Polynomial sequence
Mathematica 13.1のComplexPlot3D関数を使用して作成された、 複素 平面上の、およびの ヤコビ 多項式 関数のプロット（色 付き） P n ( α , β ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}} n = 10 {\displaystyle n=10} α = 2 {\displaystyle \alpha =2} β = 2 {\displaystyle \beta =2} − 2 − 2 i {\displaystyle -2-2i} 2 + 2 i {\displaystyle 2+2i} 数学 において 、 ヤコビ多項式 （ 超幾何多項式 と呼ばれることもある）は、 古典的な 直交多項式 の一種です。 区間の 重みに関して直交します 。 ゲーゲンバウアー多項式 、そして ルジャンドル多項式 、 ゼルニケ多項式 、 チェビシェフ多項式は 、ヤコビ多項式の特殊なケースです。 [1] P n ( α , β ) ( x ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)} ( 1 − x ) α ( 1 + x ) β {\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]}
ヤコビ多項式は、 カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ によって導入された。
定義
超幾何関数を介して ヤコビ多項式は、超幾何 関数を介して次のように 定義されます。 [2] [1] : IV.1
P n ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) n n ! 2 F 1 ( − n , 1 + α + β + n ; α + 1 ; 1 2 ( 1 − z ) ) , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,{}_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),} ここでは ポッホハマーの記号 （上昇階乗を表す）である 。この場合、超幾何関数の級数は有限であるため、次の同値な式が得られる。 ( α + 1 ) n {\displaystyle (\alpha +1)_{n}}
P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + n + 1 ) n ! Γ ( α + β + n + 1 ) ∑ m = 0 n ( n m ) Γ ( α + β + n + m + 1 ) Γ ( α + m + 1 ) ( z − 1 2 ) m . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}.}
等価な定義は ロドリゲスの公式 によって与えられます。 [1] : IV.3 [3]
P n ( α , β ) ( z ) = ( − 1 ) n 2 n n ! ( 1 − z ) − α ( 1 + z ) − β d n d z n { ( 1 − z ) α ( 1 + z ) β ( 1 − z 2 ) n } . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }\left(1-z^{2}\right)^{n}\right\}.} ならば 、 ルジャンドル多項式 に簡約されます： α = β = 0 {\displaystyle \alpha =\beta =0}
P n ( z ) = 1 2 n n ! d n d z n ( z 2 − 1 ) n . {\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}\;.}
微分方程式 ヤコビ多項式は、スケーリングを除けば、 シュトゥルム・リウヴィル問題 [1] の唯一の多項式解です 。IV.2 P n ( α , β ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}
( 1 − x 2 ) y ″ + ( β − α − ( α + β + 2 ) x ) y ′ = λ y {\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'=\lambda y} ここで 。もう1つの解は対数関数です。 ボッホナーの定理は 、ヤコビ多項式は多項式係数を持つシュトゥルム・リウヴィル問題の多項式解として一意に特徴付けられることを述べています。 λ = − n ( n + α + β + 1 ) {\displaystyle \lambda =-n(n+\alpha +\beta +1)}
実数引数の別の表現 実数の場合、 ヤコビ多項式は次のように書くこともできます。 x {\displaystyle x}
P n ( α , β ) ( x ) = ∑ s = 0 n ( n + α n − s ) ( n + β s ) ( x − 1 2 ) s ( x + 1 2 ) n − s {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s=0}^{n}{n+\alpha \choose n-s}{n+\beta \choose s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{n-s}} 整数の場合 n {\displaystyle n}
( z n ) = { Γ ( z + 1 ) Γ ( n + 1 ) Γ ( z − n + 1 ) n ≥ 0 0 n < 0 {\displaystyle {z \choose n}={\begin{cases}{\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}}&n\geq 0\\0&n<0\end{cases}}} ここでは ガンマ関数 です 。 Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)}
4つの量、 、 が非負の整数である という特別な場合 、ヤコビ多項式は次のように書くことができます
。 n {\displaystyle n} n + α {\displaystyle n+\alpha } n + β {\displaystyle n+\beta } n + α + β {\displaystyle n+\alpha +\beta }
P n ( α , β ) ( x ) = ( n + α ) ! ( n + β ) ! ∑ s = 0 n 1 s ! ( n + α − s ) ! ( β + s ) ! ( n − s ) ! ( x − 1 2 ) n − s ( x + 1 2 ) s . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s=0}^{n}{\frac {1}{s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.} 1
和は、 階乗の引数が非負である
のすべての整数値に及びます s {\displaystyle s}
特別なケース P 0 ( α , β ) ( z ) = 1 , {\displaystyle P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(z)=1,} P 1 ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) + ( α + β + 2 ) z − 1 2 , {\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2){\frac {z-1}{2}},} P 2 ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) ( α + 2 ) 2 + ( α + 2 ) ( α + β + 3 ) z − 1 2 + ( α + β + 3 ) ( α + β + 4 ) 2 ( z − 1 2 ) 2 . {\displaystyle P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)}{2}}+(\alpha +2)(\alpha +\beta +3){\frac {z-1}{2}}+{\frac {(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)}{2}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{2}.} P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( 1 + 2 n + α + β ) Γ ( 1 + n ) Γ ( 1 + n + α + β ) ( z 2 ) n + lower-degree terms {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (1+2n+\alpha +\beta )}{\Gamma (1+n)\Gamma (1+n+\alpha +\beta )}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}+{\text{ lower-degree terms }}} したがって、最高係数は です 。 Γ ( 1 + 2 n + α + β ) 2 n n ! Γ ( 1 + n + α + β ) {\displaystyle {\frac {\Gamma (1+2n+\alpha +\beta )}{2^{n}n!\Gamma (1+n+\alpha +\beta )}}}
