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Mapping from p forms to p-1 forms

数学において、内積（内微分、内乗、内乗、内導関数、挿入演算子、縮約、内微分とも呼ばれる）は、滑らかな多様体上の微分形式の外積代数における次数−1の（反）微分である。内積は外積と対比して名付けられており、内積と混同しないように注意する必要がある。内積は^[1]と表記されることもある。 ${\displaystyle \iota _{X}\omega }$ ${\displaystyle X\mathbin {\lrcorner } \omega .}$

意味

内積は、微分形式とベクトル場との縮約として定義される。したがって、が多様体上のベクトル場である場合、は 、任意のベクトル場に対して、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M,}$ $${\displaystyle \iota _{X}:\Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (p-1)}$ ${\displaystyle \iota _{X}\omega }$ $${\displaystyle (\iota _{X}\omega )\left(X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)=\omega \left(X,X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)}$$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{p-1}.}$

慣例により 、はスカラー フィールド (0 形式) です。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \iota _{X}\omega =0}$

内積は、外積代数上の次数−1の唯一の反微分であり、1形式上では、とベクトル間の双対性ペアリング である 。明示的に、が-形式であり、が -形式である場合、上記の関係は、内積が次数付きライプニッツ則に従うことを意味する。線形性とライプニッツ則を満たす演算は微分と呼ばれる。 ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \displaystyle \iota _{X}\alpha =\alpha (X)=\langle \alpha ,X\rangle ,}$$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle \iota _{X}(\beta \wedge \gamma )=\left(\iota _{X}\beta \right)\wedge \gamma +(-1)^{p}\beta \wedge \left(\iota _{X}\gamma \right).}$$

プロパティ

局所座標系ではベクトル場は次のように与えられる。 ${\displaystyle (x_{1},...,x_{n})}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X=f_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+\cdots +f_{n}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$

すると、内積は で与えられます。ここでは から を省略することによって得られる形式です。 $${\displaystyle \iota _{X}(dx_{1}\wedge ...\wedge dx_{n})=\sum _{r=1}^{n}(-1)^{r-1}f_{r}dx_{1}\wedge ...\wedge {\widehat {dx_{r}}}\wedge ...\wedge dx_{n},}$$ ${\displaystyle dx_{1}\wedge ...\wedge {\widehat {dx_{r}}}\wedge ...\wedge dx_{n}}$ ${\displaystyle dx_{r}}$ ${\displaystyle dx_{1}\wedge ...\wedge dx_{n}}$

形の反対称性により、 これは外微分に例えることができ、外微分は次の性質を持つ。 $${\displaystyle \iota _{X}\iota _{Y}\omega =-\iota _{Y}\iota _{X}\omega ,}$$ ${\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{X}=0.}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle d\circ d=0.}$

2つのベクトル場の交換子に関する内積は恒等式を満たす。証明。任意のk-形式について、また他の結果についても同様である。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \iota _{[X,Y]}=\left[{\mathcal {L}}_{X},\iota _{Y}\right]=\left[\iota _{X},{\mathcal {L}}_{Y}\right].}$$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\Omega )-\iota _{Y}({\mathcal {L}}_{X}\Omega )=({\mathcal {L}}_{X}\Omega )(Y,-)+\Omega ({\mathcal {L}}_{X}Y,-)-({\mathcal {L}}_{X}\Omega )(Y,-)=\iota _{{\mathcal {L}}_{X}Y}\Omega =\iota _{[X,Y]}\Omega }$$

カルタン恒等式

内積は、外微分と微分形式のリー微分をカルタン公式（カルタン恒等式、カルタンホモトピー公式^[2]、カルタン魔法公式とも呼ばれる）で関連付けます。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =d(\iota _{X}\omega )+\iota _{X}d\omega =\left\{d,\iota _{X}\right\}\omega .}$$

ここで反交換子が用いられた。この恒等式は外微分と内微分の間の双対性を定義する。カルタン恒等式はシンプレクティック幾何学と一般相対論において重要である。モーメントマップを参照のこと。^[3]カルタンホモトピー公式はエリー・カルタンにちなんで名付けられた。^[4]

直接計算による証明^[5]

ベクトル場は局所的に積分可能であるため、ベクトル場が最初の座標に関する偏微分、すなわち に対応するような局所座標系を常に見つけることができます。（ベクトル場の直線化定理を参照） ${\displaystyle (\xi ^{1},\dots ,\xi ^{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\partial _{1}}$

内積、外微分、リー微分の線型性により、単項式形式に対するカルタンの魔法の公式を証明すれば十分である。ただし、次の2つのケースのみが存在する。 ${\displaystyle k}$

ケース1: 直接計算すると次のようになります。 ${\displaystyle \alpha =a\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\iota _{X}\alpha &=a\,d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\d(\iota _{X}\alpha )&=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k}+\sum _{i=k+1}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\d\alpha &=\sum _{i=k+1}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\\iota _{X}(d\alpha )&=-\sum _{i=k+1}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\L_{X}\alpha &=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k}.\end{aligned}}}$$

ケース2: 直接計算すると次のようになります。 ${\displaystyle \alpha =a\,d\xi ^{2}\wedge d\xi ^{3}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\iota _{X}\alpha &=0,\\d\alpha &=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1}+\sum _{i=k+2}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1},\\\iota _{X}(d\alpha )&=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1},\\L_{X}\alpha &=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1}.\end{aligned}}}$$

抽象代数による証明、 Shiing-Shen Chernによる^[4]

外微分は外積代数上の反微分です。同様に、ベクトル場との内積も反微分です。一方、リー微分は微分です。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \iota _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{X}}$

2 つの反導出の反交換子は導出です。

外積代数上の2つの微分が等しいことを示すには、それらが生成元の集合上で一致することを示すだけで十分である。局所的には、外積代数は0-形式（滑らかな関数）とその微分、すなわち正確な1-形式（）によって生成される。これらの2つの場合について、カルタンの魔法公式を検証せよ。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle df}$

参照

• キャップ積 – 代数的位相幾何学における方法
• 内積 – 一般化された内積を持つベクトル空間Pages displaying short descriptions of redirect targets
• テンソル収縮 – 数学における演算

注記

1. 文字⨼はUnicodeではU+2A3C INTERIOR PRODUCTである。
2. 火、第20.5節。
3. 「カルタン公式」と呼ばれる別の公式があります。スティーンロッド代数を参照してください。
4. 「カルタンの魔法の公式」はエリーによるものかアンリによるものか？、MathOverflow、2010年9月21日、 2018年6月25日閲覧
5. カルタン魔法公式の初等証明、オレグ・ズベレヴィッチ

参考文献

• セオドア・フランケル『物理学の幾何学入門』ケンブリッジ大学出版局、第3版、2011年
• ローリング・W・トゥ著『多様体入門』第2版、シュプリンガー、2011年。doi : 10.1007/978-1-4419-7400-6

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