Conditions in the second step of the Born-Oppenheimer approximation
カール・エッカート にちなんで名付けられたエッカート条件[1]は、 ボルン ・ オッペン ハイマー 近似 の第二段階で生じる原子核の運動（振動回転）ハミルトニアンを簡素化する 。この条件により、回転と振動を近似的に分離することが可能になる。分子中の原子核の回転運動と振動運動を完全に分離することはできないが、エッカート条件はそれらの相互作用を最小限に抑える。エッカート条件は、ルークとガルブレイスによって説明されている [2] 。
ブンカーとジェンセンの教科書の10.2節には、エッカート条件の適用例が示されている。この例は、エッカート条件を適用することで得られる軸の向きが、分子の振動が歪んだときに最小限に回転する様子を示している。 [3]
エッカート条件の定義 エッカート条件は、 半剛体分子、すなわち ポテンシャルエネルギー面 V ( R 1 , R 2 ,.. R N )を持つ分子に対してのみ定式化できる。この分子は、 R A 0 ( ) に対して明確な最小値を持つ。質量 M A を持つ核のこれらの平衡座標は、 固定された直交主軸座標系に対して表され、したがって以下の関係を満たす
。 A = 1 , … , N {\displaystyle A=1,\ldots ,N}
∑ A = 1 N M A ( δ i j | R A 0 | 2 − R A i 0 R A j 0 ) = λ i 0 δ i j a n d ∑ A = 1 N M A R A 0 = 0 . {\displaystyle \sum _{A=1}^{N}M_{A}\,{\big (}\delta _{ij}|\mathbf {R} _{A}^{0}|^{2}-R_{Ai}^{0}R_{Aj}^{0}{\big )}=\lambda _{i}^{0}\delta _{ij}\quad \mathrm {and} \quad \sum _{A=1}^{N}M_{A}\mathbf {R} _{A}^{0}=\mathbf {0} .} ここでλ i 0 は平衡分子の 主 慣性モーメントである。これらの条件を満たす三項 R A 0 = ( R A 1 0 , R A 2 0 , R A 3 0 )は、与えられた実定数の集合として理論に導入される。BiedenharnとLouckに倣い、直交物体固定座標系 [4] 、エッカート 座標系 を導入する。
F → = { f → 1 , f → 2 , f → 3 } {\displaystyle {\vec {\mathbf {F} }}=\{{\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}\}} 。 もし私たちが、分子に追従して回転し、空間的に移動するエッカート座標系に縛られていたら、点に核を描くときに、分子が平衡状態にあるのを観察することになるだろう。
R → A 0 ≡ F → ⋅ R A 0 = ∑ i = 1 3 f → i R A i 0 , A = 1 , … , N {\displaystyle {\vec {R}}_{A}^{0}\equiv {\vec {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {R} _{A}^{0}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {f}}_{i}\,R_{Ai}^{0},\quad A=1,\ldots ,N} 。 R A の要素を、原子核 A の位置ベクトル( ) のエッカート座標系に対する座標とする 。エッカート座標系の原点を瞬間質量中心にとるので、次の関係が成り立つ。 A = 1 , … , N {\displaystyle A=1,\ldots ,N}
∑ A M A R A = 0 {\displaystyle \sum _{A}M_{A}\mathbf {R} _{A}=\mathbf {0} } 成立する。変位座標 を定義する。
d A ≡ R A − R A 0 {\displaystyle \mathbf {d} _{A}\equiv \mathbf {R} _{A}-\mathbf {R} _{A}^{0}} 。 明らかに変位座標は 並進エッカート条件 を満たしている。
∑ A = 1 N M A d A = 0. {\displaystyle \sum _{A=1}^{N}M_{A}\mathbf {d} _{A}=0.} 変位の回転エッカート条件は次のとおり です 。
∑ A = 1 N M A R A 0 × d A = 0 , {\displaystyle \sum _{A=1}^{N}M_{A}\mathbf {R} _{A}^{0}\times \mathbf {d} _{A}=0,} ここで は ベクトル積 を表します 。これらの回転条件は、エッカートフレームの特定の構成から導かれます。Biedenharn and Louck, loc. cit. , 538ページを参照してください。 × {\displaystyle \times }
