Probability distribution
統計学 において 、 逆ウィシャート分布（ 逆ウィシャート分布 とも呼ばれる）は、 実数値 正定値 行列上に定義される 確率分布 である 。 ベイズ統計学では 、多変量正規 分布の共分散行列の 共役事前分布 として用いられる 。
逆ウィシャート分布 がウィシャート分布 に従うとき、 は と表記される 逆 ウィシャート 分布 に 従うという 。逆ウィシャート分布については重要な恒等式が導出されている。 [2] X {\displaystyle \mathbf {X} } X ∼ W − 1 ( Ψ , ν ) {\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {W}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu )} X − 1 {\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}} W ( Ψ − 1 , ν ) {\displaystyle {\mathcal {W}}(\mathbf {\Psi } ^{-1},\nu )}
密度 逆ウィシャートの確率密度関数は次の通りである: [ 3 ]
f X ( X ; Ψ , ν ) = | Ψ | ν / 2 2 ν p / 2 Γ p ( ν 2 ) | X | − ( ν + p + 1 ) / 2 e − 1 2 tr ( Ψ X − 1 ) {\displaystyle f_{\mathbf {X} }({\mathbf {X} };{\mathbf {\Psi } },\nu )={\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{\nu /2}}{2^{\nu p/2}\Gamma _{p}({\frac {\nu }{2}})}}\left|\mathbf {X} \right|^{-(\nu +p+1)/2}e^{-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\mathbf {\Psi } \mathbf {X} ^{-1})}} ここで 、 と は 正定値 行列、 は行列式、は 多変数ガンマ関数 です 。 X {\displaystyle \mathbf {X} } Ψ {\displaystyle {\mathbf {\Psi } }} p × p {\displaystyle p\times p} | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} Γ p ( ⋅ ) {\displaystyle \Gamma _{p}(\cdot )}
定理
ウィシャート分布行列の逆行列の分布 との 大きさが の 場合 、 逆ウィシャート分布 に従う 。 [4] X ∼ W ( Σ , ν ) {\displaystyle {\mathbf {X} }\sim {\mathcal {W}}({\mathbf {\Sigma } },\nu )} Σ {\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }} p × p {\displaystyle p\times p} A = X − 1 {\displaystyle \mathbf {A} ={\mathbf {X} }^{-1}} A ∼ W − 1 ( Σ − 1 , ν ) {\displaystyle \mathbf {A} \sim {\mathcal {W}}^{-1}({\mathbf {\Sigma } }^{-1},\nu )}
逆ウィシャート分布行列からの周辺分布と条件付き分布 逆ウィシャート分布に従うと仮定する 。行列を 互いに 適合 するように分割する。 A ∼ W − 1 ( Ψ , ν ) {\displaystyle {\mathbf {A} }\sim {\mathcal {W}}^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu )} A {\displaystyle {\mathbf {A} }} Ψ {\displaystyle {\mathbf {\Psi } }}
A = [ A 11 A 12 A 21 A 22 ] , Ψ = [ Ψ 11 Ψ 12 Ψ 21 Ψ 22 ] {\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{bmatrix}},\;{\mathbf {\Psi } }={\begin{bmatrix}\mathbf {\Psi } _{11}&\mathbf {\Psi } _{12}\\\mathbf {\Psi } _{21}&\mathbf {\Psi } _{22}\end{bmatrix}}} ここで 、と が 行列である場合、 A i j {\displaystyle {\mathbf {A} _{ij}}} Ψ i j {\displaystyle {\mathbf {\Psi } _{ij}}} p i × p j {\displaystyle p_{i}\times p_{j}}
