強度測定

確率論において、強度測度とは、ランダム測度から導かれる測度である。強度測度は非ランダム測度であり、集合のランダム測度の期待値として定義される。したがって、強度測度は、ランダム測度が集合に割り当てる平均量に対応する。強度測度には、ランダム測度の特性に関する重要な情報が含まれている。例えば、ランダム測度として解釈されるポアソン点過程は、その強度測度によって一意に決定される。 ^[1]

意味

を測定可能空間上のランダム測度とし、ランダム要素の期待値をで表します。 $\zeta$ $(S,{\mathcal {A}})$ $Y$ $\operatorname {E} [Y]$

強度測定

\operatorname {E} \zeta \colon {\mathcal {A}}\to [0,\infty ]

は次のように定義される $\zeta$

\operatorname {E} \zeta (A)=\operatorname {E} [\zeta (A)]

すべての人のために。^[2]^[3] $A\in {\mathcal {A}}$

ランダム要素の期待値（）とランダム測度の強度測度（）の表記の違いに注意してください。 $Y$ $\operatorname {E} [Y]$ $\zeta$ $\operatorname {E} \zeta$

プロパティ

強度測度は常に s有限であり、 $\operatorname {E} \zeta$

\operatorname {E} \left[\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\operatorname {E} \zeta (dx)

上のすべての正の測定可能な関数に対して。^[3] $f$ $(S,{\mathcal {A}})$

参考文献

^ クレンケ、アヒム (2008).確率論. ベルリン: シュプリンガー. p. 528. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6。
^ クレンケ、アヒム (2008).確率論. ベルリン: シュプリンガー. p. 526. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6。
^ ab Kallenberg, Olav (2017).ランダム測定、理論と応用. 確率理論と確率モデル化. 第77巻. スイス: Springer. p. 53. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3。

[Klenke528-1] クレンケ、アヒム (2008).確率論. ベルリン: シュプリンガー. p. 528. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6。

[Klenke526-2] クレンケ、アヒム (2008).確率論. ベルリン: シュプリンガー. p. 526. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6。

[Kallenberg53-3] Kallenberg, Olav (2017).ランダム測定、理論と応用. 確率理論と確率モデル化. 第77巻. スイス: Springer. p. 53. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3。