正規逆ガンマ分布

Family of multivariate continuous probability distributions

正規逆ガンマ
確率密度関数
パラメータ	${\displaystyle \mu \,}$ 場所（実際）（実際）（実際）（実際） ${\displaystyle \lambda >0\,}$ ${\displaystyle \alpha >0\,}$ ${\displaystyle \beta >0\,}$
サポート	${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )\,\!,\;\sigma ^{2}\in (0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha +1}\exp \left(-{\frac {2\beta +\lambda (x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
平均	${\displaystyle \operatorname {E} [x]=\mu }$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\sigma ^{2}]={\frac {\beta }{\alpha -1}}}$、 のために ${\displaystyle \alpha >1}$
モード	${\displaystyle x=\mu \;{\textrm {(univariate)}},x={\boldsymbol {\mu }}\;{\textrm {(multivariate)}}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\beta }{\alpha +1+1/2}}\;{\textrm {(univariate)}},\sigma ^{2}={\frac {\beta }{\alpha +1+k/2}}\;{\textrm {(multivariate)}}}$
分散	${\displaystyle \operatorname {Var} [x]={\frac {\beta }{(\alpha -1)\lambda }}}$、のために、のために ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [\sigma ^{2}]={\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}}$ ${\displaystyle \alpha >2}$ ${\displaystyle \operatorname {Cov} [x,\sigma ^{2}]=0}$、 のために ${\displaystyle \alpha >1}$

確率論および統計学において、正規逆ガンマ分布（またはガウス逆ガンマ分布）は、4パラメータの多変量連続確率分布族の一種である。これは、平均と分散が未知の正規分布の共役事前分布である。

意味

仮定する

${\displaystyle x\mid \sigma ^{2},\mu ,\lambda \sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2}/\lambda )\,\!}$

は平均と分散 の正規分布に従う。ここで ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}/\lambda }$

${\displaystyle \sigma ^{2}\mid \alpha ,\beta \sim \Gamma ^{-1}(\alpha ,\beta )\!}$

は逆ガンマ分布に従う。そして、 は正規逆ガンマ分布に従う。これは ${\displaystyle (x,\sigma ^{2})}$

${\displaystyle (x,\sigma ^{2})\sim {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(\mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )\!.}$

（の代わりにも使われます） ${\displaystyle {\text{NIG}}}$ ${\displaystyle {\text{N-}}\Gamma ^{-1}.}$

正規逆ウィシャート分布は、多変量ランダム変数に対して定義される正規逆ガンマ分布の一般化です。

キャラクター設定

確率密度関数

${\displaystyle f(x,\sigma ^{2}\mid \mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )={\frac {\sqrt {\lambda }}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha +1}\exp \left(-{\frac {2\beta +\lambda (x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$

多変数形式（ここではランダムベクトル）の場合、 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle k\times 1}$

${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\sigma ^{2}\mid \mu ,\mathbf {V} ^{-1},\alpha ,\beta )=|\mathbf {V} |^{-1/2}{(2\pi )^{-k/2}}\,{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha +1+k/2}\exp \left(-{\frac {2\beta +(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{T}\mathbf {V} ^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})}{2\sigma ^{2}}}\right).}$

ここでは行列の行列式です。がスカラーのとき、この最後の式が最初の形に簡約されることに注意してください。 ${\displaystyle |\mathbf {V} |}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {V} ,{\boldsymbol {\mu }}}$

代替パラメータ化

pdfが次のようになるようにすることも可能です。 ${\displaystyle \gamma =1/\lambda }$

${\displaystyle f(x,\sigma ^{2}\mid \mu ,\gamma ,\alpha ,\beta )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi \gamma }}}}\,{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha +1}\exp \left(-{\frac {2\gamma \beta +(x-\mu )^{2}}{2\gamma \sigma ^{2}}}\right)}$

多変量形式では、対応する変更は、共分散行列の逆行列ではなく共分散行列をパラメータとして扱うことです。 ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {V} ^{-1}}$

累積分布関数

${\displaystyle F(x,\sigma ^{2}\mid \mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )={\frac {e^{-{\frac {\beta }{\sigma ^{2}}}}\left({\frac {\beta }{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha }\left(\operatorname {erf} \left({\frac {{\sqrt {\lambda }}(x-\mu )}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)+1\right)}{2\sigma ^{2}\Gamma (\alpha )}}}$

プロパティ

周辺分布

上記のように与えられると、それ自体は逆ガンマ分布に従います。 ${\displaystyle (x,\sigma ^{2})\sim {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(\mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )\!.}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}\sim \Gamma ^{-1}(\alpha ,\beta )\!}$

一方、自由度を持つt分布に従います。 ^[1] ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\alpha \lambda }{\beta }}}(x-\mu )}$ ${\displaystyle 2\alpha }$

証明 ${\displaystyle \lambda =1}$

確率密度関数は ${\displaystyle \lambda =1}$

${\displaystyle f(x,\sigma ^{2}\mid \mu ,\alpha ,\beta )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha +1}\exp \left(-{\frac {2\beta +(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$

上の周辺分布は ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x\mid \mu ,\alpha ,\beta )&=\int _{0}^{\infty }d\sigma ^{2}f(x,\sigma ^{2}\mid \mu ,\alpha ,\beta )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }d\sigma ^{2}\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha +1/2+1}\exp \left(-{\frac {2\beta +(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

正規化係数を除けば、積分の下の表現は逆ガンマ分布と一致する。

${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x;a,b)={\frac {b^{a}}{\Gamma (a)}}{\frac {e^{-b/x}}{{x}^{a+1}}},}$

