WKB近似

Solution method for linear differential equations

数理物理学において、WKB近似法またはWKB法は、空間的に変化する係数を持つ線型微分方程式の近似解を求める手法です。これは通常、量子力学における半古典的計算に用いられ、波動関数を指数関数として書き直し、半古典的に展開した後、振幅または位相のいずれかがゆっくりと変化するものとみなします。

この名称は、ウェンツェル・クレイマース・ブリルアン法の頭文字をとったものです。LG法またはリウヴィル・グリーン法とも呼ばれます。他によく使われる文字の組み合わせには、JWKB法やWKBJ法があり、ここで「J」はジェフリーズ法を表します。

簡単な歴史

この手法は、1926年にこの手法を開発した物理学者のグレゴール・ウェンツェル、ヘンドリック・アンソニー・クレイマース、レオン・ブリルアンにちなんで名付けられました。 ^{[1] [2] [3] [4]} 1923年、^[5]に数学者ハロルド・ジェフリーズが、シュレーディンガー方程式を含む線形2階微分方程式の解を近似する一般的な手法を開発しました。シュレーディンガー方程式自体は2年後まで開発されず、ウェンツェル、クレイマース、ブリルアンは明らかにこの初期の研究を知らなかったため、ジェフリーズの功績はしばしば軽視されています。量子力学の初期のテキストには、WBK、BWK、WKBJ、JWKB、BWKJなど、これらの頭文字の組み合わせが数多く含まれています。権威ある議論と批判的な概説はロバート・B・ディングルによって行われました。^[6]

本質的に同等の方法が以前に登場した例としては、1817年のフランチェスコ・カルリーニ^[7] 、 1837年のジョセフ・リウヴィル^[8] 、1837年のジョージ・グリーン^{[9] 、1912年の} レイリー卿^[10] 、 1915年のリチャード・ガンズ^[11]などが挙げられます。リウヴィルとグリーンは1837年にこの方法を創始したと言われており、この方法はリウヴィル・グリーン法またはLG法とも呼ばれています。^{[12] [13]}

ジェフリーズ、ウェンツェル、クレイマース、ブリルアンによるこの手法への重要な貢献は、転換点の扱いを取り入れたことである。転換点とは、転換点の両側におけるエバネッセント解と振動解を結びつけるものである。例えば、シュレーディンガー方程式では、ポテンシャルエネルギーの丘によって、このような現象が生じる可能性がある。

処方

一般的に、WKB理論とは、最大導関数に小さなパラメータ εを乗じた微分方程式の解を近似する方法である。近似方法は以下の通りである。

微分方程式において、 δ → 0 の極限における漸近級数展開の形の解を仮定する。εに関するδの漸近スケーリングは、以下の式によって決定される。以下の例を参照のこと。 $${\displaystyle \varepsilon {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {dy}{dx}}+m(x)y=0,}$$ $${\displaystyle y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]}$$

上記の仮定を微分方程式に代入し、指数項を打ち消すと、展開図内の 任意の数の項S _n ( x )を解くことができます。

WKB理論は多重スケール解析の特殊なケースである。^{[14] [15] [16]}

例

この例はCarl M. BenderとSteven Orszagの著書^[16]から引用したものです。2階同次線形微分方程式を考えます。を代入すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle \varepsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$$ ${\displaystyle Q(x)\neq 0}$ $${\displaystyle y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]}$$ $${\displaystyle \varepsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}^{\prime }\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}^{\prime \prime }\right]=Q(x).}$$

εの主位数（現時点では、級数が漸近的に整合すると仮定）について、上記は次のように近似できる。 $${\displaystyle {\frac {\varepsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}{S_{0}^{\prime }}^{2}+{\frac {2\varepsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}^{\prime }S_{1}^{\prime }+{\frac {\varepsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}^{\prime \prime }=Q(x).}$$

δ → 0の極限では、支配的なバランスは次のように与えられる。 $${\displaystyle {\frac {\varepsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}{S_{0}^{\prime }}^{2}\sim Q(x).}$$

