五角形のキューポラ

Cupola with decagonal base

五角形のキューポラ
入力	ジョンソン J 4 – J 5 – J 6
面	三角形5個、正方形 5個、五角形1個、十角形1個
辺	25
頂点	15
頂点の構成	${\displaystyle 10\times (3\times 4\times 10)}$ ${\displaystyle 5\times (3\times 4\times 5\times 4)}$
対称群	${\displaystyle C_{\mathrm {v} }}$
性質	凸、基本
ネット

幾何学において、五角形のキューポラはジョンソン立体（J ₅ ）の1つです。菱形22面体の一部から得られます。五角形のキューポラは、5つの正三角形、5つの正方形、1つの五角形、1つの十角形で構成されています

性質

五角形のキューポラの面は、5つの正三角形、5つの正方形、1つの正五角形、1つの正十角形です。^[1]凸状で正多角形面の性質を持ち、これにより5番目のジョンソン立体に分類されます。^{[2]このキューポラは、面内で切断することなく平面で切断することができないため、}基本多面体です。^[3]

すべての面が辺の長さで正則である場合、円周半径、高さ、表面積、体積に関する次の公式を適用できます。^[4] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}a&\approx 0.526a,\\R&={\frac {\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}{2}}a&\approx 2.233a,\\A&={\frac {20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(145+62{\sqrt {5}}\right)}}}{4}}a^{2}&\approx 16.580a^{2},\\V&={\frac {5+4{\sqrt {5}}}{6}}a^{3}&\approx 2.324a^{3}.\end{aligned}}}$$

五角形のキューポラの3Dモデル

六角形は、上面と底面の中心を通る対称軸を持ち、この軸を中心に1/5、2/3、4/5の角度で回転することで対称となる。また、六角形底面の二等分線を通る任意の垂直平面に対して鏡面対称である。したがって、10次の巡回群であるピラミッド対称性を持つ。^[3] ${\displaystyle C_{5\mathrm {v} }}$

関連する多面体

五角形のキューポラは多面体の構築に応用できます。多面体の底面を別の多面体に接続する構築は拡大と呼ばれ、プリズムまたは反プリズムに接続する構築は伸長または回転伸長と呼ばれます。^{[5] [6]}このような構成を持つジョンソン立体には、以下のものがあります

• 細長い五角形のキューポラ ${\displaystyle J_{20}}$
• 回転五角形のキューポラ ${\displaystyle J_{24}}$
• 五角形正立キューポラ ${\displaystyle J_{30}}$
• 五角形ジャイロ立キューポラ ${\displaystyle J_{31}}$
• 五角形正立キューポラロトゥンダ ${\displaystyle J_{32}}$
• 五角形ジャイロキューポラロトゥンダ ${\displaystyle J_{33}}$
• 細長い五角形のオルソビキューポラ ${\displaystyle J_{38}}$
• 細長い五角形のジャイロビキューポラ ${\displaystyle J_{39}}$
• 細長い五角形のオルソキューポラロトゥンダ ${\displaystyle J_{40}}$
• 回転長方形の五角形の双キューポラ ${\displaystyle J_{46}}$
• 回転長方形の五角形のキューポラ（円形） ${\displaystyle J_{47}}$
• 拡大切頂十二面体 ${\displaystyle J_{68}}$
• パラビ拡大切頂十二面体 ${\displaystyle J_{69}}$
• メタビ拡大切頂十二面体 ${\displaystyle J_{70}}$
• 三角錐台形十二面体 ${\displaystyle J_{71}}$
• 回転菱形十二面体 ${\displaystyle J_{72}}$
• 双回転菱形十二面体 ${\displaystyle J_{73}}$
• メタ二回旋菱形十二面体 ${\displaystyle J_{74}}$
• 三回旋菱形十二面体 ${\displaystyle J_{75}}$

関連して、1つまたは複数の五角形のキューポラを削除して多面体を構築することは、減少として知られています^[1]：

• 縮小菱形十二面体 ${\displaystyle J_{76}}$
• パラジャイレート縮小菱形十二面体 ${\displaystyle J_{77}}$
• メタジャイレート縮小菱形十二面体 ${\displaystyle J_{78}}$
• 二面体縮小菱形二十十二面体 ${\displaystyle J_{79}}$
• 二面体縮小菱形二十十二面体 ${\displaystyle J_{80}}$
• 二倍縮小菱形二十面体 ${\displaystyle J_{81}}$
• 回転二倍縮小菱形二十面体 ${\displaystyle J_{82}}$
• 三減菱形十二面体 ${\displaystyle J_{83}}$

参考文献

1. Berman, Martin (1971). 「正面凸多面体」. Journal of the Franklin Institute . 291 (5): 329– 352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245
2. 上原龍平 (2020). 計算折り紙入門：新しい計算幾何学の世界. Springer. p. 62. doi :10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID  220150682.
3. Johnson, Norman W. (1966). 「正面を持つ凸多面体」. Canadian Journal of Mathematics . 18 : 169–200 . doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603
4. Braileanu1, Patricia I.; Cananaul, Sorin; Pasci, Nicoleta E. (2022). 「静的外部荷重を受ける五角形キューポラの機械的挙動に対する幾何学的パターン充填の影響」持続可能な社会のための研究とイノベーションジャーナル. 4 (2). Thoth Publishing House: 5– 15. doi : 10.33727/JRISS.2022.2.1:5-15 (2025年7月1日非アクティブ). ISSN  2668-0416.{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of July 2025 (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
5. Demey, Lorenz; Smessaert, Hans (2017). 「知識表現における多面体アリストテレス図の論理的および幾何学的距離」Symmetry . 9 (10): 204. Bibcode :2017Symm....9..204D. doi : 10.3390/sym9100204 .
6. スロボダン、ミシッチ;オブラドヴィッチ、マリヤ。ユカノヴィッチ、ゴルダナ（2015）。 「幾何学的および建築的形態としての複合凹面キューポラ」(PDF)。幾何学とグラフィックスのジャーナル。19 (1): 79–91 .

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.、「五角形のキューポラ」（「ジョンソン立体」）（MathWorld）

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