最後に、エカルト フレームをより深く理解するために、分子が剛体回転子 である場合、つまり N 個 の変位ベクトルがすべてゼロである場合に、エカルト フレームが主軸フレームになることを指摘しておくと役立つ かもしれません。
外部座標と内部座標の分離 原子核のN個の位置ベクトルは3N次元線形空間R 3N （配置空間）を構成する 。 エッカート 条件 は、 この 空間 の 直交 直和分解を与える 。 R → A {\displaystyle {\vec {R}}_{A}}
R 3 N = R ext ⊕ R int . {\displaystyle \mathbf {R} ^{3N}=\mathbf {R} _{\textrm {ext}}\oplus \mathbf {R} _{\textrm {int}}.} 3 N -6次元部分空間 R int の要素は、分子全体の並進および回転に対して不変であり、したがって内部（振動）運動のみに依存するため、 内部座標 と呼ばれます。6次元部分空間 R ext の要素は、分子全体の並進および回転に関連付けられているため、 外部座標 と呼ばれます。
この命名法を明確にするために、まずR ext の基底を定義します 。そのために、以下の6つのベクトル（i=1,2,3）を導入します。
s → i A ≡ f → i s → i + 3 A ≡ f → i × R → A 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {s}}_{i}^{A}&\equiv {\vec {f}}_{i}\\{\vec {s}}_{i+3}^{A}&\equiv {\vec {f}}_{i}\times {\vec {R}}_{A}^{0}.\\\end{aligned}}} R ext の直交非正規化基底 は、
S → t ≡ row ( M 1 s → t 1 , … , M N s → t N ) f o r t = 1 , … , 6. {\displaystyle {\vec {S}}_{t}\equiv \operatorname {row} ({\sqrt {M_{1}}}\;{\vec {s}}_{t}^{\,1},\ldots ,{\sqrt {M_{N}}}\;{\vec {s}}_{t}^{\,N})\quad \mathrm {for} \quad t=1,\ldots ,6.} 質量重み付き変位ベクトルは次のように表される。
D → ≡ col ( M 1 d → 1 , … , M N d → N ) w i t h d → A ≡ F → ⋅ d A . {\displaystyle {\vec {D}}\equiv \operatorname {col} ({\sqrt {M_{1}}}\;{\vec {d}}^{\,1},\ldots ,{\sqrt {M_{N}}}\;{\vec {d}}^{\,N})\quad \mathrm {with} \quad {\vec {d}}^{\,A}\equiv {\vec {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {d} _{A}.} i=1,2,3の場合、
S → i ⋅ D → = ∑ A = 1 N M A s → i A ⋅ d → A = ∑ A = 1 N M A d A i = 0 , {\displaystyle {\vec {S}}_{i}\cdot {\vec {D}}=\sum _{A=1}^{N}\;M_{A}{\vec {s}}_{i}^{\,A}\cdot {\vec {d}}^{\,A}=\sum _{A=1}^{N}M_{A}d_{Ai}=0,} ここで、ゼロは並進エッカート条件によるものである。i=4,5,6の場合
S → i ⋅ D → = ∑ A = 1 N M A ( f → i × R → A 0 ) ⋅ d → A = f → i ⋅ ∑ A = 1 N M A R → A 0 × d → A = ∑ A = 1 N M A ( R A 0 × d A ) i = 0 , {\displaystyle \,{\vec {S}}_{i}\cdot {\vec {D}}=\sum _{A=1}^{N}\;M_{A}{\big (}{\vec {f}}_{i}\times {\vec {R}}_{A}^{0}{\big )}\cdot {\vec {d}}^{\,A}={\vec {f}}_{i}\cdot \sum _{A=1}^{N}M_{A}{\vec {R}}_{A}^{0}\times {\vec {d}}^{A}=\sum _{A=1}^{N}M_{A}{\big (}\mathbf {R} _{A}^{0}\times \mathbf {d} _{A}{\big )}_{i}=0,} ここで、回転エッカート条件により零点が導かれる。変位ベクトルは R ext の直交補ベクトルに属し 、したがって内部ベクトルであると結論付けられる。 D → {\displaystyle {\vec {D}}}
内部空間の基底は3 N -6個の線形独立ベクトル
を定義することによって得られる。
