普遍性クラス

Collection of models with the same renormalization group flow limit

統計力学において、普遍性類とは、繰り込み群フローの下でスケール不変な極限を共有する数学モデルの集合である。ある類に属するモデルは有限スケールでは異なる可能性があるが、極限スケールに近づくにつれて、それらの挙動はますます類似する。特に、臨界指数などの漸近現象は、その類に属するすべてのモデルで共通である。

よく研究されている例としては、イジング模型やパーコレーション理論のそれぞれの相転移点における普遍性類が挙げられる。これらはいずれも、格子次元ごとに1つずつ存在する類の族である。典型的には、普遍性類の族には下限臨界次元と上限臨界次元がある。下限臨界次元を下回ると、普遍性類は縮退する（この次元は、イジング模型または有向パーコレーションでは2、無向パーコレーションでは1）。上限臨界次元を上回ると、臨界指数は安定し、平均場理論の類似物によって計算できる（この次元は、イジング模型または有向パーコレーションでは4、無向パーコレーションでは6）。

臨界指数の定義

臨界指数は、制御パラメータが臨界点に近づくにつれて、システムの特定の物理的特性がどのように変化するかを特徴づける。温度駆動型遷移の場合、通常、換算温度 が定義され、微小な様々な観測量に対しては のべき乗則が適用される。 ${\displaystyle \tau =(T-T_{c})/T_{c}}$ ${\displaystyle |\tau |}$ ${\displaystyle \tau }$

• 指数は、比熱C と換算温度を関連付ける指数です。つまり、 となります。臨界点では、比熱は通常特異値となりますが、 の定義にマイナス符号が付いているため、正の値のままとなります。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C=\tau ^{-\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$
• 指数は秩序パラメータと温度を関連付けます。ほとんどの臨界指数とは異なり、臨界点では秩序パラメータは通常ゼロとなるため、指数は正であると仮定されます。したがって、 となります。 ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi =|\tau |^{\beta }}$
• 指数は、温度と、外部駆動力（またはソースフィールド）に対するシステムの応答を関連付けます。Jを駆動力として、 となります。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle d\Psi /dJ=\tau ^{-\gamma }}$
• 指数は、臨界温度における秩序パラメータとソースフィールドの関係を表します。臨界温度では、この関係は非線形になります。（したがって）となり、意味は前述と同じです。 ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle J=\Psi ^{\delta }}$ ${\displaystyle \Psi =J^{1/\delta }}$
• 指数は相関の大きさ（つまり、秩序だった位相のパッチ）と温度を関連付けます。臨界点から離れると、相関長によって特徴付けられます。 ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi =\tau ^{-\nu }}$
• 指数は臨界温度における相関の大きさを測る指標です。これは、秩序パラメータの相関関数が に比例するように定義されます。 ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle r^{-d+2-\eta }}$
• パーコレーション理論で使用される指数は、臨界点以下の「温度」（接続確率）における最大クラスター（おおよそ、最大秩序ブロック）のサイズを測定します。つまり、 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle s_{\max }\sim (p_{c}-p)^{-1/\sigma }}$
• 指数もパーコレーション理論から得られ、から遠いサイズ のクラスターの数(または臨界状態のクラスターの数) を測定します。ただし、臨界確率で因子は除去されます。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle s_{\max }}$ ${\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau }f(s/s_{\max })}$ ${\displaystyle f}$

臨界指数はモデルの微視的な詳細とは無関係ですが、次元、対称性、相互作用の範囲（つまり、普遍性クラスのみに依存する）に依存します。稀に、臨界点より下と上の挙動を支配する臨界指数が同じではない場合があります。

臨界指数のリスト

対称性については、列挙された群は秩序パラメータの対称性を与える。群はn元対称群、はn次元直交群、は位数2の巡回群（パリティ、またはイジング対称性）、1は自明群である。平均場理論の結果は(MF)で示される。 ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

