区間交換変換

およびを用いた区間交換変換のグラフ（黒）。 青は から開始して生成された軌道 。 ${\displaystyle \lambda =(1/15,2/15,3/15,4/15,5/15)}$ ${\displaystyle \pi =(3,5,2,4,1)}$ ${\displaystyle 1/2}$

数学において、区間交換変換^{[ 1 ]}は、円周回転を一般化する力学系の一種である。位相空間は単位区間から構成され、この変換は区間を複数の部分区間に分割し、それらの部分区間を並べ替えることによって作用する。これは、多角形ビリヤードや面積保存フローの研究において自然に現れる。

正式な定義

とを上の順列とする。次を満たす正の実数のベクトル（部分区間の幅）を考える。 ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1.}$

次 のように、区間交換変換と呼ばれる写像をペアに関連付けて定義する。 ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }:[0,1]\rightarrow [0,1],}$ ${\displaystyle (\pi ,\lambda )}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle a_{i}=\sum _{1\leq j<i}\lambda _{j}\quad {\text{and}}\quad a'_{i}=\sum _{1\leq j<\pi (i)}\lambda _{\pi ^{-1}(j)}.}$

次に、 について定義する。 ${\displaystyle x\in [0,1]}$

${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }(x)=x-a_{i}+a'_{i}}$

が部分区間 内にある場合、 はの各部分区間に平行移動 を作用させ、位置の部分区間が位置 に移動するようにこれらの部分区間を再配置します。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a_{i},a_{i}+\lambda _{i})}$ ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ ${\displaystyle [a_{i},a_{i}+\lambda _{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \pi (i)}$

プロパティ

任意の区間交換変換は、ルベーグ測度を保存する からそれ自身への全単射である。これは有限個の点を除いて連続である。 ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ ${\displaystyle [0,1]}$

区間交換変換の逆もまた区間交換変換です。実際、これはすべての に対してとなる変換です。 ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ ${\displaystyle T_{\pi ^{-1},\lambda '}}$ ${\displaystyle \lambda '_{i}=\lambda _{\pi ^{-1}(i)}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

および（サイクル記法）の場合、区間の両端を結んで円を描くと、 は単なる円回転となります。ワイルの等分布定理によれば、長さが無理数であれば、 は一意にエルゴードとなります。大まかに言えば、これは の点の軌道が一様に均等に分布していることを意味します。一方、 が有理数 であれば、区間の各点は周期的となり、周期は の分母（最小項で表す）となります。 ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \pi =(12)}$ ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$

であり、が特定の非退化条件（つまり、となる整数は存在しない）を満たす場合、M.Keane の予想であり、 William A. Veech ^{[ 2 ]}とHoward Masur ^{[ 3 ]}に独立に帰結した深い定理により、単位単体におけるのほとんどすべての選択に対して、区間交換変換はここでも一意にエルゴード となることが主張されています。しかし、については の選択肢も存在するため、 はエルゴードではあるものの一意にエルゴードではないことになります。これらの場合でも、のエルゴード不変測度の数は有限であり、最大で です。 ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 0<k<n}$ ${\displaystyle \pi (\{1,\dots ,k\})=\{1,\dots ,k\}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \{(t_{1},\dots ,t_{n}):\sum t_{i}=1\}}$ ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle (\pi ,\lambda )}$ ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ ${\displaystyle n}$

区間写像の位相エントロピーはゼロである。^{[ 4 ]}

走行距離計

二項式オドメーター ${\displaystyle T}$

二項オドメーターは2回繰り返される。つまり ${\displaystyle T^{2}.}$

二項オドメーターを3回繰り返すと、 ${\displaystyle T^{3}.}$

二項式オドメーターは4回繰り返される。つまり ${\displaystyle T^{4}.}$

二項オドメーターは、可算数の区間の区間交換変換として理解できる。二項オドメーターは、最も簡単には次のように表される。

${\displaystyle T\left(1,\dots ,1,0,b_{k+1},b_{k+2},\dots \right)=\left(0,\dots ,0,1,b_{k+1},b_{k+2},\dots \right)}$

カントール空間 上で定義される。カントール空間から単位区間への標準的な写像は次のように与えられる。 ${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {N} }.}$

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\cdots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}2^{-n-1}}$

この写像は、カントール集合から単位区間への測度保存準同型写像であり、カントール集合上の標準ベルヌーイ測度を単位区間上のルベーグ測度に写すものである。オドメーターとその最初の3回の反復の視覚化が右側に示されている。

高次元

2次元以上の一般化には、多角形交換、多面体交換、区分等長変換などが含まれる。^{[ 5 ]}

参照

• オドメーター

注記

1. Keane、Michael (1975)、「区間交換変換」、数学ツァイツシュリフト、141 : 25–31、doi : 10.1007/BF01236981、MR  0357739。
2. Veech, William A. (1982)、「区間交換写像空間上の変換に対するガウス測度」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、115 (1): 201– 242、doi : 10.2307/1971391、MR 0644019 。
3. マズール、ハワード（1982）、「区間交換変換と測定葉脈形成」、数学年報、第2シリーズ、115（1）：169–200、doi：10.2307/1971341、MR 0644018 。
4. マシュー・ニコルとカール・ピーターセン（2009）「エルゴード理論：基本的な例と構成」 複雑性とシステム科学百科事典、シュプリンガーhttps://doi.org/10.1007/978-0-387-30440-3_177
5. 区分的等長変換 - 動的システムの新たな領域Archived 2011-07-20 at the Wayback Machine , Arek Goetz

参考文献

• Artur Avila と Giovanni Forni、「区間交換変換と変換フローの弱混合」、arXiv:math/0406326v1、https://arxiv.org/abs/math.DS/0406326

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