と、、。 ${\displaystyle x=\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle a=\alpha +1/2}$ ${\displaystyle b={\frac {2\beta +(x-\mu )^{2}}{2}}}$

、および ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }dx\Gamma ^{-1}(x;a,b)=1,\quad \int _{0}^{\infty }dxx^{-(a+1)}e^{-b/x}=\Gamma (a)b^{-a}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }d\sigma ^{2}\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha +1/2+1}\exp \left(-{\frac {2\beta +(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)=\Gamma (\alpha +1/2)\left({\frac {2\beta +(x-\mu )^{2}}{2}}\right)^{-(\alpha +1/2)}}$

この式を代入し、依存性を因数分解すると、 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\alpha ,\beta )\propto _{x}\left(1+{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\beta }}\right)^{-(\alpha +1/2)}.}$

一般化スチューデントt分布の形状は

${\displaystyle t(x|\nu ,{\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}^{2})\propto _{x}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {(x-{\hat {\mu }})^{2}}{{\hat {\sigma }}^{2}}}\right)^{-(\nu +1)/2}}$。

周辺分布は自由度t分布に従う ${\displaystyle f(x\mid \mu ,\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle 2\alpha }$

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\alpha ,\beta )=t(x|\nu =2\alpha ,{\hat {\mu }}=\mu ,{\hat {\sigma }}^{2}=\beta /\alpha )}$。

多変量の場合、 の周辺分布は多変量t分布になります。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {x} \sim t_{2\alpha }({\boldsymbol {\mu }},{\frac {\beta }{\alpha }}\mathbf {V} )\!}$

合計

スケーリング

仮定する

${\displaystyle (x,\sigma ^{2})\sim {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(\mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )\!.}$

次に、 ${\displaystyle c>0}$

${\displaystyle (cx,c\sigma ^{2})\sim {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(c\mu ,\lambda /c,\alpha ,c\beta )\!.}$

証明：これを証明するには、 とし、 を固定します 。 を定義すると、で評価された確率変数のPDFは、で評価された確率変数のPDFの積 で与えられることがわかります。したがって、で評価されたのPDFは 次のように与えられます。 ${\displaystyle (x,\sigma ^{2})\sim {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(\mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle Y=(Y_{1},Y_{2})=(cx,c\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$ ${\displaystyle 1/c^{2}}$ ${\displaystyle {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(\mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle (y_{1}/c,y_{2}/c)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$ ${\displaystyle f_{Y}(y_{1},y_{2})={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {2\pi y_{2}/c}}}\,{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,\left({\frac {1}{y_{2}/c}}\right)^{\alpha +1}\exp \left(-{\frac {2\beta +\lambda (y_{1}/c-\mu )^{2}}{2y_{2}/c}}\right)={\frac {\sqrt {\lambda /c}}{\sqrt {2\pi y_{2}}}}\,{\frac {(c\beta )^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,\left({\frac {1}{y_{2}}}\right)^{\alpha +1}\exp \left(-{\frac {2c\beta +(\lambda /c)\,(y_{1}-c\mu )^{2}}{2y_{2}}}\right).\!}$

右側の式は、で評価されたランダム変数の PDF であり、これで証明が完了します。 ${\displaystyle {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(c\mu ,\lambda /c,\alpha ,c\beta )}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$

指数族

正規逆ガンマ分布は、自然なパラメータ、、、およびと十分な統計量、、、、およびを持つ指数族を形成します。 ${\displaystyle \textstyle \theta _{1}={\frac {-\lambda }{2}}}$ ${\displaystyle \textstyle \theta _{2}=\lambda \mu }$ ${\displaystyle \textstyle \theta _{3}=\alpha }$ ${\displaystyle \textstyle \theta _{4}=-\beta +{\frac {-\lambda \mu ^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle \textstyle T_{1}={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle \textstyle T_{2}={\frac {x}{\sigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle \textstyle T_{3}=\log {\big (}{\frac {1}{\sigma ^{2}}}{\big )}}$ ${\displaystyle \textstyle T_{4}={\frac {1}{\sigma ^{2}}}}$

情報エントロピー

カルバック・ライブラー距離

2 つの分布の差を測定します。

最大尤度推定

パラメータの事後分布

正規ガンマ分布と共役事前分布に関する記事を参照してください。

パラメータの解釈

正規ガンマ分布と共役事前分布に関する記事を参照してください。

正規逆ガンマ乱数の生成

ランダム変数の生成は簡単です。

1. パラメータと逆ガンマ分布からのサンプル ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$
2. 平均と分散を持つ正規分布からのサンプル ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}/\lambda }$

関連ディストリビューション

• 正規ガンマ分布は、分散ではなく精度によってパラメータ化された同じ分布である。
• この分布の一般化は、多変量平均と完全に未知の正定値共分散行列（多変量逆ガンマ分布では共分散行列はスケール係数まで既知であるとみなされる）を許容する正規逆ウィシャート分布である。 ${\displaystyle \sigma ^{2}\mathbf {V} }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

参照

• 複合確率分布

参考文献

1. Ramírez-Hassan, Andrés. 4.2 指数族への共役事前分布 | ベイズ計量経済学入門.

• デニソン、デイビッド・GT他 (2002).ベイズ法による非線形分類・回帰分析. Wiley. ISBN 0471490369。
• コッホ、カール・ルドルフ (2007).ベイズ統計入門（第2版）. シュプリンガー. ISBN 354072723X。

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