Q → r ≡ row ( 1 M 1 q → r 1 , … , 1 M N q → r N ) , f o r r = 1 , … , 3 N − 6. {\displaystyle {\vec {Q}}_{r}\equiv \operatorname {row} ({\frac {1}{\sqrt {M_{1}}}}\;{\vec {q}}_{r}^{\,1},\ldots ,{\frac {1}{\sqrt {M_{N}}}}\;{\vec {q}}_{r}^{\,N}),\quad \mathrm {for} \quad r=1,\ldots ,3N-6.} ベクトルは ウィルソン のsベクトルか、あるいは V のヘッセ行列を対角化することで調和近似で得られる 。次に内部（振動）モードを導入する。 q → r A {\displaystyle {\vec {q}}_{r}^{A}}
q r ≡ Q → r ⋅ D → = ∑ A = 1 N q → r A ⋅ d → A f o r r = 1 , … , 3 N − 6. {\displaystyle q_{r}\equiv {\vec {Q}}_{r}\cdot {\vec {D}}=\sum _{A=1}^{N}{\vec {q}}_{r}^{A}\cdot {\vec {d}}^{\,A}\quad \mathrm {for} \quad r=1,\ldots ,3N-6.} q r の物理的な意味は ベクトルに依存します 。例えば、 q r は 対称伸縮モードで ある可能性があり 、このモードでは2つのC-H結合が同時に伸縮します。 q → r A {\displaystyle {\vec {q}}_{r}^{A}}
対応する外部モードはエッカート条件によりゼロになることはすでに見てきました。
s t ≡ S → t ⋅ D → = ∑ A = 1 N M A s → t A ⋅ d → A = 0 f o r t = 1 , … , 6. {\displaystyle s_{t}\equiv {\vec {S}}_{t}\cdot {\vec {D}}=\sum _{A=1}^{N}M_{A}\;{\vec {s}}_{t}^{\,A}\cdot {\vec {d}}^{\,A}=0\quad \mathrm {for} \quad t=1,\ldots ,6.}
全体的な移動と回転 振動（内部）モードは、平衡（基準）分子の並進および微小回転に対して不変であり、これはエッカート条件が適用される 場合に限ります 。このサブセクションでは、この点について説明します。
参照分子の全体的な翻訳は次のように与えられる。
R → A 0 ↦ R → A 0 + t → {\displaystyle {\vec {R}}_{A}^{0}\mapsto {\vec {R}}_{A}^{0}+{\vec {t}}} ' 任意の3次元ベクトルに対して 、分子の微小回転は次のように与えられる。 t → {\displaystyle {\vec {t}}}
R → A 0 ↦ R → A 0 + Δ φ ( n → × R → A 0 ) {\displaystyle {\vec {R}}_{A}^{0}\mapsto {\vec {R}}_{A}^{0}+\Delta \varphi \;({\vec {n}}\times {\vec {R}}_{A}^{0})} ここでΔφは無限小角、Δφ >> (Δφ)²、および 任意の単位 ベクトルである 。 外部空間への直交 性
から、 n → {\displaystyle {\vec {n}}} Q → r {\displaystyle {\vec {Q}}_{r}} q → r A {\displaystyle {\vec {q}}_{r}^{A}}
∑ A = 1 N q → r A = 0 → a n d ∑ A = 1 N R → A 0 × q → r A = 0 → . {\displaystyle \sum _{A=1}^{N}{\vec {q}}_{r}^{\,A}={\vec {0}}\quad \mathrm {and} \quad \sum _{A=1}^{N}{\vec {R}}_{A}^{0}\times {\vec {q}}_{r}^{A}={\vec {0}}.} 現在翻訳中
q r ↦ ∑ A q → r A ⋅ ( d → A − t → ) = q r − t → ⋅ ∑ A q → r A = q r . {\displaystyle q_{r}\mapsto \sum _{A}{\vec {q}}_{r}^{\,A}\cdot ({\vec {d}}^{A}-{\vec {t}})=q_{r}-{\vec {t}}\cdot \sum _{A}{\vec {q}}_{r}^{\,A}=q_{r}.} 明らかに、 は変換に対して不変であり、その場合のみ、 q → r A {\displaystyle {\vec {q}}_{r}^{A}}
∑ A q → r A = 0 , {\displaystyle \sum _{A}{\vec {q}}_{r}^{\,A}=0,} ベクトル は任意であるからです。したがって、並進エッカート条件は、内部空間に属するベクトルの並進不変性を意味し、逆もまた同様です。回転のもとでは、 t → {\displaystyle {\vec {t}}}