つまり、δはϵに比例する。これらを等しくし、そのべき乗を比較すると 、アイコナール方程式として認識できる。その解は $${\displaystyle \varepsilon ^{0}:\quad {S_{0}^{\prime }}^{2}=Q(x),}$$ $${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(x')}}\,dx'.}$$

ϵの一次べき乗を考慮すると、次の式が成り立ちます。k 1は任意_の定数です。 $${\displaystyle \varepsilon ^{1}:\quad 2S_{0}^{\prime }S_{1}^{\prime }+S_{0}^{\prime \prime }=0.}$$ $${\displaystyle S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln Q(x)+k_{1},}$$

これで、システムの近似値のペアが得られました（S _{0 は}2つの符号を取ることができるため、ペアになっています）。1次のWKB近似値は、2つの線形結合になります。 $${\displaystyle y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left({\frac {1}{\varepsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right)+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left(-{\frac {1}{\varepsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right).}$$

高次の項は、δの高次のべき乗の式を見ることで得られます。具体的には、 n ≥ 2 のときです。 $${\displaystyle 2S_{0}^{\prime }S_{n}^{\prime }+S_{n-1}^{\prime \prime }+\sum _{j=1}^{n-1}S_{j}^{\prime }S_{n-j}^{\prime }=0}$$

漸近級数の精度

y ( x )の漸近級数は通常、発散級数であり、その一般項δ ⁿ S _n ( x )はある値n = n _maxを超えると増加し始める。したがって、WKB法によって達成される最小誤差は、せいぜい含まれる最後の項のオーダー程度である。

Q ( x ) <0の方程式 、解析関数の場合、最後の項の値と大きさは次のように推定できます。 ^[17]ここで、 はを評価する必要がある点であり、 は に最も近い（複素）転換点です。 $${\displaystyle \varepsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$$ ${\displaystyle n_{\max }}$ $${\displaystyle n_{\max }\approx {\frac {2}{\varepsilon }}\left|\int _{x_{0}}^{x_{\ast }}{\sqrt {-Q(z)}}\,dz\right|,}$$ $${\displaystyle \delta ^{n_{\max }}S_{n_{\max }}(x_{0})\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{n_{\max }}}}e^{-n_{\max }},}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle y(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{\ast }}$ ${\displaystyle Q(x_{\ast })=0}$ ${\displaystyle x=x_{0}}$

数値n _maxは、最も近い転換点との間の振動数として解釈できます。 ${\displaystyle x_{0}}$

がゆっくり変化する関数である場合、 n _maxの数は大きくなり、漸近級数の最小誤差は指数的に小さくなります。 ${\displaystyle \varepsilon ^{-1}Q(x)}$ $${\displaystyle \varepsilon \left|{\frac {dQ}{dx}}\right|\ll Q^{2},^{{\text{[might be }}Q^{3/2}{\text{?]}}}}$$

非相対論的量子力学への応用

示されたポテンシャルに対するWKB近似。垂直線は転換点を示す。

近似波動関数の確率密度。縦線は転換点を示す。

上記の例は、1次元の時間独立なシュレーディンガー方程式に特に適用でき、次のように書き直すことができる。 $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x),}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x).}$$

転換点から離れた近似

波動関数は、別の関数S (作用と密接に関連している)の指数関数として書き直すことができ、この関数は複素数になる可能性があるため、シュレーディンガー方程式に代入すると次の式が得られます。 $${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} )=e^{iS(\mathbf {x} )/\hbar },}$$

$${\displaystyle i\hbar \nabla ^{2}S(\mathbf {x} )-\left(\nabla S(\mathbf {x} )\right)^{2}=2m\left(V(\mathbf {x} )-E\right),}$$

