _{0}=2\psi _{0}.$

推論

同様の議論により、弦と接線との交点における角度は、弦の中心角の半分に等しくなります。円の接線も参照してください。

アプリケーション

円周角定理は、平面の初等ユークリッド幾何学の多くの証明で使用されています。この定理の特殊なケースはタレスの定理で、直径によって囲まれる角度は常に 90°、つまり直角であると述べています。定理の結果として、円周四辺形の対角の合計は 180° になります。逆に、これが成り立つ四辺形はどれも円に内接できます。別の例として、円周角定理は、円に対する点のべき乗に関連するいくつかの定理の基礎となっています。さらに、この定理により、2 本の弦が円で交差する場合、それらの部分の長さの積が等しいことを証明できます。

楕円、双曲線、放物線の円周角定理

円周角定理は楕円、双曲線、放物線にも適用されます。本質的な違いは角度の測定方法です。（角度は交差する2本の直線とみなされます。）

参考文献

オギルヴィ, CS (1990).幾何学への遠足. ドーバー. pp. 17– 23. ISBN 0-486-26530-7。
ゲラート W、キュストナー H、ヘルヴィヒ M、ケストナー H (1977)。VNR の数学の簡潔な百科事典。ニューヨーク：ヴァン・ノストランド・ラインホルト。 p. 172.ISBN 0-442-22646-2。
モイーズ, エドウィン・E. (1974). 『初等幾何学の高度な視点から』（第2版）. 参考図書: アディソン・ウェスレー. pp. 192– 197. ISBN 0-201-04793-4。

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「円周角」。MathWorld。
中心角と円周角の関係
カット・ザ・ノットで内角をむしゃむしゃ食べる
円弧の中心角インタラクティブアニメーション付き
円弧の周角（内接角）インタラクティブアニメーション付き
円弧中心角定理（インタラクティブアニメーション付き）
bookofproofs.github.io で