Shape taken by a self-gravitating fluid body rotating at constant velocity
三軸楕円体の形をした準惑星、 ハウメア の芸術的描写。 ヤコビ 楕円体 とは、均一な 密度を持つ 自重力 流体 体が 一定の 角速度 で回転する際に生じる、 静水力平衡 状態にある 三軸（すなわち不等辺）楕円体 である。ドイツの数学者 カール・グスタフ・ヤコビ・ヤコビ にちなんで名付けられた 。 [1]
歴史 ヤコビ以前は、 1742年に定式化された マクローリン回転楕円体 が、平衡状態にある 唯一の 楕円体と考えられていました。 [2] [3] ラグランジュは 1811年に [4] 、三軸楕円体が平衡状態にある可能性を検討しましたが、 楕円体 の2つの赤道軸は等しくなければならないと結論付け、マクローリン回転楕円体の解に至りました。しかし ヤコビは、 ラグランジュ の証明は十分条件ではあっても必須条件ではないことに 気づきました。彼は次のように述べています。 [5]
「たとえ 2 次曲面という限定的な仮定の下でも、回転楕円体だけが平衡図形として許容されると考えるのは大きな間違いである」 (...) 「実際、単純な考察によって、3 本の不等軸を持つ楕円体も十分に平衡図形となり得ることが示される。また、赤道断面に任意の形状の楕円を仮定し、3 つ目の軸 (3 つの軸のうち最も小さい軸) と回転角速度を決定することで、楕円体が平衡図形となることも示される。」
ヤコビ楕円体とマクローリン回転楕円体の赤道方向（ a 、 b ）および極方向（ c ）の半主軸。abc = 1（すなわち体積が4π/3で一定）を条件として、正規化角運動量の関数として表されている。破線は、マクローリン回転 楕円 体 が 動的 安定性は有するが永年安定性は有さない領域におけるものである。粘性流体によってエネルギーを散逸させることができれば、マクローリン回転楕円体はヤコビ楕円体へと緩和する。 赤道半主軸 と極半主軸 を持つ楕円体の場合、 その周りの 角速度は 次のように表される。 a , b {\displaystyle a,\ b} c {\displaystyle c} Ω {\displaystyle \Omega } c {\displaystyle c}
Ω 2 π G ρ = 2 a b c ∫ 0 ∞ u d u ( a 2 + u ) ( b 2 + u ) Δ , Δ 2 = ( a 2 + u ) ( b 2 + u ) ( c 2 + u ) , {\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}=2abc\int _{0}^{\infty }{\frac {u\,du}{(a^{2}+u)(b^{2}+u)\Delta }}\ ,\quad \Delta ^{2}=(a^{2}+u)(b^{2}+u)(c^{2}+u),} ここで 密度は、 重力定数 であり 、条件 ρ {\displaystyle \rho } G {\displaystyle G}
a 2 b 2 ∫ 0 ∞ d u ( a 2 + u ) ( b 2 + u ) Δ = c 2 ∫ 0 ∞ d u ( c 2 + u ) Δ . {\displaystyle a^{2}b^{2}\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{(a^{2}+u)(b^{2}+u)\Delta }}=c^{2}\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{(c^{2}+u)\Delta }}.} および の固定値に対して 、上記の条件は の解を持ち 、 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c}
1 c 2 > 1 a 2 + 1 b 2 . {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}>{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.} 積分は不完全楕円積分 で表すことができる 。 [6] カールソン対称形 楕円積分 を用いると 、角速度の式は次のようになる。 R J {\displaystyle R_{J}}
Ω 2 π G ρ = 4 a b c 3 ( a 2 − b 2 ) [ a 2 R J ( a 2 , b 2 , c 2 , a 2 ) − b 2 R J ( a 2 , b 2 , c 2 , b 2 ) ] {\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {4abc}{3(a^{2}-b^{2})}}[a^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2})-b^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2})]} そして半主軸の相対的な大きさに関する条件 は a , b , c {\displaystyle a,\ b,\ c}
a 2 b 2 b 2 − a 2 [ R J ( a 2 , b 2 , c 2 , a 2 ) − R J ( a 2 , b 2 , c 2 , b 2 ) ] = c 2 R J ( a 2 , b 2 , c 2 , c 2 ) . {\displaystyle {\frac {a^{2}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}[R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2})-R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2})]=c^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},c^{2}).} ヤコビ楕円体の 角運動量は次のように与えられる。 L {\displaystyle L}
L G M 3 r = 3 10 a 2 + b 2 r 2 Ω 2 π G ρ , r = a b c 3 , {\displaystyle {\frac {L}{\sqrt {GM^{3}r}}}={\frac {\sqrt {3}}{10}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{r^{2}}}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,\quad r={\sqrt[{3}]{abc}},} ここで 、 は楕円体の質量、は 平均半径 、つまり楕円体と同じ体積の球の半径 です。 M {\displaystyle M} r {\displaystyle r}
デデキント楕円体との関係 ヤコビ楕円体とデデキント楕円体はどちらも、回転する均質な自己重力流体の平衡図形です。しかし、ヤコビ楕円体は回転座標系内で流体の内部流動を伴わずに回転するのに対し、デデキント楕円体は固定された姿勢を維持し、構成流体は内部を循環します。これは デデキントの定理 から直接導かれる結果です。