次に、半古典的近似を用いる。これは、各関数がħのべき級数として展開されることを意味する。方程式に代入し、ℏの1次までの項のみを保持すると、以下の式が得られる。これは以下の2つの関係式を与える。これは1次元系について解くことができ、最初の式は次式となる。そして、上記の可能な値について計算された2番目の式は、一般的に次のように表される。 $${\displaystyle S=S_{0}+\hbar S_{1}+\hbar ^{2}S_{2}+\cdots }$$ $${\displaystyle \left(\nabla S_{0}+\hbar \nabla S_{1}\right)^{2}-i\hbar \left(\nabla ^{2}S_{0}\right)=2m\left(E-V(\mathbf {x} )\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\nabla S_{0}\right)^{2}=2m\left(E-V(\mathbf {x} )\right)&=\left(p(\mathbf {x} )\right)^{2}\\[1ex]2\nabla S_{0}\cdot \nabla S_{1}-i\nabla ^{2}S_{0}&=0\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\pm \int p(x)\,dx}$$ $${\displaystyle \Psi (x)\approx C_{+}{\frac {e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int p(x)\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}+C_{-}{\frac {e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int p(x)\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}}$$

したがって、結果として得られる波動関数は、WKB近似の1次関数として次のように表される。^{[18] [19]}

${\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx}+C_{-}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx}}{\sqrt[{4}]{2m\left|E-V(x)\right|}}}}$

古典的に許容される領域、すなわち指数の積分関数が虚数で近似波動関数が振動する領域では、解は増加するか減少する。分母から明らかなように、これらの近似解は両方とも、 E = V ( x )となる古典的な転換点付近で特異となり、有効ではなくなる。（転換点とは、古典的な粒子が方向を変える点である。） ${\displaystyle V(x)<E}$ ${\displaystyle V(x)>E}$

したがって、 のとき、波動関数は次のように表現されるように選択できます。のときは、 となります。この解の積分は、古典的な転換点と任意の位置 x' の間で計算されます。 ${\displaystyle E>V(x)}$ $${\displaystyle \Psi (x')\approx {\frac {1}{\sqrt {|p(x)|}}}\left[C\cos \left({\frac {1}{\hbar }}\int \left|p(x)\right|dx+\alpha \right)+D\sin \left(-{\frac {1}{\hbar }}\int \left|p(x)\right|dx+\alpha \right)\right]}$$ ${\displaystyle V(x)>E}$ $${\displaystyle \Psi (x')\approx {\frac {C_{+}e^{-{\frac {1}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}+{\frac {C_{-}e^{+{\frac {1}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}.}$$

WKB解の妥当性

条件から： $${\displaystyle \left(S_{0}'(x)\right)^{2}-\left(p(x)\right)^{2}+\hbar \left(2S_{0}'(x)S_{1}'(x)-iS_{0}''(x)\right)=0}$$

結果は次のようになります: ${\textstyle \hbar \left|2S_{0}'(x)S_{1}'(x)\right|+\hbar \left|iS_{0}''(x)\right|\ll \left|(S_{0}'(x))^{2}\right|+\left|(p(x))^{2}\right|}$

WKB近似で使用されるように、どちらの辺の項も等しいため、次の2つの不等式は等価です。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \left|S_{0}''(x)\right|&\ll \left|(S_{0}'(x))^{2}\right|\\2\hbar \left|S_{0}'S_{1}'\right|&\ll \left|(p'(x))^{2}\right|\end{aligned}}}$$

最初の不等式は、次のことを示すために使用できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \left|S_{0}''(x)\right|&\ll \left|p(x)\right|^{2}\\{\frac {1}{2}}{\frac {\hbar }{|p(x)|}}\left|{\frac {dp^{2}}{dx}}\right|&\ll \left|p(x)\right|^{2}\\\lambda \left|{\frac {dV}{dx}}\right|&\ll {\frac {\left|p\right|^{2}}{m}}\\\end{aligned}}}$$

ここでが用いられ、は波動関数の局所ド・ブロイ波長である。この不等式は、ポテンシャルの変化が緩やかに変化すると仮定していることを意味している。 ^{[19] [20]}この条件は、 の分数変化、または運動量の分数変化が、波長にわたってよりもはるかに小さい、とも言い換えられる。^[21] ${\textstyle |S_{0}'(x)|=|p(x)|}$ ${\textstyle \lambda (x)}$ ${\textstyle E-V(x)}$ ${\textstyle p(x)}$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle 1}$