q r ↦ ∑ A q → r A ⋅ ( d → A − Δ φ ( n → × R → A 0 ) ) = q r − Δ φ n → ⋅ ∑ A R → A 0 × q → r A = q r . {\displaystyle q_{r}\mapsto \sum _{A}{\vec {q}}_{r}^{\,A}\cdot {\big (}{\vec {d}}^{A}-\Delta \varphi \;({\vec {n}}\times {\vec {R}}_{A}^{0}){\big )}=q_{r}-\Delta \varphi \;{\vec {n}}\cdot \sum _{A}{\vec {R}}_{A}^{0}\times {\vec {q}}_{r}^{\,A}=q_{r}.} 回転不変性 は、
∑ A R → A 0 × q → r A = 0 → . {\displaystyle \sum _{A}{\vec {R}}_{A}^{0}\times {\vec {q}}_{r}^{\,A}={\vec {0}}.} 一方、外部モードは不変では なく 、次のように変換によって変化することを示すことは難しくありません。
s i ↦ s i + M f → i ⋅ t → f o r i = 1 , 2 , 3 s i ↦ s i f o r i = 4 , 5 , 6 , {\displaystyle {\begin{aligned}s_{i}&\mapsto s_{i}+M{\vec {f}}_{i}\cdot {\vec {t}}\quad \mathrm {for} \quad i=1,2,3\\s_{i}&\mapsto s_{i}\quad \mathrm {for} \quad i=4,5,6,\\\end{aligned}}} ここで M は分子の全質量である。これらは微小回転によって次のように変化する。
s i ↦ s i f o r i = 1 , 2 , 3 s i ↦ s i + Δ ϕ f → i ⋅ I 0 ⋅ n → f o r i = 4 , 5 , 6 , {\displaystyle {\begin{aligned}s_{i}&\mapsto s_{i}\quad \mathrm {for} \quad i=1,2,3\\s_{i}&\mapsto s_{i}+\Delta \phi {\vec {f}}_{i}\cdot \mathbf {I} ^{0}\cdot {\vec {n}}\quad \mathrm {for} \quad i=4,5,6,\\\end{aligned}}} ここで、 I 0 は平衡分子の慣性テンソルです。この挙動は、最初の3つの外部モードが分子全体の並進運動を記述し、モード4、5、6が分子全体の回転を記述していることを示しています。
振動エネルギー 分子の振動エネルギーは、エッカート座標系に対する座標で次のように表される。
2 T v i b = ∑ A = 1 N M A R ˙ A ⋅ R ˙ A = ∑ A = 1 N M A d ˙ A ⋅ d ˙ A . {\displaystyle 2T_{\mathrm {vib} }=\sum _{A=1}^{N}M_{A}{\dot {\mathbf {R} }}_{A}\cdot {\dot {\mathbf {R} }}_{A}=\sum _{A=1}^{N}M_{A}{\dot {\mathbf {d} }}_{A}\cdot {\dot {\mathbf {d} }}_{A}.} エッカート系は非慣性系であるため、全運動エネルギーには遠心力とコリオリの力も含まれる。これらは本稿では論じない。振動エネルギーは変位座標で表され、これは6つの外部モード（つまり d A が6つの線形関係を満たす）によって影響を受けるため線形従属となる。振動エネルギーは、後述するように内部モードq r ( r =1, ..., 3 N -6)のみで表すことも 可能である。各モードは変位で表す。
q r = ∑ A j d A j ( q r j A ) s i = ∑ A j d A j ( M A δ i j ) = 0 s i + 3 = ∑ A j d A j ( M A ∑ k ϵ i k j R A k 0 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}q_{r}=\sum _{Aj}d_{Aj}&{\big (}q_{rj}^{A}{\big )}\\s_{i}=\sum _{Aj}d_{Aj}&{\big (}M_{A}\delta _{ij}{\big )}=0\\s_{i+3}=\sum _{Aj}d_{Aj}&{\big (}M_{A}\sum _{k}\epsilon _{ikj}R_{Ak}^{0}{\big )}=0\\\end{aligned}}} 括弧で囲まれた式は、内部モードと外部モードを変位に関連付ける 行列 Bを定義する。行列 Bは内部（3 N -6 x 3 N ）部分と外部（6 x 3 N ）部分に分割することができる 。