A 11 {\displaystyle \mathbf {A} _{11}} はおよびと 独立であり 、 は における の シュアー補数 である 。 A 11 − 1 A 12 {\displaystyle \mathbf {A} _{11}^{-1}\mathbf {A} _{12}} A 22 ⋅ 1 {\displaystyle {\mathbf {A} }_{22\cdot 1}} A 22 ⋅ 1 = A 22 − A 21 A 11 − 1 A 12 {\displaystyle {\mathbf {A} _{22\cdot 1}}={\mathbf {A} }_{22}-{\mathbf {A} }_{21}{\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}} A 11 {\displaystyle {\mathbf {A} _{11}}} A {\displaystyle {\mathbf {A} }} A 11 ∼ W − 1 ( Ψ 11 , ν − p 2 ) {\displaystyle {\mathbf {A} _{11}}\sim {\mathcal {W}}^{-1}({\mathbf {\Psi } _{11}},\nu -p_{2})} ; A 11 − 1 A 12 ∣ A 22 ⋅ 1 ∼ M N p 1 × p 2 ( Ψ 11 − 1 Ψ 12 , A 22 ⋅ 1 ⊗ Ψ 11 − 1 ) {\displaystyle {\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}\mid {\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\sim MN_{p_{1}\times p_{2}}({\mathbf {\Psi } }_{11}^{-1}{\mathbf {\Psi } }_{12},{\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\otimes {\mathbf {\Psi } }_{11}^{-1})} ここで、 は 行列正規分布 です。 M N p × q ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle MN_{p\times q}(\cdot ,\cdot )} A 22 ⋅ 1 ∼ W − 1 ( Ψ 22 ⋅ 1 , ν ) {\displaystyle {\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\sim {\mathcal {W}}^{-1}({\mathbf {\Psi } }_{22\cdot 1},\nu )} 、 どこ ; Ψ 22 ⋅ 1 = Ψ 22 − Ψ 21 Ψ 11 − 1 Ψ 12 {\displaystyle {\mathbf {\Psi } _{22\cdot 1}}={\mathbf {\Psi } }_{22}-{\mathbf {\Psi } }_{21}{\mathbf {\Psi } }_{11}^{-1}{\mathbf {\Psi } }_{12}}
共役分布 事前 分布が分布に従う 共 分散行列について推論したいとします 。観測値が分布 から抽出された独立p変量ガウス変数である場合 、条件付き分布は 分布 に従います 。ここで、 です 。 Σ {\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }} p ( Σ ) {\displaystyle {p(\mathbf {\Sigma } )}} W − 1 ( Ψ , ν ) {\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu )} X = [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}]} N ( 0 , Σ ) {\displaystyle N(\mathbf {0} ,{\mathbf {\Sigma } })} p ( Σ ∣ X ) {\displaystyle {p(\mathbf {\Sigma } \mid \mathbf {X} )}} W − 1 ( A + Ψ , n + ν ) {\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}({\mathbf {A} }+{\mathbf {\Psi } },n+\nu )} A = X X T {\displaystyle {\mathbf {A} }=\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}}
事前分布と事後分布は同じ族であるため、逆ウィシャート分布は 多変量ガウス分布と 共役であると言えます。
多変数ガウス分布との共役性により、 式 と線形代数の恒等式を使用して、ガウス分布のパラメータを 周辺化 （積分）することができます 。 Σ {\displaystyle \mathbf {\Sigma } } p ( x ) = p ( x | Σ ) p ( Σ ) p ( Σ | x ) {\displaystyle p(x)={\frac {p(x|\Sigma )p(\Sigma )}{p(\Sigma |x)}}} v T Ω v = tr ( Ω v v T ) {\displaystyle v^{T}\Omega v={\text{tr}}(\Omega vv^{T})}
f X ∣ Ψ , ν ( x ) = ∫ f X ∣ Σ = σ ( x ) f Σ ∣ Ψ , ν ( σ ) d σ = | Ψ | ν / 2 Γ p ( ν + n 2 ) π n p / 2 | Ψ + A | ( ν + n ) / 2 Γ p ( ν 2 ) {\displaystyle f_{\mathbf {X} \,\mid \,\Psi ,\nu }(\mathbf {x} )=\int f_{\mathbf {X} \,\mid \,\mathbf {\Sigma } \,=\,\sigma }(\mathbf {x} )f_{\mathbf {\Sigma } \,\mid \,\mathbf {\Psi } ,\nu }(\sigma )\,d\sigma ={\frac {|\mathbf {\Psi } |^{\nu /2}\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +n}{2}}\right)}{\pi ^{np/2}|\mathbf {\Psi } +\mathbf {A} |^{(\nu +n)/2}\Gamma _{p}({\frac {\nu }{2}})}}} （これは、分散行列は 実際には分からないが、 事前に 分かっており 、 データから得ることができるため、右辺を直接評価することができるので有用である）。逆ウィシャート分布を事前分布として、既存の転移 事前知識 を介して構築することができる。 [5] Σ {\displaystyle \mathbf {\Sigma } } Ψ {\displaystyle {\mathbf {\Psi } }} A {\displaystyle {\mathbf {A} }}
