積分曲線

数学において、積分曲線は常微分方程式または方程式系の特定の解を表すパラメトリック曲線です。

名前

積分曲線は、微分方程式やベクトル場の性質や解釈に応じて、様々な名称で呼ばれます。物理学では、電場や磁場の積分曲線は磁力線、流体の速度場の積分曲線は流線と呼ばれます。力学系では、系を支配する微分方程式の積分曲線は、軌跡または軌道と呼ばれます。

意味

$F$ が静的ベクトル場、すなわち直交座標系における成分 $($ $F$ $1$ $,$ $F$ $2$ $,...,$ $F$ $n$ $)を持つ$ ベクトル値関数であり、 $x$ $($ $t$ $)$ が直交座標 $($ $x$ $1$ $($ $t$ $) ,$ $x$ $2$ $($ $t$ $) ,...,$ $x$ $n$ $($ $t$ $))を持つ$ パラメトリック曲線であるとする。この場合、 x ( t )が常微分方程式の自律系解であるとき、 $x$ $($ $t$ $)は$ $F$ の積分曲線となる。

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&\;\,\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=F_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}$

このようなシステムは、単一のベクトル方程式として表すことができる。

$\mathbf {x} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {x} (t)).$

この式は、曲線上の任意の点 $x (t)$ における曲線の接線ベクトルはベクトル $F (x (t))$ とまったく同じであり、したがって曲線 $x (t)は各点でベクトル場$ Fに接していることを示しています。

与えられたベクトル場がリプシッツ連続である場合、ピカール・リンデレフの定理は、微小時間に対して一意の流れが存在することを意味します。

例

微分方程式がベクトル場または傾き場として表される場合、対応する積分曲線は各点で場に対して接します。

微分可能多様体への一般化

意味

$M を$ $C$ $r$ 類のバナッハ多様体とし、r $\geq$ $2$ とする。通常通り、 $T$ $M は$ $M$ の接束を表し、その自然な射影 $π$ $M$ $: T$ $M$ $\to$ $M$ は次のように表される。

$\pi _{M}:(x,v)\mapsto x.$

$M$ 上のベクトル場は接束 $T$ $M$ の断面、すなわち多様体 $M$ の各点への、その点における $M$ への接ベクトルの割り当てである。X $を$ $M上の$ $C$ $r$ $-1$ クラスのベクトル場とし、 $p$ $\in$ $M$ とする。時刻 $t$ $0に$ $p$ を通る $X$ の積分曲線は、 $t$ $0$ を含む実数直線 $R$ の開区間 $J$ 上で定義される $C$ $r$ $-1$ クラスの曲線 $α$ $:$ $J$ $\to$ $M$ であり、

${\begin{aligned}\alpha (t_{0})&=p;\\\alpha '(t)&=X(\alpha (t)){\text{ }t\in J のすべての }}t について.\end{aligned}}$

常微分方程式との関係

時刻 $t$ $0に$ $p$ を通過するベクトル場 $X$ の積分曲線 $αの上記の定義は、$ $α が$ 常微分方程式/初期値問題の局所解であると言うことと同じである。

${\begin{aligned}\alpha (t_{0})&=p;\\\alpha '(t)&=X(\alpha (t)).\end{aligned}}$

$これはJ$ 内の時刻に対してのみ定義され、必ずしもすべての $t \geq t 0$ （ましてや $t \leq t 0$ ）に対して定義されるわけではないという意味で局所的である。したがって、積分曲線の存在と一意性を証明する問題は、常微分方程式／初期値問題の解を求め、それらが一意であることを示す問題と同じである。

時間微分に関する考察

上記において、 $α'(t) は$ 時刻 $tにおける$ $α$ の微分、つまり時刻 $tにおける「$ $α$ が指している方向」を表します。より抽象的な観点から言えば、これはフレシェ微分です。

$(\mathrm {d} _{t}\alpha )(+1)\in \mathrm {T} _{\alpha (t)}M.$

$Mが$ $R$ $n$ の開集合である特別な場合、これはよく知られた導関数である。

$\left({\frac {\mathrm {d} \alpha _{1}}{\mathrm {d} t}},\dots ,{\frac {\mathrm {d} \alpha _{n}}{\mathrm {d} t}}\right),$

ここで $、α 1 、...、 α n$ は通常の座標方向に対する $α$ の座標です。

同じことを、より抽象的に誘導写像という用語で表現することもできます $。J$ の接バンドル $T J$ は自明バンドル $J$ $\times$ $R$ であり、このバンドルの標準断面 $ι$ が存在し、すべての $t$ $\in$ $Jに対して$ $ι$ $($ $t$ $) = 1$ (より正確には、 $($ $t$ $, 1) \in$ $ι$ )となることに注意してください。曲線 $α$ はバンドル写像 $α$ $*$ $: T$ $J$ $\to T$ $M$ を誘導し、次の図が可換になります。

このとき、時間微分 $α'$ は合成 $α' = α * o ι であり、 α'(t)$ は任意の点 $t \in J$ におけるその値です。

参考文献

ラング、セルジュ(1972). 『微分多様体』マサチューセッツ州レディング、ロンドン、オンタリオ州ドン・ミルズ: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.