v ≡ ( q 1 ⋮ ⋮ q 3 N − 6 0 ⋮ 0 ) = ( B i n t ⋯ B e x t ) d ≡ B d . {\displaystyle \mathbf {v} \equiv {\begin{pmatrix}q_{1}\\\vdots \\\vdots \\q_{3N-6}\\0\\\vdots \\0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {B} ^{\mathrm {int} }\\\cdots \\\mathbf {B} ^{\mathrm {ext} }\\\end{pmatrix}}\mathbf {d} \equiv \mathbf {B} \mathbf {d} .} 行列 M を次のように
定義する。
M ≡ diag ( M 1 , M 2 , … , M N ) and M A ≡ diag ( M A , M A , M A ) {\displaystyle \mathbf {M} \equiv \operatorname {diag} (\mathbf {M} _{1},\mathbf {M} _{2},\ldots ,\mathbf {M} _{N})\quad {\textrm {and}}\quad \mathbf {M} _{A}\equiv \operatorname {diag} (M_{A},M_{A},M_{A})} 前のセクションで示した関係から、行列関係が導かれる。
B e x t M − 1 ( B e x t ) T = diag ( N 1 , … , N 6 ) ≡ N , {\displaystyle \mathbf {B} ^{\mathrm {ext} }\mathbf {M} ^{-1}(\mathbf {B} ^{\mathrm {ext} })^{\mathrm {T} }=\operatorname {diag} (N_{1},\ldots ,N_{6})\equiv \mathbf {N} ,} そして
B i n t M − 1 ( B e x t ) T = 0 . {\displaystyle \mathbf {B} ^{\mathrm {int} }\mathbf {M} ^{-1}(\mathbf {B} ^{\mathrm {ext} })^{\mathrm {T} }=\mathbf {0} .} 定義する
G ≡ B i n t M − 1 ( B i n t ) T . {\displaystyle \mathbf {G} \equiv \mathbf {B} ^{\mathrm {int} }\mathbf {M} ^{-1}(\mathbf {B} ^{\mathrm {int} })^{\mathrm {T} }.} ブロック行列の乗算の規則を用いると、次のことが分かる。
( B T ) − 1 M B − 1 = ( G − 1 0 0 N − 1 ) , {\displaystyle (\mathbf {B} ^{\mathrm {T} })^{-1}\mathbf {M} \mathbf {B} ^{-1}={\begin{pmatrix}\mathbf {G} ^{-1}&&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &&\mathbf {N} ^{-1}\end{pmatrix}},} ここで G −1は(3 N -6 x 3 N -6) 次元、 N −1 は(6 x 6)次元である。運動エネルギーは
2 T v i b = d ˙ T M d ˙ = v ˙ T ( B T ) − 1 M B − 1 v ˙ = ∑ r , r ′ = 1 3 N − 6 ( G − 1 ) r r ′ q ˙ r q ˙ r ′ {\displaystyle 2T_{\mathrm {vib} }={\dot {\mathbf {d} }}^{\mathrm {T} }\mathbf {M} {\dot {\mathbf {d} }}={\dot {\mathbf {v} }}^{\mathrm {T} }\;(\mathbf {B} ^{\mathrm {T} })^{-1}\mathbf {M} \mathbf {B} ^{-1}\;{\dot {\mathbf {v} }}=\sum _{r,r'=1}^{3N-6}(G^{-1})_{rr'}{\dot {q}}_{r}{\dot {q}}_{r'}} ここで、 v の最後の6つの成分は ゼロであると仮定しました。この振動の運動エネルギーの形はウィルソンの GF法 に当てはまります。調和近似における位置エネルギーは次のように書けることを指摘しておくと興味深いでしょう。
2 V h a r m = d T H d = v T ( B T ) − 1 H B − 1 v = ∑ r , r ′ = 1 3 N − 6 F r r ′ q r q r ′ , {\displaystyle 2V_{\mathrm {harm} }=\mathbf {d} ^{\mathrm {T} }\mathbf {H} \mathbf {d} =\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }(\mathbf {B} ^{\mathrm {T} })^{-1}\mathbf {H} \mathbf {B} ^{-1}\mathbf {v} =\sum _{r,r'=1}^{3N-6}F_{rr'}q_{r}q_{r'},} ここで、 H は最小値におけるポテンシャルのヘッシアンであり 、この式で定義される Fは GF法 の F 行列です。