瞬間 以下は、Press, SJ (1982)「Applied Multivariate Analysis」、第 2 版 (Dover Publications、ニューヨーク) に基づいています。自由度を再パラメータ化して、上記の PDF 定義と一致するようにしています。
とを とする と 、 となります 。 W ∼ W ( Ψ − 1 , ν ) {\displaystyle W\sim {\mathcal {W}}(\mathbf {\Psi } ^{-1},\nu )} ν ≥ p {\displaystyle \nu \geq p} X ≐ W − 1 {\displaystyle X\doteq W^{-1}} X ∼ W − 1 ( Ψ , ν ) {\displaystyle X\sim {\mathcal {W}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu )}
平均は、 : [4] : 91 ν ≥ p + 2 {\displaystyle \nu \geq p+2}
E ( X ) = Ψ ν − p − 1 . {\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {X} )={\frac {\mathbf {\Psi } }{\nu -p-1}}.} の各要素の分散 : X {\displaystyle \mathbf {X} }
Var ( x i j ) = ( ν − p + 1 ) ψ i j 2 + ( ν − p − 1 ) ψ i i ψ j j ( ν − p ) ( ν − p − 1 ) 2 ( ν − p − 3 ) {\displaystyle \operatorname {Var} (x_{ij})={\frac {(\nu -p+1)\psi _{ij}^{2}+(\nu -p-1)\psi _{ii}\psi _{jj}}{(\nu -p)(\nu -p-1)^{2}(\nu -p-3)}}} 対角線の分散には、上と同じ式が使用されますが 、これは次のように簡略化されます。 i = j {\displaystyle i=j}
Var ( x i i ) = 2 ψ i i 2 ( ν − p − 1 ) 2 ( ν − p − 3 ) . {\displaystyle \operatorname {Var} (x_{ii})={\frac {2\psi _{ii}^{2}}{(\nu -p-1)^{2}(\nu -p-3)}}.} の要素の共分散は 次のように与えられます。 X {\displaystyle \mathbf {X} }
Cov ( x i j , x k ℓ ) = 2 ψ i j ψ k ℓ + ( ν − p − 1 ) ( ψ i k ψ j ℓ + ψ i ℓ ψ k j ) ( ν − p ) ( ν − p − 1 ) 2 ( ν − p − 3 ) {\displaystyle \operatorname {Cov} (x_{ij},x_{k\ell })={\frac {2\psi _{ij}\psi _{k\ell }+(\nu -p-1)(\psi _{ik}\psi _{j\ell }+\psi _{i\ell }\psi _{kj})}{(\nu -p)(\nu -p-1)^{2}(\nu -p-3)}}} 同じ結果はフォン・ローゼン [6] によってクロネッカー積の形で次のように表現されている。
E ( W − 1 ⊗ W − 1 ) = c 1 Ψ ⊗ Ψ + c 2 V e c ( Ψ ) V e c ( Ψ ) T + c 2 K p p Ψ ⊗ Ψ C o v ⊗ ( W − 1 , W − 1 ) = ( c 1 − c 3 ) Ψ ⊗ Ψ + c 2 V e c ( Ψ ) V e c ( Ψ ) T + c 2 K p p Ψ ⊗ Ψ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} \left(W^{-1}\otimes W^{-1}\right)&=c_{1}\Psi \otimes \Psi +c_{2}Vec(\Psi )Vec(\Psi )^{T}+c_{2}K_{pp}\Psi \otimes \Psi \\\mathbf {Cov} _{\otimes }\left(W^{-1},W^{-1}\right)&=(c_{1}-c_{3})\Psi \otimes \Psi +c_{2}Vec(\Psi )Vec(\Psi )^{T}+c_{2}K_{pp}\Psi \otimes \Psi \end{aligned}}} どこ