基本的性質
直交性 ヤコビ多項式は直交性条件を満たします。
∫ − 1 1 ( 1 − x ) α ( 1 + x ) β P m ( α , β ) ( x ) P n ( α , β ) ( x ) d x = 2 α + β + 1 2 n + α + β + 1 Γ ( n + α + 1 ) Γ ( n + β + 1 ) Γ ( n + α + β + 1 ) n ! δ n m , α , β > − 1. {\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},\qquad \alpha ,\ \beta >-1.} 定義されているように、重みに関して単位ノルムを持ちません。これは、 のとき、上記の式の右辺の平方根で割ることで修正できます n = m {\displaystyle n=m}
正規直交基底 は得られませんが 、その単純さから代替の正規化が好まれることがあります。
P n ( α , β ) ( 1 ) = ( n + α n ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}
対称関係 多項式は対称関係を持つ
P n ( α , β ) ( − z ) = ( − 1 ) n P n ( β , α ) ( z ) ; {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);} したがって、もう一方の終端値は
P n ( α , β ) ( − 1 ) = ( − 1 ) n ( n + β n ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}
微分 明示的な式の 階微分は k {\displaystyle k}
d k d z k P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + β + n + 1 + k ) 2 k Γ ( α + β + n + 1 ) P n − k ( α + k , β + k ) ( z ) . {\displaystyle {\frac {d^{k}}{dz^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}
再帰関係 を固定した のヤコビ多項式の 3項漸化 式 は次のとおりです。 [ 1] ：IV.5 α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta }
2 n ( n + α + β ) ( 2 n + α + β − 2 ) P n ( α , β ) ( z ) = ( 2 n + α + β − 1 ) { ( 2 n + α + β ) ( 2 n + α + β − 2 ) z + α 2 − β 2 } P n − 1 ( α , β ) ( z ) − 2 ( n + α − 1 ) ( n + β − 1 ) ( 2 n + α + β ) P n − 2 ( α , β ) ( z ) , {\displaystyle {\begin{aligned}&2n(n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)\\&\qquad =(2n+\alpha +\beta -1){\Big \{}(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)z+\alpha ^{2}-\beta ^{2}{\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(n+\alpha -1)(n+\beta -1)(2n+\alpha +\beta )P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z),\end{aligned}}} について。簡潔にするために 、 と 書くと 、これは の観点からは になります。 n = 2 , 3 , … {\displaystyle n=2,3,\ldots } a := n + α {\displaystyle a:=n+\alpha } b := n + β {\displaystyle b:=n+\beta } c := a + b = 2 n + α + β {\displaystyle c:=a+b=2n+\alpha +\beta } a , b , c {\displaystyle a,b,c}
2 n ( c − n ) ( c − 2 ) P n ( α , β ) ( z ) = ( c − 1 ) { c ( c − 2 ) z + ( a − b ) ( c − 2 n ) } P n − 1 ( α , β ) ( z ) − 2 ( a − 1 ) ( b − 1 ) c P n − 2 ( α , β ) ( z ) . {\displaystyle 2n(c-n)(c-2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(c-1){\Big \{}c(c-2)z+(a-b)(c-2n){\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(a-1)(b-1)c\;P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z).} ヤコビ多項式は超幾何関数で記述できるため、超幾何関数の漸化式はヤコビ多項式の同等の漸化式を与えます。特に、ガウスの 連続関係は 恒等式に対応します [4] ：付録B
( z − 1 ) d d z P n ( α , β ) ( z ) = 1 2 ( z − 1 ) ( 1 + α + β + n ) P n − 1 ( α + 1 , β + 1 ) = n P n ( α , β ) − ( α + n ) P n − 1 ( α , β + 1 ) = ( 1 + α + β + n ) ( P n ( α , β + 1 ) − P n ( α , β ) ) = ( α + n ) P n ( α − 1 , β + 1 ) − α P n ( α , β ) = 2 ( n + 1 ) P n + 1 ( α , β − 1 ) − ( z ( 1 + α + β + n ) + α + 1 + n − β ) P n ( α , β ) 1 + z = ( 2 β + n + n z ) P n ( α , β ) − 2 ( β + n ) P n ( α , β − 1 ) 1 + z = 1 − z 1 + z ( β P n ( α , β ) − ( β + n ) P n ( α + 1 , β − 1 ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}(z-1){\frac {d}{dz}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {1}{2}}(z-1)(1+\alpha +\beta +n)P_{n-1}^{(\alpha +1,\beta +1)}\\&=nP_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\alpha +n)P_{n-1}^{(\alpha ,\beta +1)}\\&=(1+\alpha +\beta +n)\left(P_{n}^{(\alpha ,\beta +1)}-P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\right)\\&=(\alpha +n)P_{n}^{(\alpha -1,\beta +1)}-\alpha P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\\&={\frac {2(n+1)P_{n+1}^{(\alpha ,\beta -1)}-\left(z(1+\alpha +\beta +n)+\alpha +1+n-\beta \right)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{1+z}}\\&={\frac {(2\beta +n+nz)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-2(\beta +n)P_{n}^{(\alpha ,\beta -1)}}{1+z}}\\&={\frac {1-z}{1+z}}\left(\beta P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\beta +n)P_{n}^{(\alpha +1,\beta -1)}\right)\,.\end{aligned}}}
母関数 ヤコビ多項式の生成関数は次のように与えられます。