クラス	寸法	対称	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle \delta }$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle \eta }$
3ステート・ポッツ	2	${\displaystyle S_{3}}$	⁠1/3⁠	⁠1/9⁠	⁠13/9⁠	14	⁠5/6⁠	⁠4/15⁠
アシュキン・テラー（4州ポッツ）	2	${\displaystyle S_{4}}$	⁠2/3⁠	⁠1/12⁠	⁠7/6⁠	15	⁠2/3⁠	⁠1/4⁠
通常の浸透	1	1	1	0	1	${\displaystyle \infty }$	1	1
	2	1	− ⁠2/3⁠	⁠5/36⁠	⁠43/18⁠	⁠91/5⁠	⁠4/3⁠	⁠5/24⁠
	3	1	−0.625(3)	0.4181(8)	1.793(3)	5.29(6)	0.87619(12)	0.46(8) または 0.59(9)
	4	1	−0.756(40)	0.657(9)	1.422(16)	3.9または3.198(6)	0.689(10)	−0.0944(28)
	5	1	≈ −0.85	0.830(10)	1.185(5)	3.0	0.569(5)	−0.075(20) または −0.0565
	6 + ( MF )	1	−1	1	1	2	⁠1/2⁠	0
指向性パーコレーション	1	1	0.159464(6)	0.276486(8)	2.277730(5)	0.159464(6)	1.096854(4)	0.313686(8)
	2	1	0.451	0.536(3)	1.60	0.451	0.733(8)	0.230
	3	1	0.73	0.813(9)	1.25	0.73	0.584(5)	0.12
	4 + ( MF )	1	1	1	1	1	⁠1/2⁠	0
保存された有向浸透（マナ、または「局所線形インターフェース」）	1	1		0.28(1)		0.14(1)	1.11(2) [1]	0.34(2) [1]
	2	1		0.64(1)	1.59(3)	0.50(5)	1.29(8)	0.29(5)
	3	1		0.84(2)	1.23(4)	0.90(3)	1.12(8)	0.16(5)
	4 + ( MF )	1		1	1	1	1	0
保護された浸透	2 [2]	1		5/41	86/41
	3 [2]	1		0.28871(15)	1.3066(19)
イジング	2	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	0	⁠1/8⁠	⁠7/4⁠	15	1	⁠1/4⁠
	3 [3]	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	0.11008708(35)	0.32641871(75)	1.23707551(26)	4.78984254(27)	0.62997097(12)	0.036297612(48)
	4 + ( MF )	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	0	⁠1/2⁠	1	3	⁠1/2⁠	0
XY	2	—	ベレジンスキー-コステルリッツ-サウレス普遍性類
	3 [4]	${\displaystyle O(2)}$	−0.01526(30)	0.34869(7)	1.3179(2)	4.77937(25)	0.67175(10)	0.038176(44)
	4 + ( MF )	${\displaystyle O(2)}$	0	⁠1/2⁠	1	3	⁠1/2⁠	0
ハイゼンベルク	3 [5]	${\displaystyle O(3)}$	−0.1336⁢(15)	0.3689⁢(3)	1.3960⁢(9)	4.783⁢(3)	0.7112⁢(5)	0.0375⁢(5)
	4 + ( MF )	${\displaystyle O(3)}$	0	⁠1/2⁠	1	3	⁠1/2⁠	0
自己回避歩行	1	1	1	0	1	${\displaystyle \infty }$	1	1
	2	1	⁠1/2⁠	⁠5/64⁠	⁠43/32⁠	⁠91/5⁠	⁠3/4⁠	⁠5/24⁠
	3	1	0.2372090(12)	0.3029190(8)	1.1569530(10) [6]	4.819348(15)	0.5875970(4) [7]	0.0310434(21)
	4 + ( MF )	1	0	⁠1/2⁠	1	3	⁠1/2⁠	0

イジングモデル

この節では、イジング模型における強磁性転移の臨界指数を列挙する。統計物理学において、イジング模型はスカラー秩序パラメータと対称性を持つ連続相転移を示す最も単純な系である。転移の臨界指数は普遍的な値であり、物理量の特異特性を特徴付ける。イジング模型の強磁性転移は重要な普遍性クラスを確立し、キュリー点近傍での強磁性から臨界点近傍での液体の臨界乳光まで、多様な相転移が含まれる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

	d=2	d=3	d=4	一般的な表現
α	0	0.11008708(35)	0	${\displaystyle 2-d/(d-\Delta _{\epsilon })}$
β	1/8	0.32641871(75)	1/2	${\displaystyle \Delta _{\sigma }/(d-\Delta _{\epsilon })}$
γ	7/4	1.23707551(26)	1	${\displaystyle (d-2\Delta _{\sigma })/(d-\Delta _{\epsilon })}$
δ	15	4.78984254(27)	3	${\displaystyle (d-\Delta _{\sigma })/\Delta _{\sigma }}$
η	1/4	0.036297612(48)	0	${\displaystyle 2\Delta _{\sigma }-d+2}$
ν	1	0.62997097(12)	1/2	${\displaystyle 1/(d-\Delta _{\epsilon })}$
ω	2	0.82966(9)	0	${\displaystyle \Delta _{\epsilon '}-d}$