c 2 = [ ( ν − p ) ( ν − p − 1 ) ( ν − p − 3 ) ] − 1 c 1 = ( ν − p − 2 ) c 2 c 3 = ( ν − p − 1 ) − 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}&=\left[(\nu -p)(\nu -p-1)(\nu -p-3)\right]^{-1}\\c_{1}&=(\nu -p-2)c_{2}\\c_{3}&=(\nu -p-1)^{-2},\end{aligned}}} K p p is a p 2 × p 2 {\displaystyle K_{pp}{\text{ is a }}p^{2}\times p^{2}} 交換行列 C o v ⊗ ( W − 1 , W − 1 ) = E ( W − 1 ⊗ W − 1 ) − E ( W − 1 ) ⊗ E ( W − 1 ) . {\displaystyle \mathbf {Cov} _{\otimes }\left(W^{-1},W^{-1}\right)=\mathbf {E} \left(W^{-1}\otimes W^{-1}\right)-\mathbf {E} \left(W^{-1}\right)\otimes \mathbf {E} \left(W^{-1}\right).} 論文には誤植があるようで、係数は ではなく と与えられており 、平均二乗逆ウィシャートの系3.1の表現は次のようにすべきである。 K p p Ψ ⊗ Ψ {\displaystyle K_{pp}\Psi \otimes \Psi } c 1 {\displaystyle c_{1}} c 2 {\displaystyle c_{2}}
E [ W − 1 W − 1 ] = ( c 1 + c 2 ) Σ − 1 Σ − 1 + c 2 Σ − 1 t r ( Σ − 1 ) . {\displaystyle \mathbf {E} \left[W^{-1}W^{-1}\right]=(c_{1}+c_{2})\Sigma ^{-1}\Sigma ^{-1}+c_{2}\Sigma ^{-1}\mathbf {tr} (\Sigma ^{-1}).} 共分散が対角の場合に相互作用項がどのようにスパースになるかを示すために、 任意のパラメータを導入します 。 Ψ = I 3 × 3 {\displaystyle \Psi =\mathbf {I} _{3\times 3}} u , v , w {\displaystyle u,v,w}
E ( W − 1 ⊗ W − 1 ) = u Ψ ⊗ Ψ + v v e c ( Ψ ) v e c ( Ψ ) T + w K p p Ψ ⊗ Ψ . {\displaystyle \mathbf {E} \left(W^{-1}\otimes W^{-1}\right)=u\Psi \otimes \Psi +v\,\mathrm {vec} (\Psi )\,\mathrm {vec} (\Psi )^{T}+wK_{pp}\Psi \otimes \Psi .} ここで は 行列 ベクトル化 演算子を表す。すると、2次モーメント行列は v e c {\displaystyle \mathrm {vec} }
E ( W − 1 ⊗ W − 1 ) = [ u + v + w ⋅ ⋅ ⋅ v ⋅ ⋅ ⋅ v ⋅ u ⋅ w ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ u ⋅ ⋅ ⋅ w ⋅ ⋅ ⋅ w ⋅ u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ v ⋅ ⋅ ⋅ u + v + w ⋅ ⋅ ⋅ v ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ u ⋅ w ⋅ ⋅ ⋅ w ⋅ ⋅ ⋅ u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ w ⋅ u ⋅ v ⋅ ⋅ ⋅ v ⋅ ⋅ ⋅ u + v + w ] {\displaystyle \mathbf {E} \left(W^{-1}\otimes W^{-1}\right)={\begin{bmatrix}u+v+w&\cdot &\cdot &\cdot &v&\cdot &\cdot &\cdot &v\\\cdot &u&\cdot &w&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &u&\cdot &\cdot &\cdot &w&\cdot &\cdot \\\cdot &w&\cdot &u&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\v&\cdot &\cdot &\cdot &u+v+w&\cdot &\cdot &\cdot &v\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &u&\cdot &w&\cdot \\\cdot &\cdot &w&\cdot &\cdot &\cdot &u&\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &w&\cdot &u&\cdot \\v&\cdot &\cdot &\cdot &v&\cdot &\cdot &\cdot &u+v+w\\\end{bmatrix}}} これは、の対角要素の相関を含む場合にのみ非ゼロとなり、他のすべての要素は互いに無相関であるが、必ずしも統計的に独立ではない。ウィシャート積の分散は、特異値の場合、そして拡張してフルランクの場合にも、Cook et al. [7] によって求められて いる。 W − 1 {\displaystyle W^{-1}}