∑ n = 0 ∞ P n ( α , β ) ( z ) t n = 2 α + β R − 1 ( 1 − t + R ) − α ( 1 + t + R ) − β , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)t^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-t+R)^{-\alpha }(1+t+R)^{-\beta },} ここで
R = R ( z , t ) = ( 1 − 2 z t + t 2 ) 1 2 , {\displaystyle R=R(z,t)=\left(1-2zt+t^{2}\right)^{\frac {1}{2}}~,} そして 平方根の 枝は となるように選択されます。 [1] ：IV.4 R ( z , 0 ) = 1 {\displaystyle R(z,0)=1}
その他の多項式 ヤコビ多項式は他の古典多項式に簡約されます。 [5]
超球面 ： ルジャンドル ： チェビシェフ ： ラゲール ： エルミート： C n ( λ ) ( x ) = ( 2 λ ) n ( λ + 1 2 ) n P n ( λ − 1 2 , λ − 1 2 ) ( x ) , P n ( α , α ) ( x ) = ( α + 1 ) n ( 2 α + 1 ) n C n ( α + 1 2 ) ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}C_{n}^{(\lambda )}(x)&={\frac {(2\lambda )_{n}}{\left(\lambda +{\frac {1}{2}}\right)_{n}}}P_{n}^{\left(\lambda -{\frac {1}{2}},\lambda -{\frac {1}{2}}\right)}(x),\\P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}(x)&={\frac {(\alpha +1)_{n}}{(2\alpha +1)_{n}}}C_{n}^{\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}(x).\end{aligned}}} P n ( x ) = C n ( 1 2 ) ( x ) = P n ( 0 , 0 ) ( x ) {\displaystyle P_{n}(x)=C_{n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x)=P_{n}^{(0,0)}(x)} T n ( x ) = P n ( − 1 2 , − 1 2 ) ( x ) / P n ( − 1 2 , − 1 2 ) ( 1 ) , U n ( x ) = C n ( 1 ) ( x ) = ( n + 1 ) P n ( 1 2 , 1 2 ) ( x ) / P n ( 1 2 , 1 2 ) ( 1 ) , V n ( x ) = P n ( − 1 2 , 1 2 ) ( x ) / P n ( − 1 2 , 1 2 ) ( 1 ) , W n ( x ) = ( 2 n + 1 ) P n ( 1 2 , − 1 2 ) ( x ) / P n ( 1 2 , − 1 2 ) ( 1 ) . T n ∗ ( x ) = T n ( 2 x − 1 ) , U n ∗ ( x ) = U n ( 2 x − 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&=P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)/P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(1),\\U_{n}(x)&=C_{n}^{(1)}(x)=(n+1)P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)/P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(1),\\V_{n}(x)&=P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)/P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(1),\\W_{n}(x)&=(2n+1)P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)/P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(1).\\T_{n}^{*}(x)&=T_{n}(2x-1),\\U_{n}^{*}(x)&=U_{n}(2x-1).\end{aligned}}} lim β → ∞ P n ( α , β ) ( 1 − ( 2 x / β ) ) = L n ( α ) ( x ) . lim α → ∞ P n ( α , β ) ( ( 2 x / α ) − 1 ) = ( − 1 ) n L n ( β ) ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \rightarrow \infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-(2x/\beta ))&=L_{n}^{(\alpha )}(x).\\\lim _{\alpha \rightarrow \infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}((2x/\alpha )-1)&=(-1)^{n}L_{n}^{(\beta )}(x).\end{aligned}}} lim α → ∞ α − 1 2 n P n ( α , α ) ( α − 1 2 x ) = H n ( x ) 2 n n ! {\displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow \infty }\alpha ^{-{\frac {1}{2}}n}P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}\left(\alpha ^{-{\frac {1}{2}}}x\right)={\frac {H_{n}(x)}{2^{n}n!}}}
確率過程 ヤコビ多項式は、 境界に達するまでのマルコフ過程の固有関数として現れます。に対して 、 次 式が成り立ちます。したがって、 この過程は ヤコビ過程 と呼ばれます。 [6] [7] [ − 1 , + 1 ] {\displaystyle [-1,+1]} L = ( 1 − x 2 ) ∂ 2 ∂ x 2 + ( p x + q ) ∂ ∂ x {\displaystyle {\mathcal {L}}=\left(1-x^{2}\right){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+(px+q){\frac {\partial }{\partial x}}} p = − ( β + α + 2 ) , q = β − α {\displaystyle p=-(\beta +\alpha +2),q=\beta -\alpha } L P n ( α , β ) = − n ( n + α + β + 1 ) P n ( α , β ) {\displaystyle {\mathcal {L}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}=-n(n+\alpha +\beta +1)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}
熱核 とおく
J ( α , β ) := − ( 1 − x 2 ) d 2 d x 2 − [ β − α − ( α + β + 2 ) x ] d d x {\displaystyle J^{(\alpha ,\beta )}:=-\left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-[\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x]{\frac {d}{dx}}} T t ( α , β ) := e − t J ( α , β ) {\displaystyle T_{t}^{(\alpha ,\beta )}:=e^{-tJ^{(\alpha ,\beta )}}} h n ( α , β ) = ∫ − 1 1 [ P n ( α , β ) ( x ) ] 2 ( 1 − x ) α ( 1 + x ) β d x = 2 α + β + 1 Γ ( n + α + 1 ) Γ ( n + β + 1 ) ( 2 n + α + β + 1 ) Γ ( n + α + β + 1 ) Γ ( n + 1 ) {\displaystyle h_{n}^{(\alpha ,\beta )}=\int _{-1}^{1}\left[P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\right]^{2}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{(2n+\alpha +\beta +1)\Gamma (n+\alpha +\beta +1)\Gamma (n+1)}}} G t ( α , β ) ( x , y ) = ∑ n = 0 ∞ exp ( − t n ( n + α + β + 1 ) ) P n ( α , β ) ( x ) P n ( α , β ) ( y ) h n ( α , β ) , x , y ∈ [ − 1 , 1 ] , t > 0 , {\displaystyle G_{t}^{(\alpha ,\beta )}(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }\exp(-tn(n+\alpha +\beta +1)){\frac {P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(y)}{h_{n}^{(\alpha ,\beta )}}},\quad x,y\in [-1,1],\quad t>0,} d ρ ( α , β ) ( x ) = ( 1 − x ) α ( 1 + x ) β d x {\displaystyle d\rho _{(\alpha ,\beta )}(x)=(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }dx} すると、任意の に対して 、 [8] したがって、は ヤコビ 熱核 と呼ばれます 。 f ∈ L 1 ( d ρ ( α , β ) ) {\displaystyle f\in L^{1}\left(d\rho _{(\alpha ,\beta )}\right)} T t ( α , β ) f ( x ) = ∫ − 1 1 G t ( α , β ) ( x , y ) f ( y ) d ϱ ( α , β ) ( y ) {\displaystyle T_{t}^{(\alpha ,\beta )}f(x)=\int _{-1}^{1}G_{t}^{(\alpha ,\beta )}(x,y)f(y)d\varrho _{(\alpha ,\beta )}(y)} G t ( α , β ) {\displaystyle G_{t}^{(\alpha ,\beta )}}
その他の性質 判別 式は [9] ベイリーの公式 である ： [8] [10]。 ここで 、、は 2変数のアペルの超幾何関数 である。これは、 エルミート多項式 に対する メーラー核 、およびラゲール多項式に対する ハーディ・ヒルの公式 の類似である 。 Disc ( P n ( α , β ) ) = 2 − n ( n − 1 ) ∏ j = 1 n j j − 2 n + 2 ( j + α ) j − 1 ( j + β ) j − 1 ( n + j + α + β ) n − j {\displaystyle \operatorname {Disc} \left(P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\right)=2^{-n(n-1)}\prod _{j=1}^{n}j^{j-2n+2}(j+\alpha )^{j-1}(j+\beta )^{j-1}(n+j+\alpha +\beta )^{n-j}} ∑ n = 0 ∞ P n ( α , β ) ( cos θ ) P n ( α , β ) ( cos φ ) h n ( α , β ) r n = Γ ( α + β + 2 ) 2 α + β + 1 Γ ( α + 1 ) Γ ( β + 1 ) 1 − r ( 1 + r ) α + β + 2 × F 4 ( α + β + 2 2 , α + β + 3 2 ; α + 1 , β + 1 ; ( 2 sin θ 2 sin φ 2 r 1 / 2 + r − 1 / 2 ) 2 , ( 2 cos θ 2 cos φ 2 r 1 / 2 + r − 1 / 2 ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \varphi )}{h_{n}^{(\alpha ,\beta )}}}r^{n}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +2)}{2^{\alpha +\beta +1}\Gamma (\alpha +1)\Gamma (\beta +1)}}{\frac {1-r}{(1+r)^{\alpha +\beta +2}}}\\&\quad \times F_{4}\left({\frac {\alpha +\beta +2}{2}},{\frac {\alpha +\beta +3}{2}};\alpha +1,\beta +1;\left({\frac {2\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\varphi }{2}}}{r^{1/2}+r^{-1/2}}}\right)^{2},\left({\frac {2\cos {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\varphi }{2}}}{r^{1/2}+r^{-1/2}}}\right)^{2}\right)\end{aligned}}} | r | < 1 , α , β > − 1 {\displaystyle |r|<1,\alpha ,\beta >-1} F 4 {\displaystyle F_{4}}
ラプラス型積分表現 ： [11] P n ( α , β ) ( 1 − 2 t 2 ) = ( − 1 ) n 2 2 n π ( 2 n ) ! Γ ( n + α + 1 ) Γ ( n + β + 1 ) Γ ( α + 1 2 ) Γ ( β + 1 2 ) . ∫ − 1 1 ∫ − 1 1 ( t u ± i 1 − t 2 v ) 2 n ( 1 − u 2 ) α − 1 2 ( 1 − v 2 ) β − 1 2 d u d v . {\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(1-2t^{2}\right)=&{\frac {(-1)^{n}2^{2n}}{\pi (2n)!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(\beta +{\frac {1}{2}}\right)}}.\\&\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}\left(tu\pm i{\sqrt {1-t^{2}}}v\right)^{2n}\left(1-u^{2}\right)^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\left(1-v^{2}\right)^{\beta -{\frac {1}{2}}}dudv.\end{aligned}}}
零点 ならば 、は 実根 を持つ。したがって、このセクションで はデフォルトで仮定する。このセクションは [12] [13]に基づいている。 α , β > − 1 {\displaystyle \alpha ,\beta >-1} P n ( α , β ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}} n {\displaystyle n} α , β > − 1 {\displaystyle \alpha ,\beta >-1}
定義：
j α , m {\displaystyle j_{\alpha ,m}} は第一種ベッセル関数 の正の零点であり 、 となるように順序付けられている 。 J α {\displaystyle J_{\alpha }} 0 < j α , 1 < j α , 2 < ⋯ {\displaystyle 0<j_{\alpha ,1}<j_{\alpha ,2}<\cdots } θ n , m = θ n , m ( α , β ) {\displaystyle \theta _{n,m}=\theta _{n,m}^{(\alpha ,\beta )}} は の零点であり 、 となるように順序付けられている 。 P n ( α , β ) ( cos θ ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \theta \right)} 0 < θ n , 1 < θ n , 2 < ⋯ < θ n , n < π {\displaystyle 0<\theta _{n,1}<\theta _{n,2}<\cdots <\theta _{n,n}<\pi } ρ = n + 1 2 ( α + β + 1 ) {\displaystyle \rho =n+{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +1)} ϕ m = j α , m / ρ {\displaystyle \phi _{m}=j_{\alpha ,m}/\rho }
不等式 θ n , m {\displaystyle \theta _{n,m}} は、となるように順序付けられている。 [12] α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta }
