孤立した地平線

Type of spacetime horizon

ブラックホールの地平線は、場の方程式の定常解、すなわちブラックホールのごく近傍だけでなく、あらゆる場所で時間並進的なキリングベクトル場を許容する解によって表現するのが慣例であった。この単純な理想化は出発点としては自然であったが、あまりにも制限が大きすぎる。物理的には、ブラックホール自体が孤立していることのみを保証する境界条件を地平線に課すだけで十分であるはずである。つまり、地平線の固有の幾何学的形状が時間に依存しないことを要求すれば十分であり、地平線の外側の幾何学的形状は動的であり、重力やその他の放射を許容してもよいはずである。

事象の地平線と比較した孤立地平線の利点は、事象の地平線を見つけるには時空全体の履歴が必要となるのに対し、孤立地平線は局所的な時空構造のみを用いて定義される点である。ブラックホール力学の法則は、当初は事象の地平線で証明されていたが、孤立地平線にも一般化されている。

孤立地平線 とは、外部と平衡状態にあるブラックホールの準局所的定義^{[1]を指し、 [2] [3] [4]}、孤立地平線（IH）の固有構造と外部構造の両方がヌル同値類によって保存されます。IHの概念は、非膨張地平線（NEH）と弱孤立地平線（WIH）のアイデアに基づいて開発されました。NEHは、固有構造が保存され、WIHとIHの幾何学的プロトタイプを構成するヌル面であり、WIHは明確に定義された表面重力を持つNEHであり、これに基づいてブラックホール力学を準局所的に一般化できます。 ${\displaystyle (\Delta \,,[\ell ])}$ ${\displaystyle [\ell ]}$

IHの定義

同値類を備えた3次元部分多様体は 、以下の条件を満たす場合、IHとして定義される。^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle [\ell ]}$

(i)はヌルであり、位相的には である。 (ii)に接する任意のヌル法線場 に沿って、外向きの膨張率はゼロである。(iii) 上ですべての場の方程式が成り立ち、上の応力エネルギーテンソルは、任意の未来方向のヌル法線 に対して、 が未来方向の因果ベクトル( ) となるようなものである。(iv) 交換子、ここで は地平線上の誘導接続を表す。 ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$
${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \displaystyle \theta _{(l)}:={\hat {h}}^{ab}{\hat {\nabla }}_{a}l_{b}}$
${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle T_{ab}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle V^{a}:=-T_{b}^{a}l^{b}}$ ${\displaystyle V^{a}V_{a}\leq 0}$ ${\displaystyle l^{a}}$
${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{\ell },{\mathcal {D}}_{a}]=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}}$

^{注: 文献[2] [3] [4]}で定められた慣例に従い、等号記号上の「ハット」はブラックホール地平線 (NEH) 上の等号を意味し、量や演算子 ( 、など) 上の「ハット」は地平線上または地平線の葉脈上の量を表します (IH の場合は違いはありません)。 ${\displaystyle {\hat {=}}}$ ${\displaystyle {\hat {h}}^{ab}}$ ${\displaystyle {\hat {\nabla }}}$

IHの境界条件

一般的なIHの特性は、ニューマン・ペンローズ形式の言語で表現される境界条件の集合として現れる。

${\displaystyle \kappa \,{\hat {=}}\,0}$（測地線）、 （ねじれなし、超曲面直交）、（膨張なし）、 （せん断なし）、 ${\displaystyle {\text{Im}}(\rho )\,{\hat {=}}\,0}$ ${\displaystyle {\text{Re}}(\rho )\,{\hat {=}}\,0}$ ${\displaystyle \sigma \,{\hat {=}}\,0}$

${\displaystyle \Phi _{00}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Phi _{10}={\overline {\Phi _{01}}}\,{\hat {=}}\,0}$（地平線を横切るいかなる物質電荷の流れも存在しない）、

${\displaystyle \Psi _{0}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Psi _{1}\,{\hat {=}}\,0}$(地平線を越​​える重力波はありません)。

さらに電磁IHの場合、

${\displaystyle \phi _{0}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Phi _{02}={\overline {\Phi _{20}}}=\,2\,\phi _{0}\,{\overline {\phi _{2}}}\,{\hat {=}}\,0\,.}$

さらに、IH構造に適応した四分子では[ ^{3] [4]、}

${\displaystyle \pi \,{\hat {=}}\,\alpha +{\bar {\beta }}\,,\quad \varepsilon \,{\hat {=}}\,{\bar {\varepsilon }}\,,\quad {\bar {\mu }}\,{\hat {=}}\,\mu \,.}$

注意: 実際、IH のこれらの境界条件はNEHの境界条件を継承するだけです。

地平線上適応四分子の拡張

IHの形状と力学の完全な解析は、地平線上の適応四面体に依存している。^{[3] [4]}しかし、IHをより包括的に見るには、地平線近くの近傍と地平線外の外部の調査が必要になることが多い。^{[5] [6] [7] [8] [9] [10]} IH上の適応四面体は、地平線と地平線外の領域の両方をカバーする次の形式にスムーズに拡張できる。