ミュアヘッド [8] は定理3.2.8において、が として分布し、が と に独立な任意のベクトルである場合、後者における標本平均の推定によって自由度が1つ放棄されることを示している 。 同様 に 、 ボドナー らはさらに、 と を 主対角要素の周辺分布 と設定すると、となることを明らかにしている。 A p × p {\displaystyle A^{p\times p}} W p ( ν , Σ ) {\displaystyle {\mathcal {W}}_{p}(\nu ,\Sigma )} V {\displaystyle V} A {\displaystyle A} V T A V ∼ W 1 ( ν , A T Σ A ) {\displaystyle V^{T}AV\sim {\mathcal {W}}_{1}(\nu ,A^{T}\Sigma A)} V T A V V T Σ V ∼ χ ν − 1 2 {\displaystyle {\frac {V^{T}AV}{V^{T}\Sigma V}}\sim \chi _{\nu -1}^{2}} V T A − 1 V V T Σ − 1 V ∼ Inv- χ ν − p + 1 2 {\displaystyle {\frac {V^{T}A^{-1}V}{V^{T}\Sigma ^{-1}V}}\sim {\text{Inv-}}\chi _{\nu -p+1}^{2}} V = ( 1 , 0 , ⋯ , 0 ) T {\displaystyle V=(1,\,0,\cdots ,0)^{T}}
[ A − 1 ] 1 , 1 [ Σ − 1 ] 1 , 1 ∼ 2 − k / 2 Γ ( k / 2 ) x − k / 2 − 1 e − 1 / ( 2 x ) , k = ν − p + 1 {\displaystyle {\frac {[A^{-1}]_{1,1}}{[\Sigma ^{-1}]_{1,1}}}\sim {\frac {2^{-k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{-k/2-1}e^{-1/(2x)},\;\;k=\nu -p+1} そして、 端を回転させることで、同様の結果がすべての対角要素に適用されます 。 V {\displaystyle V} [ A − 1 ] i , i {\displaystyle [A^{-1}]_{i,i}}
複素ウィシャートの場合の対応する結果はブレナンとリード [9] によって示され、無相関の逆複素ウィシャートは シャーマン [10] によって、主対角要素が相関しているが他のすべての要素は無相関である対角統計構造を持つことが示されました。 W C − 1 ( I , ν , p ) {\displaystyle {\mathcal {W_{C}}}^{-1}(\mathbf {I} ,\nu ,p)}
逆ウィシャート分布の一変量特殊化は逆ガンマ分布である 。 （ すなわち 一変 量）およびとすると 、 逆 ウィシャート分布の確率密度関数は行列と なる 。 p = 1 {\displaystyle p=1} α = ν / 2 {\displaystyle \alpha =\nu /2} β = Ψ / 2 {\displaystyle \beta =\mathbf {\Psi } /2} x = X {\displaystyle x=\mathbf {X} } p ( x ∣ α , β ) = β α x − α − 1 exp ( − β / x ) Γ 1 ( α ) . {\displaystyle p(x\mid \alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }\,x^{-\alpha -1}\exp(-\beta /x)}{\Gamma _{1}(\alpha )}}.} つまり、逆ガンマ分布であり、 は通常の ガンマ関数 です。 Γ 1 ( ⋅ ) {\displaystyle \Gamma _{1}(\cdot )} 逆ウィシャート分布は、 形状パラメータ と尺度パラメータがの場合の 逆行列ガンマ分布 の特殊なケースです。 α = ν 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {\nu }{2}}} β = 2 {\displaystyle \beta =2} もう1つの一般化は、一般化逆ウィシャート分布と呼ばれる 。 正定値行列は、 が のように分布する 場合、 の ように分布すると言われる 。ここで、 は 対称行列の平方根を表し 、パラメータは正定値行列 であり 、パラメータは より大きい正のスカラーである。 が単位行列に等しい 場合、 となることに注意されたい 。この一般化逆ウィシャート分布は、多変量自己回帰過程の分布の推定に適用されている。 [11] G W − 1 {\displaystyle {\mathcal {GW}}^{-1}} p × p {\displaystyle p\times p} X {\displaystyle \mathbf {X} } G W − 1 ( Ψ , ν , S ) {\displaystyle {\mathcal {GW}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu ,\mathbf {S} )} Y = X 1 / 2 S − 1 X 1 / 2 {\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} ^{1/2}\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {X} ^{1/2}} W − 1 ( Ψ , ν ) {\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu )} X 1 / 2 {\displaystyle \mathbf {X} ^{1/2}} X {\displaystyle \mathbf {X} } Ψ , S {\displaystyle \mathbf {\Psi } ,\mathbf {S} } p × p {\displaystyle p\times p} ν {\displaystyle \nu } 2 p {\displaystyle 2p} S {\displaystyle \mathbf {S} } G W − 1 ( Ψ , ν , S ) = W − 1 ( Ψ , ν ) {\displaystyle {\mathcal {GW}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu ,\mathbf {S} )={\mathcal {W}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu )} 別の種類の一般化は、 正規逆ウィシャート分布であり、基本的には 多変量正規分布 と逆ウィシャート分布 の積です。 