、、ならば、は、となるように厳密に 単調増加して いる 。 [12] α = β {\displaystyle \alpha =\beta } m < n / 2 {\displaystyle m<n/2} θ n , m {\displaystyle \theta _{n,m}} α {\displaystyle \alpha }
When α , β ∈ [ − 1 / 2 , + 1 / 2 ] {\displaystyle \alpha ,\beta \in [-1/2,+1/2]} [12]
θ n , m ( − 1 2 , 1 2 ) = ( m − 1 2 ) π n + 1 2 ≤ θ n , m ( α , β ) ≤ m π n + 1 2 = θ n , m ( 1 2 , − 1 2 ) {\displaystyle \theta _{n,m}^{(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})}={\frac {(m-{\tfrac {1}{2}})\pi }{n+{\tfrac {1}{2}}}}\leq \theta _{n,m}^{(\alpha ,\beta )}\leq {\frac {m\pi }{n+{\tfrac {1}{2}}}}=\theta _{n,m}^{({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}})}} θ n , m ( − 1 2 , − 1 2 ) = ( m − 1 2 ) π n ≤ θ n , m ( α , α ) ≤ m π n + 1 = θ n , m ( 1 2 , 1 2 ) {\displaystyle \theta _{n,m}^{(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}})}={\frac {(m-{\tfrac {1}{2}})\pi }{n}}\leq \theta _{n,m}^{(\alpha ,\alpha )}\leq {\frac {m\pi }{n+1}}=\theta _{n,m}^{({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})}} m ≤ n / 2 {\displaystyle m\leq n/2} ( m + 1 2 ( α + β − 1 ) ) π ρ < θ n , m < m π ρ {\displaystyle {{\frac {\left(m+{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta -1)\right)\pi }{\rho }}<\theta _{n,m}<{\frac {m\pi }{\rho }}}} α 2 = β 2 = 1 4 {\displaystyle \alpha ^{2}=\beta ^{2}={\tfrac {1}{4}}} θ n , m ( α , α ) > ( m + 1 2 α − 1 4 ) π n + α + 1 2 {\displaystyle \theta _{n,m}^{(\alpha ,\alpha )}>{\frac {\left(m+{\tfrac {1}{2}}\alpha -{\tfrac {1}{4}}\right){\pi }}{n+\alpha +{\tfrac {1}{2}}}}} m ≤ n / 2 {\displaystyle m\leq n/2} α 2 = 1 4 {\displaystyle \alpha ^{2}={\tfrac {1}{4}}} θ n , m ≤ j α , m ( ρ 2 + 1 12 ( 1 − α 2 − 3 β 2 ) ) 1 2 {\displaystyle \displaystyle \theta _{n,m}\displaystyle \leq {\frac {j_{\alpha ,m}}{\left(\rho ^{2}+{\tfrac {1}{12}}\left(1-\alpha ^{2}-3\beta ^{2}\right)\right)^{\frac {1}{2}}}}} θ n , m ≥ j α , m ( ρ 2 + 1 4 − 1 2 ( α 2 + β 2 ) − π − 2 ( 1 − 4 α 2 ) ) 1 2 {\displaystyle \displaystyle \theta _{n,m}\displaystyle \geq {\frac {j_{\alpha ,m}}{\left(\rho ^{2}+{\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2})-{\pi }^{-2}(1-4\alpha ^{2})\right)^{\frac {1}{2}}}}} m ≤ n / 2 {\displaystyle m\leq n/2}
Asymptotics Fix α > − 1 / 2 , β ≥ − 1 − α {\displaystyle \alpha >-1/2,\beta \geq -1-\alpha } c ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle c\in (0,1)}
θ n , m = ϕ m + ( ( α 2 − 1 4 ) 1 − ϕ m cot ϕ m 2 ϕ m − 1 4 ( α 2 − β 2 ) tan ( 1 2 ϕ m ) ) 1 ρ 2 + ϕ m 2 O ( 1 ρ 3 ) {\displaystyle \theta _{n,m}=\phi _{m}+\left(\left(\alpha ^{2}-{\tfrac {1}{4}}\right){\frac {1-\phi _{m}\cot \phi _{m}}{2\phi _{m}}}-{\tfrac {1}{4}}(\alpha ^{2}-\beta ^{2})\tan \left({\tfrac {1}{2}}\phi _{m}\right)\right){\frac {1}{\rho ^{2}}}+\phi _{m}^{2}O\left({\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)}
uniformly for m = 1 , 2 , … , ⌊ c n ⌋ {\displaystyle m=1,2,\dots ,\left\lfloor cn\right\rfloor }
Electrostatics The zeroes satisfy the Stieltjes relations[14] [15] ∑ 1 ≤ j ≤ n , i ≠ j 1 x i − x j = 1 2 ( α + 1 1 − x i − β + 1 1 + x i ) ∑ 1 ≤ j ≤ n 1 1 − x j = n ( n + α + β + 1 ) 2 ( α + 1 ) ∑ 1 ≤ j ≤ n 1 1 + x j = n ( n + α + β + 1 ) 2 ( β + 1 ) ∑ 1 ≤ j ≤ n x j = n ( β − α ) 2 n + α + β {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{x_{i}-x_{j}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\alpha +1}{1-x_{i}}}-{\frac {\beta +1}{1+x_{i}}}\right)\\\sum _{1\leq j\leq n}{\frac {1}{1-x_{j}}}&={\frac {n(n+\alpha +\beta +1)}{2(\alpha +1)}}\\\sum _{1\leq j\leq n}{\frac {1}{1+x_{j}}}&={\frac {n(n+\alpha +\beta +1)}{2(\beta +1)}}\\\sum _{1\leq j\leq n}x_{j}&={\frac {n(\beta -\alpha )}{2n+\alpha +\beta }}\end{aligned}}} 1 + α 2 {\displaystyle {\frac {1+\alpha }{2}}} 1 + β 2 {\displaystyle {\frac {1+\beta }{2}}} n {\displaystyle n} + 1 {\displaystyle +1} P n ( α , β ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}} [15]
Other relations, such as ∑ 1 ≤ j ≤ n , i ≠ j 1 ( x i − x j ) 2 , ∑ 1 ≤ j ≤ n , i ≠ j 1 ( x i − x j ) 3 {\displaystyle \sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{i}-x_{j})^{2}}},\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{i}-x_{j})^{3}}}} [14]
As the zeroes specify the polynomial up to scaling, this provides an alternative way to uniquely characterize the Jacobi polynomials.