同様に、WKB近似の根底にある仮定に基づく制約も示すことができる。これは、粒子のド・ブロイ波長がゆっくりと変化していることを意味する。 ^[20] ${\textstyle \lambda (x)}$ $${\displaystyle \left|{\frac {d\lambda }{dx}}\right|\ll 1}$$

転換点付近の行動

ここで、波動関数の転換点付近での挙動について考察する。そのためには別の方法が必要となる。最初の転換点（x _{1 ）}付近では、項はべき級数展開できる。 ${\textstyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$ $${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}\cdot (x-x_{1})+U_{2}\cdot (x-x_{1})^{2}+\cdots \;.}$$

一次微分方程式はエアリー方程式として知られており、その解はエアリー関数で表すことができる。^[22] $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}\cdot (x-x_{1})\cdot \Psi (x).}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (x)&=C_{A}\operatorname {Ai} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)\\&=C_{A}\operatorname {Ai} \left(u\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left(u\right).\end{aligned}}}$$

の任意の固定値に対して、波動関数は転換点付近で有界となりますが、上の図に見られるように、そこで波動関数はピークに達します。が小さくなるにつれて、転換点における波動関数の高さは増大します。この近似から、以下の式も成り立ちます。 ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \hbar }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\hbar }}\int p(x)\,dx&={\sqrt {U_{1}}}\int {\sqrt {x-a}}\,dx\\&={\frac {2}{3}}\left[{\sqrt[{3}]{U_{1}}}\left(x-a\right)\right]^{\frac {3}{2}}={\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}\end{aligned}}}$$

接続条件

シュレーディンガー方程式の大域的（近似的）解を構築することが残されている。波動関数が二乗積分可能であるためには、2つの古典的禁制領域における指数関数的に減衰する解のみを取らなければならない。そして、これらの解は転換点を通して古典的に許容される領域に適切に「接続」されなければならない。E のほとんどの値に対して、この対応付け手順は機能しない。解を古典的に許容される領域の近くに接続して得られる関数は、解を古典的に許容される領域の近くに接続して得られる関数と一致しない。2つの関数が一致するという要件は、エネルギーEに条件を課し、それが正確な量子エネルギー準位の近似値を与える。 ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

示されたポテンシャルに対するWKB近似。垂直線はエネルギー準位を示し、ポテンシャルとの交点は点線で示した転換点を示す。この問題には、 と の2つの古典的な転換点が存在する。 ${\displaystyle U_{1}<0}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle U_{1}>0}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

波動関数の係数は、図に示すような簡単な問題で計算できます。最初の転換点（電位がxに対して減少する点）が で発生し、2番目の転換点（電位がxに対して増加する点）が で発生するとします。波動関数が以下の形をとると予想されるので、エアリー関数とベイリー関数を用いて異なる領域を接続することで、係数を計算できます。 ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{V>E}(x)&\approx u^{-{\frac {1}{4}}}\left[A\exp \left({\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}\right)+B\exp \left(-{\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}\right)\right]\\\Psi _{E>V}(x)&\approx u^{-{\frac {1}{4}}}\left[C\cos \left({\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha \right)+D\sin \left({\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha \right)\right]\\\end{aligned}}}$$

最初の古典的転換点

例えば、ポテンシャルが減少する条件、あるいは図に示した例では、指数関数はxの負の値に対して減衰し、波動関数はゼロになることが求められる。ベイリー関数を必要な接続式とみなすと、以下の式が得られる。^[23] ${\displaystyle U_{1}<0}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Bi} (u)&\to -{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}\sin \left({\frac {2}{3}}|u|^{\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)&{\text{where}}\quad u\to -\infty \\[1ex]\operatorname {Bi} (u)&\to {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}\exp \left({\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}\right)&{\textrm {where}}\quad u\to +\infty \end{aligned}}}$$