調和近似との関係 変位座標で表現される原子核振動問題の調和近似では、 一般化固有値問題を解く必要がある。
H C = M C Φ , {\displaystyle \mathbf {H} \mathbf {C} =\mathbf {M} \mathbf {C} {\boldsymbol {\Phi }},} ここで、 H はポテンシャルの2次導関数の 3 N × 3 N 対称行列です。H は 平衡状態における V の ヘッセ行列 です 。対角行列 M には対角線上の質量が含まれます。対角行列には固有値が含まれ、 C の列には 固有ベクトルが含まれます。 V ( R 1 , R 2 , … , R N ) {\displaystyle V(\mathbf {R} _{1},\mathbf {R} _{2},\ldots ,\mathbf {R} _{N})} R 1 0 , … , R N 0 {\displaystyle \mathbf {R} _{1}^{0},\ldots ,\mathbf {R} _{N}^{0}} Φ {\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}
すべての原子核の t にわたる同時並進運動に対する V の不変性は、ベクトル T = ( t , ..., t ) が H の核に含まれることを意味することが示される 。すべての原子核の s を中心とした微小回転に対する V の不変性から、ベクトル S = ( s x R 1 0 , ..., s x R N 0 ) も H の核に含まれることが示される 。
H ( t ⋮ t ) = ( 0 ⋮ 0 ) a n d H ( s × R 1 0 ⋮ s × R N 0 ) = ( 0 ⋮ 0 ) {\displaystyle \mathbf {H} {\begin{pmatrix}\mathbf {t} \\\vdots \\\mathbf {t} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {0} \\\vdots \\\mathbf {0} \end{pmatrix}}\quad \mathrm {and} \quad \mathbf {H} {\begin{pmatrix}\mathbf {s} \times \mathbf {R} _{1}^{0}\\\vdots \\\mathbf {s} \times \mathbf {R} _{N}^{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {0} \\\vdots \\\mathbf {0} \end{pmatrix}}} したがって、固有値ゼロに対応する C の 6 つの列が代数的に決定されます。（一般化固有値問題を数値的に解くと、一般に S と T の 6 つの線形独立な線形結合が見つかります）。固有値ゼロに対応する固有空間は少なくとも 6 次元です（他の固有値（ 力の定数 ）は基底状態の分子に対して決してゼロにならないため、多くの場合は正確に 6 次元です）。したがって、 T と S は 、それぞれ並進と回転という全体的な（外部の）動きに対応します。空間は均質（力なし）で等方性（トルクなし）であるため、 これらは ゼロエネルギー モードです。
この記事の定義によれば、非ゼロ周波数モードは R extの直交補数内にあるため、内部モードとなります 。C の「内部」（非ゼロ固有値）列と「外部」（ゼロ固有値）列に適用される 一般化直交性は、 エッカート条件と同等です。 C T M C = I {\displaystyle \mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\mathbf {M} \mathbf {C} =\mathbf {I} }
参考文献 ^ Eckart, C. (1935). 「回転軸と多原子分子に関するいくつかの研究」 (PDF) . Physical Review . 47 (7): 552– 558. Bibcode :1935PhRv...47..552E. doi :10.1103/PhysRev.47.552. ^ Louck, James D.; Galbraith, Harold W. (1976). 「エッカートベクトル、エッカートフレーム、そして多原子分子」 Rev. Mod. Phys . 48 (1): 69. Bibcode :1976RvMP...48...69L. doi :10.1103/RevModPhys.48.69. ^ PR BunkerとPer Jensen（1998）、 分子対称性と分光法 、第2版、NRCリサーチプレス、オタワ ISBN 9780660196282 [1] ^ Biedenharn, LC ; Louck, JD (1981). 量子物理学における角運動量 . 参考文献: Addison-Wesley. p. 535. ISBN 0201135078 。
さらに読む 古典的な作品は次のとおりです。
ウィルソン, EB; デキウス, JC; クロス, PC (1995) [1955]. 分子振動 . ニューヨーク: ドーバー. ISBN 048663941X 。 より高度な本は次のとおりです。
