電磁場のインターフェース条件

Behaviour of electromagnetic fields

界面条件は、2つの物質の界面における電磁場、すなわち電場、変位電場、および磁場の挙動を記述する。これらの方程式の微分形は、それらが適用される点の周囲に常に開近傍が存在することを要求し、そうでなければベクトル場とHは微分不可能となる。言い換えれば、媒質は連続でなければならない[連続である必要はない][この段落は修正が必要であり、「連続」という誤った概念を訂正する必要がある]。電気誘電率と透磁率の値が異なる2つの異なる媒質の界面では、この条件は適用されない。

しかし、電磁場ベクトルのインターフェース条件は、マクスウェル方程式の積分形式から導くことができます。

電界ベクトルの界面条件

電界強度

${\displaystyle \mathbf {n} _{12}\times (\mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1})=\mathbf {0} }$

ここで、は媒体 1 から媒体 2 への法線ベクトルです。
${\displaystyle \mathbf {n} _{12}}$

したがって、Eの接線成分はインターフェース全体で連続しています。

ファラデーの法則からの証明の概要

ファラデーの法則の積分形式から始めます。 ${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-\int _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} }$ 界面を横切る小さな正方形を選びます。そして、界面に垂直な辺を無限小の長さまで縮めます。すると積分領域は面積がゼロの直線のように見えます。言い換えると、 ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lim _{linelength\to 0}\mathbf {A} =0}$ この極限では は有限のままなので、右辺全体がゼロになります。残るのは次の式だけです。 ${\displaystyle \partial \mathbf {B} /\partial t}$ ${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=0}$ 私たちの2つの辺は無限に小さく、 ${\displaystyle \int _{medium1}\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}+\int _{medium2}\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=0}$ Eがほぼ一定になるように正方形を小さくしたと仮定すると、その大きさは積分から除外できます。元のループの残りの辺は、各領域で反対方向に走るため、一方を接線単位ベクトル、もう一方を次のように定義します。 ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {t}}}$ ${\displaystyle -{\boldsymbol {t}}}$ ${\displaystyle (\mathbf {E} _{2}\cdot {\boldsymbol {t}})l-(\mathbf {E} _{1}\cdot {\boldsymbol {t}})l=\mathbf {0} }$ lで割って整理すると、 ${\displaystyle (\mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1})\cdot {\boldsymbol {t}}=\mathbf {0} }$ この議論は、あらゆる接線方向に対して成り立ちます。任意の接線ベクトルに点在する電界の差はゼロであり、これは、法線ベクトルに平行な成分のみが媒質間で変化することを意味します。したがって、電界ベクトルの差は法線ベクトルに平行です。2つの平行ベクトルの外積は常にゼロになります。 ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{12}\times (\mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1})=\mathbf {0} }$

電界変位場

${\displaystyle (\mathbf {D} _{2}-\mathbf {D} _{1})\cdot \mathbf {n} _{12}=\sigma _{s}}$

${\displaystyle \mathbf {n} _{12}}$は、媒体 1 から媒体 2 への単位法線ベクトルです。は、媒体間の表面電荷密度です(無制限の電荷のみ、材料の分極に由来するものではありません)。
${\displaystyle \sigma _{s}}$

これは、ガウスの法則と上記と同様の推論を使用して推測できます。

したがって、 Dの法線成分は界面表面において表面電荷の段差を持つ。界面に表面電荷が存在しない場合、Dの法線成分は連続的である。

磁場ベクトルのインターフェース条件

磁束密度について

${\displaystyle (\mathbf {B} _{2}-\mathbf {B} _{1})\cdot \mathbf {n} _{12}=0}$

ここで、は媒体 1 から媒体 2 への法線ベクトルです。
${\displaystyle \mathbf {n} _{12}}$

したがって、 Bの法線成分はインターフェース全体で連続しています (両方の媒体で同じです)。

磁場強度について

${\displaystyle \mathbf {n} _{12}\times (\mathbf {H} _{2}-\mathbf {H} _{1})=\mathbf {j} _{s}}$

ここで、は媒体 1 から媒体 2 への単位法線ベクトルです。は 2 つの媒体間の表面電流密度です(無制限の電流のみ、材料の分極に由来するものではありません)。
${\displaystyle \mathbf {n} _{12}}$
${\displaystyle \mathbf {j} _{s}}$

したがって、Hの接線方向成分は界面を横切って表面電流密度の大きさに等しい量だけ不連続となる。2つの媒質におけるHの法線方向成分は、透磁率の比となる。^[1]

インターフェース横のメディアに応じた議論

媒体1と2が完璧であれば誘電体

界面には電荷も表面電流も存在しないため、Hの接線成分とDの法線成分は両方とも連続しています。

媒体1が完璧な場合誘電そしてミディアム2は完璧です金属

界面には電荷と表面電流が存在するため、Hの接線成分とDの法線成分は連続していない。^[1]

境界条件

境界条件と界面条件を混同してはなりません。数値計算では、電磁場の計算が行われる空間をいくつかの境界に制限する必要があります。これは、境界における物理的に正しく、有限時間で数値的に解ける条件を仮定することで実現されます。場合によっては、境界条件は単純な界面条件に収束します。最も一般的で単純な例は、完全に反射する（電気壁）境界です。この場合、外部媒質は完全導体とみなされます。場合によっては、より複雑になります。例えば、反射のない（つまり開いた）境界は、単一の界面には収束しない完全整合層または磁気壁としてシミュレートされます。

参照

• マクスウェル方程式

参考文献

1. キネイマン & アクサン 2005、p. 19-23。

出典

• キナイマン、ノヤン。ミシガン州アクスン(2005)。現代のマイクロ波回路。ノーウッド:アーテック ハウス。ISBN 9781844073832。

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