エアリー関数は負のxに対して指数関数的に増加する挙動を示すため、使用できません。WKB解と比較し、それらの挙動を で一致させることで、以下の結論が得られます。 ${\displaystyle \pm \infty }$

${\displaystyle A=-D=N}$、そして。 ${\displaystyle B=C=0}$ ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}$

したがって、ある正規化定数を とすると、波動関数はポテンシャル（xとともに）の増加に対して次のように与えられる：^[19] ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\cdot {\begin{cases}-\exp \left(-Q_{1}(x)\right)&{\text{if }}x<x_{1}\\\sin \left(Q_{1}(x)-{\frac {\pi }{4}}\right)&{\text{if }}x_{2}>x>x_{1}\\\end{cases}}}$$どこ。 ${\textstyle Q_{1}(x)={\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x')|\,dx'}$

第二の古典的転換点

例えば、ポテンシャルが増加する条件、あるいは図に示した例では、指数関数はxの正の値に対して減衰し、波動関数はゼロになることが求められる。エアリー関数を必要な接続式とみなすと、以下の式が得られる。^[23] ${\displaystyle U_{1}>0}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (u)&\rightarrow {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}e^{-{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}&{\textrm {where,}}\quad u\rightarrow +\infty \\\operatorname {Ai} (u)&\rightarrow {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}\cos {\left({\frac {2}{3}}|u|^{\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&{\textrm {where,}}\quad u\rightarrow -\infty \\\end{aligned}}}$$

ベイリー関数は正のxに対して指数関数的に増加する挙動を示すため、使用できません。WKB解と比較し、それらの挙動を で一致させることで、以下の結論が得られます。 ${\displaystyle \pm \infty }$

${\displaystyle 2B=C=N'}$、そして。 ${\displaystyle D=A=0}$ ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}$

したがって、ある正規化定数を とすると、波動関数はポテンシャル（xとともに）の増加に対して次のように与えられる：^[19] ${\displaystyle N'}$

$${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\begin{cases}{\frac {N'}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos \left(Q_{2}(x)-{\frac {\pi }{4}}\right)&{\text{if }}x_{1}<x<x_{2}\\{\frac {N'}{2{\sqrt {|p(x)|}}}}\exp \left(Q_{2}(x)\right)&{\text{if }}x>x_{2}\end{cases}}}$$どこ。 ${\textstyle Q_{2}(x)={\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}\left|p(x')\right|dx'}$

共通振動波動関数

領域 の2つの解を一致させるには、これらの関数における角度の差が となることが必要である。ここで位相差は波動関数の余弦を正弦に変換することと、 とすることで関数の反転が生じることを考慮すると、 となる。したがって、 次のようになる。ここでnは非負の整数である。この条件は次のように書き直すこともできる。 ${\displaystyle x_{1}<x<x_{2}}$ ${\displaystyle \pi (n+1/2)}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle n\pi }$ ${\displaystyle N=(-1)^{n}N'}$ $${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\pi \hbar ,}$$

古典的なエネルギー曲線で囲まれた領域は です。 ${\displaystyle 2\pi \hbar (n+1/2)}$

いずれにせよ、エネルギーに関する条件はボーア・ゾンマーフェルトの量子化条件の一種であり、「マズロフ補正」は1/2に等しい。^[24]

様々な領域における近似をつなぎ合わせると、実際の固有関数の良い近似値が得られることが示せます。特に、マスロフ補正されたボーア・ゾンマーフェルトのエネルギーは、シュレーディンガー作用素の実際の固有値の良い近似値です。^[25]具体的には、エネルギーの誤差は、量子エネルギー準位の典型的な間隔に比べて小さいです。したがって、ボーアとゾンマーフェルトの「古い量子理論」は最終的にシュレーディンガー方程式に置き換えられましたが、適切なシュレーディンガー作用素の固有値の近似値として、その理論の痕跡がいくらか残っています。

一般的な接続条件

このように、2つのケースから、古典的な転換点における接続式が得られる。[ ^20] ${\displaystyle x=a}$

$${\displaystyle {\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{a}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}}\right)}\Longrightarrow -{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{x}|p(x)|dx\right)}}$$