The electrostatic interpretation allows many relations to be intuitively seen. For example:
the symmetry relation between P n ( α , β ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}} P n ( β , α ) {\displaystyle P_{n}^{(\beta ,\alpha )}} the roots monotonically decrease when α {\displaystyle \alpha } Since the Stieltjes relation also exists for the Hermite polynomials and the Laguerre polynomials, by taking an appropriate limit of α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } − x i + ∑ 1 ≤ j ≤ n , i ≠ j 1 x i − x j = 0 {\displaystyle -x_{i}+\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{x_{i}-x_{j}}}=0} α = β → ∞ {\displaystyle \alpha =\beta \to \infty }
Asymptotics
の内部において 、 が大きい場合 の の漸近挙動は、 ダルブーの 公式 [1] で与えられます 。VIII.2 x {\displaystyle x} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} P n ( α , β ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}} n {\displaystyle n}
P n ( α , β ) ( cos θ ) = n − 1 2 k ( θ ) cos ( N θ + γ ) + O ( n − 3 2 ) , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )=n^{-{\frac {1}{2}}}k(\theta )\cos(N\theta +\gamma )+O\left(n^{-{\frac {3}{2}}}\right),} ここで
k ( θ ) = π − 1 2 sin − α − 1 2 θ 2 cos − β − 1 2 θ 2 , N = n + 1 2 ( α + β + 1 ) , γ = − π 2 ( α + 1 2 ) , 0 < θ < π {\displaystyle {\begin{aligned}k(\theta )&=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\sin ^{-\alpha -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}}\cos ^{-\beta -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}},\\N&=n+{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +1),\\\gamma &=-{\tfrac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\tfrac {1}{2}}\right),\\0<\theta &<\pi \end{aligned}}} そして「 」項は 、 すべての に対して 区間上で一様です O {\displaystyle O} [ ε , π − ε ] {\displaystyle [\varepsilon ,\pi -\varepsilon ]} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0}
高次の場合、次のように定義します。 [12]
B {\displaystyle \mathrm {B} } は オイラーのベータ関数です ( ⋅ ) m {\displaystyle (\cdot )_{m}} は階乗降格 です。 f m ( θ ) = ∑ ℓ = 0 m C m , ℓ ( α , β ) ℓ ! ( m − ℓ ) ! cos θ n , m , ℓ ( sin 1 2 θ ) ℓ ( cos 1 2 θ ) m − ℓ {\displaystyle f_{m}(\theta )=\sum _{\ell =0}^{m}{\frac {C_{m,\ell }(\alpha ,\beta )}{\ell !(m-\ell )!}}{\frac {\cos \theta _{n,m,\ell }}{\left(\sin {\frac {1}{2}}\theta \right)^{\ell }\left(\cos {\frac {1}{2}}\theta \right)^{m-\ell }}}} C m , ℓ ( α , β ) = ( 1 2 + α ) ℓ ( 1 2 − α ) ℓ ( 1 2 + β ) m − ℓ ( 1 2 − β ) m − ℓ {\displaystyle C_{m,\ell }(\alpha ,\beta )={\left({\tfrac {1}{2}}+\alpha \right)_{\ell }}{\left({\tfrac {1}{2}}-\alpha \right)_{\ell }}{\left({\tfrac {1}{2}}+\beta \right)_{m-\ell }}{\left({\tfrac {1}{2}}-\beta \right)_{m-\ell }}} θ n , m , ℓ = 1 2 ( 2 n + α + β + m + 1 ) θ − 1 2 ( α + ℓ + 1 2 ) π {\displaystyle \theta _{n,m,\ell }={\tfrac {1}{2}}(2n+\alpha +\beta +m+1)\theta -{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\ell +{\tfrac {1}{2}})\pi } 実数を固定し 、 を固定し 、 を固定します 。 として 、 すべての に対して 一様です 。 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } M = 1 , 2 , … {\displaystyle M=1,2,\dots } δ ∈ ( 0 , π / 2 ) {\displaystyle \delta \in (0,\pi /2)} n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } ( sin 1 2 θ ) α + 1 2 ( cos 1 2 θ ) β + 1 2 P n ( α , β ) ( cos θ ) = π − 1 2 2 n + α + β + 1 B ( n + α + 1 , n + β + 1 ) ( ∑ m = 0 M − 1 f m ( θ ) 2 m ( 2 n + α + β + 2 ) m + O ( n − M ) ) {\displaystyle \left(\sin {\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{\alpha +{\frac {1}{2}}}\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{\beta +{\frac {1}{2}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \theta \right)={\pi }^{-1}2^{2n+\alpha +\beta +1}\mathrm {B} \left(n+\alpha +1,n+\beta +1\right)\left(\sum _{m=0}^{M-1}{\frac {f_{m}(\theta )}{2^{m}{\left(2n+\alpha +\beta +2\right)_{m}}}}+O\left(n^{-M}\right)\right)} θ ∈ [ δ , π − δ ] {\displaystyle \theta \in [\delta ,\pi -\delta ]}