任意のヤコビ楕円体に対して、同じ半主軸 と同じ質量を持ち、 流速場が [7] であるデデキント楕円体が存在する。 a , b , c {\displaystyle a,\ b,\ c}
u = ζ − a 2 y x ^ + b 2 x y ^ a 2 + b 2 , {\displaystyle \mathbf {u} =\zeta {\frac {-a^{2}y\mathbf {\hat {x}} +b^{2}x\mathbf {\hat {y}} }{a^{2}+b^{2}}},} ここで、 は 楕円体の軸 とそれぞれ一致する 軸上の直交座標である。ここで 渦度 は 回転楕円体全体で均一である（ ）。ヤコビ楕円体の角速度と対応するデデキント楕円体の渦度は 、[7] の関係式で表される。 x , y , z {\displaystyle x,\ y,\ z} x ^ , y ^ , z ^ {\displaystyle {\hat {x}},\ {\hat {y}},\ {\hat {z}}} a , b , c {\displaystyle a,\ b,\ c} ζ {\displaystyle \zeta } ∇ × u = ζ z ^ {\displaystyle \nabla \times \mathbf {u} =\zeta \mathbf {\hat {z}} } Ω {\displaystyle \Omega }
ζ = ( a b + b a ) Ω . {\displaystyle \zeta =\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right)\Omega .} つまり、デデキント楕円体の流体の各粒子は、 ヤコビ回転楕円体が 1 回転するのと同じ周期で、 同様の楕円回路を描きます。
の特殊なケースでは 、ヤコビ楕円体とデデキント楕円体（およびマクローリン回転楕円体）は一体となり、物体の回転と円流は同じものになります。この場合 、剛体回転体では常にそうであるように、 となります。 a = b {\displaystyle a=b} ζ = 2 Ω {\displaystyle \zeta =2\Omega }
一般的に、ヤコビ楕円体とデデキント楕円体はエネルギーは同じであるが [8] 、ヤコビ回転楕円体の角運動量は [8] 倍大きい。
L J a c L D e d = 1 2 ( a b + b a ) . {\displaystyle {\frac {L_{\mathrm {Jac} }}{L_{\mathrm {Ded} }}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right).}
参照
参考文献 ^ ジャコビ、CG (1834)。 「Ueber die Figur des Gleichgewichts」。 Annalen der Physik (ドイツ語)。 109 ( 8–16 ): 229–233 。 Bibcode :1834AnP...109..229J。 土井 ：10.1002/andp.18341090808。 ^ Chandrasekhar, S. (1969). 平衡楕円体図形 . 第10巻. ニューヘイブン: イェール大学出版局. p. 253. ^ Chandrasekhar, S. (1967). 「平衡楕円体図形―歴史的説明」. 純粋・応用数学通信 . 20 (2): 251– 265. doi :10.1002/cpa.3160200203. ^ ラグランジュ、JL (1811)。 Mécanique Analytique 派。 IV 2巻 ^ ディリクレ、GL (1856)。 「カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビの帰還」。 Journal für die reine und angewandte Mathematik (ドイツ語)。 52 : 193–217 . ^ Darwin, GH (1886). 「回転する流体のヤコビの平衡図について」. Proceedings of the Royal Society of London . 41 ( 246–250 ): 319–336 . Bibcode :1886RSPS...41..319D. doi :10.1098/rspl.1886.0099. S2CID 121948418. ^ ab Chandrasekhar, Subrahmanyan (1965). 「デデキント楕円体の平衡と安定性」. 天体物理学ジャーナル . 141 : 1043–1055 . Bibcode :1965ApJ...141.1043C. doi : 10.1086/148195 . ^ ab バーディーン、ジェームズ・M. (1973). 「高速回転する星、円盤、そしてブラックホール」. C. デウィット、ブライス・セリグマン・デウィット編. ブラックホール . ハウチェス講演シリーズ. CRCプレス. pp. 267– 268. ISBN 9780677156101 。 
![{\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {4abc}{3(a^{2}-b^{2})}}[a^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2})-b^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b4303cd26f1de902623b7868526df8682f07544)
![{\displaystyle {\frac {a^{2}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}[R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2})-R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2})]=c^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},c^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0242c387e41ab023fad4f22289469cc2df89edc4)
![{\displaystyle {\frac {L}{\sqrt {GM^{3}r}}}={\frac {\sqrt {3}}{10}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{r^{2}}}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,\quad r={\sqrt[{3}]{abc}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb4a95b353e1dca1b5596b1537ee7426b37dfef1)