スケール行列が単位行列、 が 任意の直交行列の とき、 を で置き換えても の pdf は変化しないため 、 ある意味では球面不変ランダムプロセス (SIRP) の族に属します。 [ 説明が必要 ] Ψ = I {\displaystyle {\mathcal {\Psi }}=\mathbf {I} } Φ {\displaystyle {\mathcal {\Phi }}} X {\displaystyle \mathbf {X} } Φ X Φ T {\displaystyle {\Phi }\mathbf {X} {\mathcal {\Phi }}^{T}} X {\displaystyle \mathbf {X} } W − 1 ( I , ν , p ) {\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}(\mathbf {I} ,\nu ,p)} したがって、 長さ の任意の pベクトルは 、 の確率 密度関数（pdf）を変えることなく のベクトルに回転することができ 、さらに は 対角要素を交換する置換行列となり得る。したがって、 の対角要素は、前節の確率密度関数 （pdf）と同様に、互いに独立ではないものの、同一の逆カイ二乗分布に従う。この結果は、最適ポートフォリオ統計において、Bodnarら [12] の定理2系1で知られており、 そこでは逆形式 で表される 。 V {\displaystyle V} l 2 {\displaystyle l_{2}} V T V = 1 {\displaystyle V^{T}V=1} Φ V = [ 1 0 0 ⋯ ] T {\displaystyle \mathbf {\Phi } V=[1\;0\;0\cdots ]^{T}} V T X V {\displaystyle V^{T}\mathbf {X} V} Φ {\displaystyle \mathbf {\Phi } } X {\displaystyle \mathbf {X} } f x 11 {\displaystyle f_{x_{11}}} V T Ψ V V T X V ∼ χ ν − p + 1 2 {\displaystyle {\frac {V^{T}\mathbf {\Psi } V}{V^{T}\mathbf {X} V}}\sim \chi _{\nu -p+1}^{2}} ウィシャート分布 の場合と同様に、 分布の線形変換は修正逆ウィシャート分布を与える。 とが フルランク行列である場合、 [13] X p × p ∼ W p − 1 ( Ψ , ν ) . {\displaystyle \mathbf {X^{p\times p}} \sim {\mathcal {W}}_{p}^{-1}\left({\mathbf {\Psi } },\nu \right).} Θ p × p {\displaystyle {\mathbf {\Theta } }^{p\times p}} Θ X Θ T ∼ W p − 1 ( Θ Ψ Θ T , ν ) . {\displaystyle \mathbf {\Theta } \mathbf {X} {\mathbf {\Theta } }^{T}\sim {\mathcal {W}}_{p}^{-1}\left({\mathbf {\Theta } }{\mathbf {\Psi } }{\mathbf {\Theta } }^{T},\nu \right).} と が フルランクの 場合 、 [13] X p × p ∼ W p − 1 ( Ψ , ν ) . {\displaystyle \mathbf {X^{p\times p}} \sim {\mathcal {W}}_{p}^{-1}\left({\mathbf {\Psi } },\nu \right).} Θ m × p {\displaystyle {\mathbf {\Theta } }^{m\times p}} m × p , m < p {\displaystyle m\times p,\;\;m<p} m {\displaystyle m} Θ X Θ T ∼ W m − 1 ( Θ Ψ Θ T , ν ) . {\displaystyle \mathbf {\Theta } \mathbf {X} {\mathbf {\Theta } }^{T}\sim {\mathcal {W}}_{m}^{-1}\left({\mathbf {\Theta } }{\mathbf {\Psi } }{\mathbf {\Theta } }^{T},\nu \right).}
参照