この 場合は上記のダルブーの公式です。 M = 1 {\displaystyle M=1}
次のように定義します。 [12]
J ν {\displaystyle J_{\nu }} はベッセル関数 です。 ρ = n + 1 2 ( α + β + 1 ) {\displaystyle \rho =n+{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +1)} g ( θ ) = ( 1 4 − α 2 ) ( cot ( 1 2 θ ) − ( 1 2 θ ) − 1 ) − ( 1 4 − β 2 ) tan ( 1 2 θ ) {\displaystyle g(\theta )=\left({\tfrac {1}{4}}-\alpha ^{2}\right)\left(\cot \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)-\left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{-1}\right)-\left({\tfrac {1}{4}}-\beta ^{2}\right)\tan \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)} 実数を固定し 、 を固定します 。 として、 ヒルブの型公式 を得ます 。 [16] ここで 、 は の関数 です。最初のいくつかの項は次のとおりです。 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } M = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle M=0,1,2,\dots } n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } ( sin 1 2 θ ) α + 1 2 ( cos 1 2 θ ) β + 1 2 P n ( α , β ) ( cos θ ) = Γ ( n + α + 1 ) 2 1 2 ρ α n ! ( θ 1 2 J α ( ρ θ ) ∑ m = 0 M A m ( θ ) ρ 2 m + θ 3 2 J α + 1 ( ρ θ ) ∑ m = 0 M − 1 B m ( θ ) ρ 2 m + 1 + ε M ( ρ , θ ) ) {\displaystyle (\sin {\tfrac {1}{2}}\theta )^{\alpha +{\frac {1}{2}}}(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta )^{\beta +{\frac {1}{2}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \theta \right)={\frac {\Gamma \left(n+\alpha +1\right)}{2^{\frac {1}{2}}\rho ^{\alpha }n!}}\left(\theta ^{\frac {1}{2}}J_{\alpha }\left(\rho \theta \right)\sum _{m=0}^{M}{\dfrac {A_{m}(\theta )}{\rho ^{2m}}}+\theta ^{\frac {3}{2}}J_{\alpha +1}\left(\rho \theta \right)\sum _{m=0}^{M-1}{\dfrac {B_{m}(\theta )}{\rho ^{2m+1}}}+\varepsilon _{M}(\rho ,\theta )\right)} A m , B m {\displaystyle A_{m},B_{m}} θ {\displaystyle \theta } A 0 ( θ ) = 1 θ B 0 ( θ ) = 1 4 g ( θ ) A 1 ( θ ) = 1 8 g ′ ( θ ) − 1 + 2 α 8 g ( θ ) θ − 1 32 ( g ( θ ) ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}(\theta )&=1\\\theta B_{0}(\theta )&={\frac {1}{4}}g(\theta )\\A_{1}(\theta )&={\frac {1}{8}}g^{\prime }(\theta )-{\frac {1+2\alpha }{8}}{\frac {g(\theta )}{\theta }}-{\frac {1}{32}}(g(\theta ))^{2}\end{aligned}}}
任意の固定された任意定数 に対して 、誤差項は を満たします。 c > 0 {\displaystyle c>0} ε M ( ρ , θ ) = { θ O ( ρ − 2 M − ( 3 / 2 ) ) , c ρ − 1 ≤ θ ≤ π − δ , θ α + ( 5 / 2 ) O ( ρ − 2 M + α ) , 0 ≤ θ ≤ c ρ − 1 , {\displaystyle \varepsilon _{M}(\rho ,\theta )={\begin{cases}\theta O\left(\rho ^{-2M-(3/2)}\right),&c\rho ^{-1}\leq \theta \leq \pi -\delta ,\\\theta ^{\alpha +(5/2)}O\left(\rho ^{-2M+\alpha }\right),&0\leq \theta \leq c\rho ^{-1},\end{cases}}}
点付近のヤコビ多項式の漸近挙動は、 メーラー・ハイネの公式 で与えられます ± 1 {\displaystyle \pm 1}
lim n → ∞ n − α P n ( α , β ) ( cos ( z n ) ) = ( z 2 ) − α J α ( z ) lim n → ∞ n − β P n ( α , β ) ( cos ( π − z n ) ) = ( z 2 ) − β J β ( z ) {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left({\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z)\\\lim _{n\to \infty }n^{-\beta }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left(\pi -{\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\beta }J_{\beta }(z)\end{aligned}}} ここで、極限は 有界 領域において一様です z {\displaystyle z}
外側の漸近解は それほど明確ではありません。 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]}
応用
ウィグナーd行列 式( 1 )は 、ウィグナーd行列 ( に対して )をヤコビ多項式で 表すことができます。 [17] d m ′ , m j ( ϕ ) {\displaystyle d_{m',m}^{j}(\phi )} 0 ≤ ϕ ≤ 4 π {\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }
d m ′ m j ( ϕ ) = ( − 1 ) m − m ′ − | m − m ′ | 2 [ ( j + M ) ! ( j − M ) ! ( j + N ) ! ( j − N ) ! ] 1 2 ( sin ϕ 2 ) | m − m ′ | ( cos ϕ 2 ) | m + m ′ | P j − M ( | m − m ′ | , | m + m ′ | ) ( cos ϕ ) , {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=(-1)^{\frac {m-m'-|m-m'|}{2}}\left[{\frac {(j+M)!(j-M)!}{(j+N)!(j-N)!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m-m'|}\left(\cos {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m+m'|}P_{j-M}^{(|m-m'|,|m+m'|)}(\cos \phi ),}
