細長い三角形の正立円錐

第35回ジョンソンソリッド（20面）

細長い三角形の正立円錐
タイプ	ジョンソン J 34 – J 35 – J 36
顔	8つの三角形と 12の正方形
エッジ	36
頂点	18
頂点構成	${\displaystyle {\begin{aligned}&6\times (3\times 4\times 3\times 4)+\\&12\times (3\times 4^{3})\end{aligned}}}$
対称群	${\displaystyle D_{3h}}$
プロパティ	凸状
ネット

幾何学において、正六角柱の底面に正三角形のキューポラを2つ取り付けて構成される多面体である。これはジョンソン立体の一例である。

工事

六角柱の底面に正三角形のキューポラを2つ取り付け、六角形の面を覆うことで、細長い三角形のオルソビキューポラを構築できます。 ^[1]この構築プロセスは伸長と呼ばれ、結果として得られる多面体には8つの正三角形と12の正方形が含まれます。^{[2]すべての面が}正多面体である凸多面体はジョンソン立体であり、細長い三角形のオルソビキューポラはその1つであり、35番目のジョンソン立体として列挙されています。^[3] ${\displaystyle J_{35}}$

プロパティ

与えられた辺の長さを持つ細長い三角形の正六角柱の表面積は、すべての正面の面積を合計することで求めることができます。^[2]体積は、2つの三角形の円錐と正六角柱に分割し、それらの体積を合計することで求めることができます。^[2] ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \left(12+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 15.464a^{2}.}$$ $${\displaystyle \left({\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{3}\approx 4.955a^{3}.}$$

これは、 12 次の二面体群である三角形の正二面体キューポラと同じ3 次元対称群を持ちます。その二面角は、三角形のキューポラと六角柱の角度を追加することで計算できます。 隣接する 2 つの正方形間の六角柱の二面角は正六角形の内角であり、その底辺と正方形の面の間の二面角は です。 正三角形のキューポラの各三角形と六角形の間の二面角はおよそ 、各正方形と六角形の間の二面角は、正方形と三角形の間の二面角は です。 三角形のキューポラとプリズムが接続されるエッジ上の、三角形と正方形の間、および正方形と正方形の間の二面角は、それぞれ次のとおりです。^[4] ${\displaystyle D_{3h}}$ ${\displaystyle 120^{\circ }=2\pi /3}$ ${\displaystyle \pi /2=90^{\circ }}$ ${\displaystyle 70.5^{\circ }}$ ${\displaystyle 54.7^{\circ }}$ ${\displaystyle 125.3^{\circ }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}+70.5^{\circ }&\approx 160.5^{\circ },\\{\frac {\pi }{2}}+54.7^{\circ }&\approx 144.7^{\circ }.\end{aligned}}}$$

関連する多面体とハニカム

細長い三角形の正立錐体は、四面体と四角錐とともに空間を満たすハニカム構造を形成している。^[5]

参考文献

1. Rajwade, AR (2001). 凸多面体と正則性条件およびヒルベルトの第三問題. 数学テキストと読書. ヒンドゥスタン・ブック・エージェンシー. p. 84–89. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4。
2. Berman, Martin (1971). 「正面凸多面体」.フランクリン研究所ジャーナル. 291 (5): 329– 352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
3. フランシス、ダリル（2013年8月）「ジョンソンソリッドとその頭字語」Word Ways 46 ( 3): 177.
4. ジョンソン、ノーマン W. (1966). 「正則面を持つ凸多面体」. Canadian Journal of Mathematics . 18 : 169–200 . doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
5. 「J35ハニカム」。

外部リンク

• Weisstein, Eric W.、「細長い三角形の直方体」（「ジョンソン立体」）、MathWorldにて。

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