ヤコビアン・イデアル

数学において、ヤコビイデアルまたは勾配イデアルは、関数または関数胚のヤコビアンによって生成されるイデアルです。変数の滑らかな関数の環と環内の関数をとします。のヤコビイデアルは ${\mathcal {O}}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $n$ $f$ $f$

J_{f}:=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right\rangle .

変形理論との関係

変形理論では、多項式によって与えられた超曲面の変形は環によって分類されます。これは、小平・スペンサー写像を使用して示されます。 $f$ ${\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f)+J_{f}}}.$

ホッジ理論との関係

ホッジ理論には、実ベクトル空間のデータと、適合構造のリストを満たす増加フィルタリングである実ホッジ構造と呼ばれる対象があります。滑らかな射影多様体には、標準ホッジ構造が存在します。 $H_{\mathbb {R} }$ $F^{\bullet }$ $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ $X$

d次超曲面に関する記述

が同次次多項式によって定義される特別な場合、このホッジ構造はヤコビアンイデアルから完全に理解できる。次数付きピースについては、これは原始コホモロジー（と表記され、核を持つ）上の射影的な写像^[1]によって与えられる。原始コホモロジー類とは、から来ないの類であり、これはレフシェッツ類に等しいことに注意されたい。 $X$ $d$ $f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{n+1},{\mathcal {O}}(d))$ $\mathbb {C} [Z_{0},\ldots ,Z_{n}]^{(d(n-1+p)-(n+2))}\to {\frac {F^{p}H^{n}(X,\mathbb {C} )}{F^{p+1}H^{n}(X,\mathbb {C} )}}$ ${\text{Prim}}^{p,n-p}(X)$ $J_{f}$ $X$ $\mathbb {P} ^{n+1}$ $[L]^{n}=c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{d}$

証明の概要

留数写像への簡約

複体の短完全列が伴い、中央の複体は対数形式の層の複体で、右側の写像は留数写像である。これはコホモロジーにおける長完全列を伴う。レフシェッツ超平面定理から、の興味深いコホモロジー群は 1 つだけ存在し、それはである。この短完全列の長完全列から、右辺がに等しく、と同型である誘導留数写像が存在する。また、同型が存在する。これらの同型を通して、誘導留数写像が存在し、これは原始コホモロジー上では単射である。また、ホッジ分解とが存在する $X\subset \mathbb {P} ^{n+1}$ $0\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\xrightarrow {res} \Omega _{X}^{\bullet }[-1]\to 0$ $X$ $H^{n}(X;\mathbb {C} )=\mathbb {H} ^{n}(X;\Omega _{X}^{\bullet })$ $\mathbb {H} ^{n+1}\left(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\right)\to \mathbb {H} ^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{X}^{\bullet }[-1])$ $\mathbb {H} ^{n}(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{X}^{\bullet })$ $\mathbb {H} ^{n}(X;\Omega _{X}^{\bullet })$ $H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\cong \mathbb {H} ^{n+1}\left(\mathbb {P} ^{n+1};\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\right)$ $res:H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\to H^{n}(X;\mathbb {C} )$ $H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\cong \bigoplus _{p+q=n+1}H^{q}(\Omega _{\mathbb {P} }^{p}(\log X))$ $H^{q}(\Omega _{\mathbb {P} }^{p}(\log X))\cong {\text{Prim}}^{p-1,q}(X)$

ド・ラームコホモロジー群の計算

では、ド・ラーム・コホモロジー群の方がはるかに扱いやすく、多項式を用いて明示的に記述できることがわかります。部分は、の部分に射影される位数の極を持つ有理型形式によって張られます。これは、の縮約同型から来ます。の標準-形式（ここでは添え字からの削除を表す）を用いると、これらの有理型微分形式は次のようになります。最終的に、核^[1]^補題8.11はの形式を持つすべての多項式のであることがわかります。ここで、オイラー恒等式はを示しています。 $H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)$ $F^{p}$ $\leq n-p+1$ $F^{p}$ ${\text{Prim}}^{n}(X)$ $F^{p+1}H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X;\mathbb {C} )\cong {\frac {\Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}(n-p+1))}{d\Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}(n-p))}}$ $(n+1)$ $\Omega =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}Z_{j}dZ_{0}\wedge \cdots \wedge {\hat {dZ_{j}}}\wedge \cdots \wedge dZ_{n+1}$ $\mathbb {P} ^{n+1}$ ${\hat {dZ_{j}}}$ ${\frac {A}{f^{n-p+1}}}\Omega$ ${\begin{aligned}{\text{deg}}(A)&=(n-p+1)\cdot {\text{deg}}(f)-{\text{deg}}(\Omega )\\&=(n-p+1)\cdot d-(n+2)\\&=d(n-p+1)-(n+2)\end{aligned}}$ $A'+fB$ $A'\in J_{f}$ $f=\sum Z_{j}{\frac {\partial f}{\partial Z_{j}}}$ $f\in J_{f}$

参考文献

^ José Bertin (2002).ホッジ理論入門. プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会. pp. 199– 205. ISBN 0-8218-2040-0 OCLC 48892689

参照

[:0-1] José Bertin (2002).ホッジ理論入門. プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会. pp. 199– 205. ISBN 0-8218-2040-0 OCLC 48892689