${\displaystyle l^{a}\partial _{a}=\partial _{v}+U\partial _{r}+X^{3}\partial _{y}+X^{4}\partial _{z}\,,}$
${\displaystyle n^{a}\partial _{a}=-\partial _{r}\,,}$
${\displaystyle m^{a}\partial _{a}=\Omega \partial _{r}+\xi ^{3}\partial _{y}+\xi ^{4}\partial _{z}\,,}$
${\displaystyle {\bar {m}}^{a}\partial _{a}={\bar {\Omega }}\partial _{r}+{\bar {\xi }}^{3}\partial _{y}+{\bar {\xi }}^{4}\partial _{z}\,.}$

ここで 、{v=定数、r=定数}の断面積を表す実等温座標または複素立体座標であり、この四面体におけるゲージ条件は ${\displaystyle \{y,z\}}$
${\displaystyle \nu =\tau =\gamma =0\,,\quad \mu ={\bar {\mu }}\,,\quad \pi =\alpha +{\bar {\beta }}\,.}$

アプリケーション

孤立した地平線の定義は局所的な性質を持つため、数値研究には便利です。

局所的な性質により、ハミルトニアン記述は実現可能となる。この枠組みは、非摂動的な量子化と、微視的な自由度からブラックホールのエントロピーを導出するための自然な出発点を提供する。^[11]

参照

• 非拡大地平線
• ニューマン・ペンローズ形式

参考文献

1. Booth, Ivan (2005-11-01). 「ブラックホール境界」. Canadian Journal of Physics . 83 (11): 1073–1099 . arXiv : gr-qc/0508107 . Bibcode :2005CaJPh..83.1073B. doi :10.1139/p05-063. ISSN  0008-4204. S2CID  119350115.
2. Ashtekar, Abhay; Beetle, Christopher; Dreyer, Olaf; Fairhurst, Stephen; Krishnan, Badri; et al. (2000-10-23). 「Generic Isolated Horizo​​ns and Their Applications」. Physical Review Letters . 85 (17): 3564– 3567. arXiv : gr-qc/0006006 . Bibcode :2000PhRvL..85.3564A. doi :10.1103/physrevlett.85.3564. ISSN  0031-9007. PMID  11030951. S2CID  30612121.
3. Ashtekar, Abhay; Beetle, Christopher; Lewandowski, Jerzy (2002-03-05). 「一般孤立地平線の幾何学」.古典重力と量子重力. 19 (6): 1195– 1225. arXiv : gr-qc/0111067 . Bibcode :2002CQGra..19.1195A. doi :10.1088/0264-9381/19/6/311. ISSN  0264-9381. S2CID  15207198.
4. Ashtekar, Abhay; Fairhurst, Stephen; Krishnan, Badri (2000-10-27). 「孤立した地平線：ハミルトン進化と第一法則」. Physical Review D. 62 ( 10) 104025. アメリカ物理学会 (APS). arXiv : gr-qc/0005083 . Bibcode :2000PhRvD..62j4025A. doi :10.1103/physrevd.62.104025. ISSN  0556-2821. S2CID  771959.
5. Wu, Xiaoning; Gao, Sijie (2007-02-28). 「弱孤立地平線近傍におけるトンネル効果」. Physical Review D. 75 ( 4) 044027. arXiv : gr-qc/0702033 . Bibcode :2007PhRvD..75d4027W. doi :10.1103/physrevd.75.044027. ISSN  1550-7998. S2CID  119090706.
6. Wu, Xiaoning; Huang, Chao-Guang; Sun, Jia-Rui (2008-06-18). 「弱孤立地平線近傍における重力異常とホーキング放射」. Physical Review D. 77 ( 12) 124023. arXiv : 0801.1347 . Bibcode :2008PhRvD..77l4023W. doi :10.1103/physrevd.77.124023. ISSN  1550-7998. S2CID  118359702.
7. Yu-Huei Wu, Chih-Hung Wang.一般的な孤立地平線の重力放射. arXiv:0807.2649v1[gr-qc]
8. Wu, Xiao-Ning; Tian, Yu (2009-07-15). 「Extremal isolation horizo​​n/CFT correspondence」. Physical Review D. 80 ( 2) 024014. arXiv : 0904.1554 . Bibcode :2009PhRvD..80b4014W. doi :10.1103/physrevd.80.024014. ISSN  1550-7998. S2CID  119273111.
9. Wu, Yu-Huei; Wang, Chih-Hung (2009-09-03). 「漸近展開による一般孤立地平線および非回転動的地平線の重力放射」. Physical Review D. 80 ( 6) 063002. arXiv : 0906.1551 . Bibcode :2009PhRvD..80f3002W. doi :10.1103/physrevd.80.063002. ISSN  1550-7998. S2CID  119297093.
10. Krishnan, Badri (2012-08-28). 「一般孤立ブラックホール近傍の時空」.古典重力と量子重力. 29 (20) 205006. IOP Publishing. arXiv : 1204.4345 . Bibcode :2012CQGra..29t5006K. doi :10.1088/0264-9381/29/20/205006. ISSN  0264-9381. S2CID  119286518.
11. Ashtekar, Abhay; Baez, John C.; Krasnov, Kirill (2000). 「孤立地平線の量子幾何学とブラックホールエントロピー」.理論数理物理学の進歩. 4 (1): 1– 94. arXiv : gr-qc/0005126 . doi : 10.4310/atmp.2000.v4.n1.a1 . ISSN  1095-0761.

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