量子場の理論の観点からは、臨界指数は相転移を記述する共形場理論の局所演算子のスケーリング次元で表現することができます^[8] （ギンツブルグ-ランダウの記述では、これらは通常 と呼ばれる演算子です。）これらの表現は上記の表の最後の列に示されており、次の表の演算子次元値を使用して臨界指数の値を計算するために使用されました。 ${\displaystyle \sigma ,\epsilon ,\epsilon '}$ ${\displaystyle \phi ,\phi ^{2},\phi ^{4}}$

	d=2	d=3	d=4
${\displaystyle \Delta _{\sigma }}$	1/8	0.518148806(24) [3]	1
${\displaystyle \Delta _{\epsilon }}$	1	1.41262528(29) [3]	2
${\displaystyle \Delta _{\epsilon '}}$	4	3.82966(9) [9] [10]	4

d=2の場合、2次元臨界イジング模型の臨界指数は極小モデル を用いて正確に計算できます。d=4の場合、自由質量ゼロスカラー理論（平均場理論とも呼ばれます）を用いて計算できます。これら2つの理論は厳密に解かれ、その厳密解は表に示されている値を与えます。 ${\displaystyle M_{3,4}}$

d=3理論はまだ完全には解明されていない。最も正確な結果は共形ブートストラップから得られる。^{[3] [9] [10] [11] [12] [13] [14]}これらは表に示されている値である。再正規化群法^{[15] [16] [ 17] [18]} 、モンテカルロシミュレーション^[19] 、およびファジー球面レギュレータ^[20]は共形ブートストラップと一致する結果を与えるが、精度は桁違いに低い。

ベレジンスキー-コステルリッツ-サウレス普遍性類

2次元XY模型および超伝導体における相転移は、明確な普遍性クラスであるベレジンスキー・コステルリッツ・サウレス転移によって支配される。^{[21]無秩序相（高温相）には自由渦糸が含まれ、秩序相（低温相）には束縛渦糸が含まれる。相転移においては、自由エネルギーとそのすべての微分は連続的であるため、}エーレンフェスト分類においては無限次転移となる。

熱力学量は、二次相転移で見られるようなべき乗法則特異性を示さない。その代わりに、臨界点 より上では、相関長は に比例する。ここでは定数、 である。すると磁化率は となり、温度（および）に依存する。比熱は において有限である。2点相関関数は については に比例するが、については に比例する。 ${\displaystyle (T>T_{c})}$ ${\displaystyle \xi \sim \exp(b|T-T_{c}|^{-\nu })}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \nu =1/2}$ ${\displaystyle \chi \sim \xi ^{2-\eta (T)}}$ ${\displaystyle \eta (T)}$ ${\displaystyle \eta (T_{c})=1/4}$ ${\displaystyle T_{c}}$ ${\displaystyle G(r)\sim r^{-\eta (T)}}$ ${\displaystyle T<T_{c}}$ ${\displaystyle G(r)\sim \exp(-r/\xi )}$ ${\displaystyle T>T_{c}}$

成長現象

エピタキシャル成長^{[22] [23]}においては、表面粗さが原子レベルで平坦から粗い状態へと変化します。表面粗さを特徴付ける表面高さの二乗平均平方根変動は、初期には のように増加し、最終的にはサイズに依存する値 で飽和します。は成長指数、は粗さ指数と呼ばれます。2つの領域間のクロスオーバー時間は、システムのサイズに依存し、 のように表されます。ここではスケーリング則 に従う動的指数です。 ${\displaystyle w(t)\sim t^{\beta }}$ ${\displaystyle w(L)\sim L^{\alpha }}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle t_{x}\sim L^{z}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=\alpha /\beta }$

クラス	次元性	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle z}$
エドワーズ・ウィルキンソン（EW）	${\displaystyle d}$	${\displaystyle {\frac {2-d}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2-d}{4}}}$	${\displaystyle 2}$
カルダール・パリシ・チャン (KPZ) [24]	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$
	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 0.390(3)}$	${\displaystyle 0.242(2)}$	${\displaystyle 1.610(3)}$
	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 0.314(6)}$	${\displaystyle 0.186(4)}$	${\displaystyle 1.686(6)}$
マリンズ・ヘリング（MH）	${\displaystyle d}$	${\displaystyle {\frac {4-d}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {4-d}{8}}}$	${\displaystyle 4}$
分子線エピタキシー（MBE）	${\displaystyle d}$	${\displaystyle {\frac {4-d}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {4-d}{8+d}}}$	${\displaystyle {\frac {8+d}{3}}}$