ここで 。 M = max ( | m | , | m ′ | ) , N = min ( | m | , | m ′ | ) {\displaystyle M=\max(|m|,|m'|),N=\min(|m|,|m'|)}
参照
参考文献 ^ abcdefg (Szegő 1975, 4. Jacobi polynomials) ^ アブラモウィッツ、ミルトン 、 ステガン 、アイリーン・アン編 (1983) [1964年6月]。「第22章」。 『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』 。応用数学シリーズ。第55巻（1972年12月の第10刷に訂正を加えた第9刷 、 初版） 。 ワシントンD.C.、ニューヨーク：米国商務省、国立標準局、ドーバー出版。561ページ。ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036。MR 0167642。LCCN 65-12253 ^ PK Suetin (2001) [1994]、「ヤコビ多項式」、 数学百科事典 、 EMS Press ^ Creasey, PE「ガウス偏差を持つ曲面のユニタリBRDF」 、 GitHub ^ 「DLMF: §18.7 相互関係と極限関係 ‣ 古典直交多項式 ‣ 第18章 直交多項式」 dlmf.nist.gov ^ Wong, E. (1964). 「定常マルコフ過程のクラスの構築」 (PDF) . Bellman, R. (編). 数理物理学と工学における確率過程 . プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会. pp. 264– 276 ^ Demni, N.; Zani, M. (2009-02-01). 「ヤコビ過程の統計量における大きな偏差」 . 確率過程とその応用 . 119 (2): 518–533 . doi :10.1016/j.spa.2008.02.015. ISSN 0304-4149. ^ Nowak, Adam; Sjögren, Peter (2011). 「ヤコビ熱核の鋭い推定値」. arXiv : 1111.3145 [math.CA]. ^ 「DLMF: §18.16 零点 ‣ 古典直交多項式 ‣ 第18章 直交多項式」 . dlmf.nist.gov ^ Bailey, WN (1938). 「ヤコビ多項式の生成関数」 . ロンドン数学会誌 . s1-13 (1): 8– 12. doi :10.1112/jlms/s1-13.1.8. ISSN 1469-7750. ^ Dijksma, A.; Koornwinder, TH (1971-01-01). 「球面調和関数と2つのヤコビ多項式の積」 . Indagationes Mathematicae (Proceedings) . 74 : 191– 196. doi :10.1016/S1385-7258(71)80026-4. ISSN 1385-7258 ^ abcdef "DLMF: §18.15 漸近近似 ‣ 古典直交多項式 ‣ 第18章 直交多項式". dlmf.nist.gov . ^ (Szegő 1975, 6.21節 古典多項式の零点に関する不等式) ^ ab Marcellán, F.; Martínez-Finkelshtein, A.; Martínez-González, P. (2007-10-15). 「多項式の零点の静電モデル：古い問題、新しい問題、そしていくつかの未解決問題」. Journal of Computational and Applied Mathematics . Nico Temme博士65歳の誕生日を記念した会議議事録. 207 (2): 258– 272. doi :10.1016/j.cam.2006.10.020. hdl : 10016/5921 . ISSN 0377-0427. ^ ab (Szegő 1975, 6.7節. 古典多項式の零点の静電的解釈) ^ (Szegő 1975, 8.21. ルジャンドル多項式とヤコビ多項式の漸近公式) ^ Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). 量子物理学における角運動量 . 参考文献: Addison-Wesley.
さらに詳しい情報
外部リンク
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![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle [-1,+1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa72f1a806823ec94fda7922597b19cbda684f4)
![{\displaystyle J^{(\alpha,\beta)}:=-\left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-[\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x]{\frac {d}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c6764ea1ee6dab0d1aff5a7a1294fc4ad338262)
![{\displaystyle h_{n}^{(\alpha ,\beta )}=\int _{-1}^{1}\left[P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\right]^{2}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{(2n+\alpha +\beta +1)\Gamma (n+\alpha +\beta +1)\Gamma (n+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ef9cf6d99a32a90662949db49af302ce7ac378)
![{\displaystyle G_{t}^{(\alpha,\beta)}(x,y)=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(-tn(n+\alpha +\beta +1)){\frac{P_{n}^{(\alpha,\beta)}(x)P_{n}^{(\alpha,\beta)}(y)}{h_{n}^{(\alpha,\beta)}}},\quad x,y\in [-1,1],\quad t>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d03df99aea07d5527e121b32e0fe044149a6e056)
![{\displaystyle [\varepsilon ,\pi -\varepsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2aec0a4485c35292703c489dbe3b0374cac6edc)
![{\displaystyle \theta \in [\delta ,\pi -\delta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e12bd1a10fbd0ba32d5666b762ef8305cdea90)
![{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=(-1)^{\frac {mm'-|mm'|}{2}}\left[{\frac {(j+M)!(jM)!}{(j+N)!(jN)!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|mm'|}\left(\cos {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m+m'|}P_{jM}^{(|mm'|,|m+m'|)}(\cos \phi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36f2d8c1ddb9f4d3b89c5da33b0dffb05e70cfa5)
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