そして：

$${\displaystyle {\frac {N'}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{a}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}}\right)}\Longleftarrow {\frac {N'}{2{\sqrt {|p(x)|}}}}\exp {\left(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{x}|p(x)|dx\right)}}$$

古典的な転換点から離れた位置におけるWKB波動関数は、左側に示す古典的に許容される領域では振動する正弦関数または余弦関数で近似され、右側に示す禁制領域では指数関数の増加または減少によって近似されます。この含意は、指数関数の増加が指数関数の減少よりも優勢であることから導き出されます。したがって、波動関数の振動部分または指数関数部分の解は、関連する転換点だけでなく、他のポテンシャル領域における波動関数の形状も示唆します。

確率密度

次に、近似波動関数に関連する確率密度を計算する。量子粒子が古典的に禁制領域に存在する確率は小さい。一方、古典的に許容される領域では、量子粒子が特定の区間に存在する確率は、古典粒子が1周期の運動中にその区間で過ごす時間の割合にほぼ等しい。^[26]古典粒子の速度は転換点でゼロになるため、古典的に許容される他の領域よりも転換点付近でより多くの時間を費やす。この観察結果は、転換点付近の波動関数（およびその確率密度）がピークとなる理由を説明している。

ミュラー・キルステンは、WKB法を様々なポテンシャルを持つシュレーディンガー方程式に適用し、摂動法や経路積分との比較を行っている。^[27]

量子力学における例

WKBポテンシャルは滑らかに変化するポテンシャルにのみ適用されますが^[20] 、剛体壁がポテンシャルの無限大を生成する例においても、WKB近似は滑らかに変化するポテンシャル領域における波動関数の近似に使用できます。剛体壁はポテンシャルの不連続性が非常に高いため、これらの点では接続条件を適用できず、得られる結果も上記の処理とは異なる可能性があります^{[19] 。}

1つの剛体壁の境界状態

このようなシステムの可能性は、次の形式で表すことができます。

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V(x)&{\text{if }}x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$$

どこ。 ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

境界領域、つまり古典的な転換点との範囲内の波動関数を求めるには、それぞれとから離れた近似を考慮することにより、2つの解が得られます。 ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx+\alpha \right)}\\\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx+\beta \right)}\end{aligned}}}$$

波動関数は 付近で消滅しなければならないため、 と結論付けられます。 付近のエアリー関数についてはが必要です。これらの関数内の角度には位相差が必要です。この位相差は、正弦を余弦に変換し、を許容することを考慮しています。 ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle \alpha =0}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\textstyle \beta =-{\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle \pi (n+1/2)}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle n\pi }$ ${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x)|dx=\pi \left(n+{\frac {3}{4}}\right)}$$ここでnは非負の整数である。^[19] nが非ゼロの自然数のみを許される場合、この式の右辺は次のようになることに注意されたい。 ${\displaystyle \pi (n-1/4)}$

したがって、球対称の3次元では、この問題との類似性から、位置xを半径距離rに置き換えた場合と同じ条件が成立すると結論付けられる。 ^[28] ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$ $${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \hbar }$$

2つの剛体壁内の束縛状態

このようなシステムの可能性は、次の形式で表すことができます。

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}\infty &{\text{if }}x>x_{2}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$$

どこ。 ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

との間は古典的な転換点であるため、とからそれぞれ遠い近似値を考慮すると、2 つの解が得られます。 ${\textstyle E\geq V(x)}$ ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin \left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx\right)\\\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin \left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx\right)\end{aligned}}}$$

波動関数はおよびで消滅しなければならないため、位相差は のみを考慮すればよく、は を許容する。したがって、条件は次のようになる。 ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\displaystyle n\pi }$ ${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=n\pi \hbar }$$ただし、波動関数がどこでもゼロになるため、ゼロにはなりません。^[19] ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$

量子跳ねるボール

跳ね返るボールが受ける次のような可能性を考慮してください。

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}mgx&{\text{if }}x\geq 0\\\infty &{\text{if }}x<0\end{cases}}}$$