参考文献

1. Fajardo, Juan AB (2008). 自己組織化臨界性における普遍性(PDF) . グラナダ.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. Fayfar, Sean; Bretaña, Alex; Montfrooij, Wouter (2021-01-15). 「保護パーコレーション：高ドープ量子臨界系に関連する新たな普遍性クラス」. Journal of Physics Communications . 5 (1): 015008. arXiv : 2008.08258 . Bibcode :2021JPhCo...5a5008F. doi : 10.1088/2399-6528/abd8e9 . ISSN  2399-6528.
3. Chang, Cyuan-Han; Dommes, Vasiliy; Erramilli, Rajeev; Homrich, Alexandre; Kravchuk, Petr; Liu, Aike; Mitchell, Matthew; Poland, David; Simmons-Duffin, David (2025). 「3次元イジング応力テンソルのブートストラッピング」Journal of High Energy Physics (3) 136. arXiv : 2411.15300 . Bibcode :2025JHEP...03..136C. doi :10.1007/JHEP03(2025)136.
4. Chester, Shai M.; Landry, Walter; Liu, Junyu; Poland, David; Simmons-Duffin, David; Su, Ning; Vichi, Alessandro (2020). 「OPE空間の切り出しと正確なO(2)モデルの臨界指数」J. High Energy Phys . 2020 (6) 142: 1– 52. arXiv : 1912.03324 . Bibcode :2020JHEP...06..142C. doi :10.1007/JHEP06(2020)142.
5. Campostrini, Massimo; Hasenbusch, Martin; Pelissetto, Andrea; Rossi, Paolo; Vicari, Ettore (2002). 「3次元ハイゼンベルク普遍性類の臨界指数と状態方程式」. Phys. Rev. B . 65 (14) 144520. arXiv : cond-mat/0110336 . Bibcode :2002PhRvB..65n4520C. doi :10.1103/PhysRevB.65.144520.
6. Clisby, Nathan (2017). 「スケールフリー・モンテカルロ法による自己回避歩行の臨界指数γの計算」J. Phys. A: Math. Theor . 50 (26): 264003. arXiv : 1701.08415 . Bibcode :2017JPhA...50z4003C. doi :10.1088/1751-8121/aa7231.
7. Clisby, Nathan; Dünweg, Burkhard (2016). 「自己回避歩行における流体半径の高精度推定」. Phys. Rev. E. 94 ( 5) 052102. arXiv : 2001.03138 . Bibcode :2016PhRvE..94e2102C. doi :10.1103/PhysRevE.94.052102. PMID  27967042.
8. カーディ、ジョン（1996年）『統計物理学におけるスケーリングと再正規化』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-49959-0。
9. Komargodski, Zohar; Simmons-Duffin, David (2016年3月14日). 「2.01次元および3次元におけるランダムボンドイジングモデル」. J​​ournal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 50 (15): 154001. arXiv : 1603.04444 . Bibcode :2017JPhA...50o4001K. doi :10.1088/1751-8121/aa6087. S2CID  34925106.
10. Reehorst, Marten (2022-09-21). 「3次元イジング模型CFTにおける無関係演算子の厳密な境界」. Journal of High Energy Physics . 2022 (9) 177. arXiv : 2111.12093 . Bibcode :2022JHEP...09..177R. doi :10.1007/JHEP09(2022)177. ISSN  1029-8479. S2CID  244527272.
11. Kos, Filip; Poland, David; Simmons-Duffin, David; Vichi, Alessandro (2016年3月14日). 「イジングモデルとO(N)モデルにおける精密アイランド」. Journal of High Energy Physics . 2016 (8): 36. arXiv : 1603.04436 . Bibcode :2016JHEP...08..036K. doi :10.1007/JHEP08(2016)036. S2CID  119230765.
12. El-Showk, Sheer; Paulos, Miguel F.; Poland, David; Rychkov, Slava; Simmons-Duffin, David; Vichi, Alessandro (2014). 「共形ブートストラップ法による3次元イジング模型の解法 II. c-最小化と高精度臨界指数」. Journal of Statistical Physics . 157 ( 4–5 ): 869–914 . arXiv : 1403.4545 . Bibcode : 2014JSP ...157..869E. doi :10.1007/s10955-014-1042-7. S2CID  39692193.