参考文献 ^ A. O'Hagan、JJ Forster (2004). Kendall's Advanced Theory of Statistics: Bayesian Inference . Vol. 2B (第2版). Arnold. ISBN 978-0-340-80752-1 。 ^ Haff, LR (1979). 「ウィシャート分布の恒等式とその応用」. 多変量解析ジャーナル . 9 (4): 531– 544. doi :10.1016/0047-259x(79)90056-3. ^ ゲルマン, アンドリュー; カーリン, ジョン・B.; スターン, ハル・S.; ダンソン, デイビッド・B.; ベタリ, アキ; ルービン, ドナルド・B. (2013年11月1日). ベイズデータ分析 第 3版. ボカラトン: チャップマン・アンド・ホール/CRC. ISBN 9781439840955 。 ^ ab Kanti V. Mardia 、JT Kent、JM Bibby (1979). 多変量解析 . アカデミック・プレス . ISBN 978-0-12-471250-8 。 ^ Shahrokh Esfahani, Mohammad; Dougherty, Edward (2014). 「最適ベイズ分類のための事前分布構築における生物学的経路知識の組み込み」 IEEE/ACM Transactions on Computational Biology and Bioinformatics . 11 (1): 202– 218. doi :10.1109/tcbb.2013.143. PMID 26355519. S2CID 10096507. ^ Rosen, Dietrich von (1988). 「逆ウィシャート分布のモーメント」. Scand. J. Stat . 15 : 97–109 . ^ Cook, RD; Forzani, Liliana (2019年8月). Cook, Brian ( 編). 「特異ウィシャート行列の一般化逆行列の平均と分散について」. Electronic Journal of Statistics . 5. doi :10.4324/9780429344633. ISBN 9780429344633 . S2CID 146200569。 ^ ミュアヘッド、ロブ (1982). 多変量統計理論の諸相 . 米国: ワイリー. p. 93. ISBN 0-471-76985-1 。 ^ Brennan, LE; Reed, IS (1982年1月). 「通信のためのアダプティブアレイ信号処理アルゴリズム」. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems . 18 (1): 120– 130. Bibcode :1982ITAES..18..124B. doi :10.1109/TAES.1982.309212. S2CID 45721922. ^ シャーマン、ポール (1980). 「逆複素ウィシャート分布とそのスペクトル推定への応用」 (PDF) . 多変量解析ジャーナル . 10 : 51–59 . doi :10.1016/0047-259X(80)90081-0. ^ Triantafyllopoulos, K. (2011). 「局所レベルモデルのためのリアルタイム共分散推定」. Journal of Time Series Analysis . 32 (2): 93– 107. arXiv : 1311.0634 . doi :10.1111/j.1467-9892.2010.00686.x. S2CID 88512953. ^ Bodnar, T.; Mazur, S.; Podgórski, K. (2015年1月). 「特異逆ウィシャート分布とポートフォリオ理論への応用」. ルンド大学統計学部 . (統計ワーキングペーパー第2号): 1–17 . ^ ab Bodnar, T; Mazur, S; Podgorski, K (2015). 「特異逆ウィシャート分布とポートフォリオ理論への応用」 . Journal of Multivariate Analysis . 143 : 314– 326. doi :10.1016/j.jmva.2015.09.021.
離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75115177c99d2884ec80cdacf66d2cf69caed817)
![{\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}&=\left[(\nu -p)(\nu -p-1)(\nu -p-3)\right]^{-1}\\c_{1}&=(\nu -p-2)c_{2}\\c_{3}&=(\nu -p-1)^{-2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4df0a39589293ddf4418b75da91da88b0023b06)
![{\displaystyle \mathbf {E} \left[W^{-1}W^{-1}\right]=(c_{1}+c_{2})\Sigma ^{-1}\Sigma ^{-1}+c_{2}\Sigma ^{-1}\mathbf {tr} (\Sigma ^{-1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7491beb9f835af410859020c015b0b787ec30c9)
![{\displaystyle {\frac {[A^{-1}]_{1,1}}{[\Sigma ^{-1}]_{1,1}}}\sim {\frac {2^{-k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{-k/2-1}e^{-1/(2x)},\;\;k=\nu -p+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc4301c2da69a196a7231328b5365db6a7c355e)
![{\displaystyle [A^{-1}]_{i,i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c4e1d9ac563dec2d9488310089b0ec7911fd11)
![{\displaystyle \mathbf {\Phi } V=[1\;0\;0\cdots ]^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c13b0e1177a668e7b24ca923444930282c9c58b)