上記の波動関数解は、代替ポテンシャルの奇パリティ解のみを考慮することで、WKB法を用いて解くことができる。古典的な転換点はと として特定される。したがって、WKBで得られた量子化条件を適用すると、次のようになる。 ${\displaystyle V(x)=mg|x|}$ ${\textstyle x_{1}=-{E \over mg}}$ ${\textstyle x_{2}={E \over mg}}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n_{\text{odd}}+1/2)\pi \hbar }$$

とすると、与えられた を使ってを解くと、跳ねるボールの量子力学的エネルギーが得られる。 ^[29] ${\textstyle n_{\text{odd}}=2n-1}$ ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$ ${\textstyle E}$ ${\displaystyle V(x)=mg|x|}$

$${\displaystyle E={\left(3\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \right)^{\frac {2}{3}} \over 2}(mg^{2}\hbar ^{2})^{\frac {1}{3}}.}$$

この結果は、代替ポテンシャルを考慮する必要なく、1 つの剛壁の境界状態からの方程式を使用することとも一致しています。

量子トンネル効果

このようなシステムの可能性は、次の形式で表すことができます。

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<x_{1}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\0&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$$

どこ。 ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

入射波に対する解は次のように与えられる。

$${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}Ae^{ik_{0}x}+Be^{-ik_{0}x}&{\text{if }}x<x_{1}\\[1ex]{\frac {C}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp \left(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}|p(x)|dx\right)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\[1ex]De^{ik_{0}x}&{\text{if }}x>x_{2}\end{cases}}}$$

ここで、古典的禁制領域における波動関数はWKB近似ですが、指数関数の増加を無視しています。これは、波動関数が大きな大きさまで増加することが期待されない広いポテンシャル障壁に対して妥当な仮定です。 ${\displaystyle k_{0}=p_{0}/\hbar }$

波動関数とその導関数の連続性の要件により、次の関係が示されます。 $${\displaystyle {\frac {|D|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}})}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

ここで、および。 ${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$ ${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$

を使用して、符号なしの値を次のように表します。 ${\textstyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\text{inc.}}&={\tfrac {\hbar }{2m}}\left({\tfrac {2p_{0}}{\hbar }}|A|^{2}\right)\\J_{\text{ref.}}&={\tfrac {\hbar }{2m}}\left({\tfrac {2p_{0}}{\hbar }}|B|^{2}\right)\\J_{\text{trans.}}&={\tfrac {\hbar }{2m}}\left({\tfrac {2p_{0}}{\hbar }}|D|^{2}\right)\end{aligned}}}$$

したがって、透過係数は次のようになります。

$${\displaystyle T={\frac {|D|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{\left(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}}\right)}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

ここで、であり、 である。結果は と表すことができる。^[19] ${\textstyle p(x)={\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}}$ ${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$ ${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$ ${\textstyle T\sim ~e^{-2\gamma }}$ ${\textstyle \gamma =\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'}$

参照

• 数学ポータル
• 物理学ポータル

• エアリー機能
• アインシュタイン・ブリルアン・ケラー法
• 電界電子放出
• インスタントン
• ランガー補正
• マスロフ指数
• ドミナントバランス法
• 整合漸近展開法
• 最急降下法
• 古い量子論
• 摂動法
• 量子トンネル効果
• ゆっくり変化するエンベロープ近似
• 超対称WKB近似

参考文献

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さらに読む

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• リボフ、リチャード・L. (2003).量子力学入門（第4版）. アディソン・ウェスレー. ISBN 0-8053-8714-5。
• オルバー、フランク・ウィリアム・ジョン（1974年）『漸近論と特殊関数』アカデミック・プレス、ISBN 0-12-525850-X。
• ラザヴィ、モフセン（2003年）『トンネル効果の量子理論』ワールド・サイエンティフィック社、ISBN 981-238-019-1。

外部リンク

• フィッツパトリック、リチャード (2002).「WKB近似」(WKB 近似を電離層からの電波の散乱に適用したもの。)

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