13. Simmons-Duffin, David (2015). 「共形ブートストラップのための半正定値計画法ソルバー」. Journal of High Energy Physics . 2015 (6) 174. arXiv : 1502.02033 . Bibcode :2015JHEP...06..174S. doi :10.1007/JHEP06(2015)174. ISSN  1029-8479. S2CID  35625559.
14. Kadanoff, Leo P. (2014年4月30日). 「3次元イジングモデルの深い理解の達成」. Journal Club for Condensed Matter Physics . 2015年7月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2015年7月18日閲覧。
15. Pelissetto, Andrea; Vicari, Ettore (2002). 「臨界現象と繰り込み群理論」. Physics Reports . 368 (6): 549– 727. arXiv : cond-mat/0012164 . Bibcode :2002PhR...368..549P. doi :10.1016/S0370-1573(02)00219-3. S2CID  119081563.
16. Kleinert, H. , 「3次元における7ループ強結合φ4理論の臨界指数」。Wayback Machineに2020年3月12日アーカイブ。Physical Review D 60, 085001 (1999)
17. Balog, Ivan; Chate, Hugues; Delamotte, Bertrand; Marohnic, Maroje; Wschebor, Nicolas (2019). 「非摂動近似の再正規化群への収束」. Phys. Rev. Lett . 123 (24) 240604. arXiv : 1907.01829 . Bibcode :2019PhRvL.123x0604B. doi :10.1103/PhysRevLett.123.240604. PMID  31922817.
18. De Polsi, Gonzalo; Balog, Ivan; Tissier, Matthieu; Wschebor, Nicolas (2020). 「非摂動繰り込み群を用いたO(N)普遍性類における臨界指数の精密計算」. Phys. Rev. E. 101 ( 24): 042113. arXiv : 1907.01829 . Bibcode :2019PhRvL.123x0604B. doi :10.1103/PhysRevLett.123.240604. PMID  : 31922817.
19. Hasenbusch, Martin (2010). 「3次元イジング普遍性クラスにおける格子模型の有限サイズスケーリング研究」. Physical Review B. 82 ( 17) 174433. arXiv : 1004.4486 . Bibcode :2010PhRvB..82q4433H. doi :10.1103/PhysRevB.82.174433.
20. Zhu, Wei (2023). 「3次元イジング転移における共形対称性の解明：量子ファジー球面正規化による状態-演算子対応」. Physical Review X. 13 ( 2) 021009. arXiv : 2210.13482 . Bibcode :2023PhRvX..13b1009Z. doi :10.1103/PhysRevX.13.021009.
21. ヘンケル、マルテ (1999).コンフォーマル不変性と臨界現象. シュプリンガー. doi :10.1007/978-3-662-03937-3. ISBN 978-3-662-03937-3。
22. Barbási, A.-L.; Stanley, HE (1995).表面成長におけるフラクタル概念. Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511599798. ISBN 978-0-511-59979-8。
23. Das Sarma, S. (1997). 「エピタキシャル成長における動的スケーリング」. arXiv : cond-mat/9705118 .
24. Oliveira, Tiago J. (2022). 「(d+1)次元におけるKardar-Parisi-Zhang普遍性類」. Phys. Rev. E. 106 ( 6) L062103. arXiv : 2212.03847 . Bibcode :2022PhRvE.106f2103O. doi :10.1103/PhysRevE.106.L062103. PMID:  36671175.

さらに読む

• Sklogwiki の普遍性クラス
• Creswick, Richard J.; Kim, Seung-Yeon (1997). 「4状態ポッツ模型の臨界指数」. Journal of Physics A: Mathematical and General . 30 (24): 8785– 8786. arXiv : cond-mat/9701018 . doi :10.1088/0305-4470/30/24/036. S2CID  16687747.
• ヘンケル、M.ヒンリヒセン、H.リューベック、S. (2008)。非平衡相転移、第 1 巻: 吸収相転移。スプリンガー。ISBN 978-1-4020-8765-3。
• Ódor, Géza (2004). 「非平衡格子系における普遍性クラス」Reviews of Modern Physics . 76 (3): 663– 724. arXiv : cond-mat/0205644 . Bibcode :2004RvMP...76..663O. doi :10.1103/RevModPhys.76.663.
• ジン＝ジャスティン、ジーン（2002年）『量子場の理論と臨界現象』オックスフォード：クラレンドン・プレス、ISBN 0-19-850923-5。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Universality_class&oldid=1322905886#Ising_model"