ジェインズ・カミングスモデル

量子光学におけるモデル

ジェインズ・カミングスモデルの図解。光共振器内の原子は左上に赤い点で示されている。共振器内の場のモードに結合する原子のエネルギー準位は、右下の円で示されている。2つの状態間の遷移により、原子は共振器モード内（外）に光子を放出（吸収）する。

量子光学において、ジェインズ・カミングスモデル（Jaynes–Cummings model 、 JCMと略されることもある）は、光共振器（またはボソン場）の量子化モードと相互作用する2準位原子の系を記述する理論モデルである。このモデルは回転波近似を仮定し、初期段階では散逸を無視し、光（自発放出および吸収を引き起こす可能性のある電磁放射の浴の形態）の有無にかかわらず、単一の場モードと2準位原子のみを扱う。このモデルはもともと、共振器内での光子の自発放出および吸収現象を調べるために、量子化電磁場と原子の相互作用を研究するために開発された。1960年代のエドウィン・トンプソン・ジェインズとフレッド・カミングスにちなんで命名され、1987年に実験的に確認された。

ジェインズ・カミングス模型は、原子物理学、量子光学、固体物理学、量子情報回路において、実験的にも理論的にも大きな関心を集めています。このジャーナルでは、創刊50周年^[1]（カミングスによる2つの興味深い論説を含む多数の関連記事が掲載されています）、および創刊60周年[2]を記念した特集号が発行されています。^また、コヒーレント制御や量子情報処理にも応用されています。

歴史

1963年: ジェインズとカミングス

このモデルは、エドウィン・ジェインズとフレッド・カミングスが1963年に発表した論文で、電磁場と相互作用する原子の挙動に完全な量子力学的処理を施すことの効果を明らかにするために考案されました。数学を簡素化し、扱いやすい計算を可能にするために、ジェインズとカミングスは、量子化された電磁場の単一モードと原子の相互作用に焦点を絞りました。 ^{[3] [4]}（数学的な詳細については下記を参照）。

このアプローチは、従来の半古典的手法とは対照的です。半古典的手法では、原子のダイナミクスのみが量子力学的に扱われ、原子が相互作用する場は古典的な電磁気学理論に従って振舞うと仮定されます。ジェインズ・カミングス模型における場の量子力学的扱いは、以下を含む多くの新しい特徴を明らかにします。

• 量子場と相互作用する二準位系の状態間のラビ振動の存在。これは当初純粋に量子力学的な効果であると考えられていたが、後に線形分散と吸収の観点から半古典的な説明が提示された^[5]。
• 量子化されたエネルギー準位の梯子はジェインズ・カミングス梯子と呼ばれ、エネルギーは非線形にスケーリングされます。ここで、は結合系における量子の総数です。このエネルギーの量子化と非線形スケーリングは、純粋に量子力学的な性質を持っています。 ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle n}$
• 場が当初コヒーレント状態にあるとき、与えられた状態における二準位系を検出する確率の崩壊とその後の回復。崩壊は単純な古典的説明で説明できるが、回復は場の量子的性質に起因するエネルギースペクトルの離散性によってのみ説明できる。 ^{[6] [7]}

ジェインズ・カミングスモデルによって予測されるダイナミクスを実験的に実現するには、非常に高い品質係数を持つ量子力学共振器が必要となる。これにより、2準位系（典型的には原子内の2つのエネルギーサブレベル）における状態間の遷移が、原子と場のモードとの相互作用によって非常に強く結合する。これにより、原子内の他のサブレベル間の結合や場の他のモードとの結合が同時に抑制され、損失はジェインズ・カミングスモデルによって予測されるダイナミクスを観測できるほど小さくなる。このような装置の実現が困難であったため、このモデルは長らく数学的な好奇心の対象となっていた。1985年には、いくつかのグループがマイクロ波空洞内のメーザーとリュードベリ原子を用いて、予測されたラビ振動を実証した。^{[8] [9]}しかし、前述のように、この効果は後に半古典的な説明が可能であることがわかった。^[5]

1987年: レンペ、ワルサー、クライン

1987年になってようやく、ゲルハルト・レンペ、ハーバート・ヴァルター、ノルベルト・クラインが単一原子メーザーを用いて、モデルによって予測された確率の復活を実証することができた。^[10]それ以前の研究グループは、原子と単一モードの結合を増強し、同時に他のモードを抑制することができる実験装置を構築することができなかった。実験的には、システムのダイナミクスを単一モードフィールドのダイナミクスと同等と見なすには、共振器のQ値が十分に高くなければならない。量子力学モデルによってのみ説明可能なダイナミクスのこの実証成功は、この研究に用いるための高品質共振器のさらなる開発を促した。

1原子メーザーの出現により、単一原子（通常はリュードベリ原子）と空洞内の単一共鳴モードの電磁場との相互作用を実験的観点から研究することが可能となり、^{[11] [12]}ジェインズ・カミングスモデルのさまざまな側面を研究することができた。

砂時計形状を用いることで、モードが占める体積を最大化しつつ、高い品質係数を維持して結合強度を最大化し、モデルのパラメータをより良く近似できることがわかった。^[13]可視光周波数における強い原子場結合を観測するには、砂時計型光モードが有用である。これは、その大きなモード体積が最終的に共振器内の強い場と一致するためである。^[13]フォトニック結晶ナノ共振器内の量子ドットも、可視光周波数におけるラビサイクルの崩壊と復活を観測するための有望なシステムである。^[14]

さらなる展開

最近の多くの実験は、量子情報処理とコヒーレント制御への応用が期待されるシステムへのモデルの適用に焦点が当てられている。様々な実験により、量子ドットとマイクロキャビティのモードの結合におけるジェインズ・カミングスモデルのダイナミクスが実証されており、このモデルをはるかに小さいサイズの物理システムに適用できる可能性がある。 ^{[15] [16] [17] [18]}他の実験は、直接分光観測によってジェインズ・カミングスエネルギーレベルのラダーの非線形性を実証することに焦点を当てている。これらの実験は、超伝導RLC回路の形で非常に高品質の発振器に結合された人工原子を含む超伝導回路と、スピンを介して結合したリュードベリ原子の集合の両方において、場の量子的性質から予測される非線形挙動の直接的な証拠を発見した。^{[19] [20]}後者の場合、集団内の集団リュードベリ励起の有無が2レベルシステムの役割を果たし、ボソン場モードの役割は発生するスピン反転の総数によって果たされる。^[20]

理論的研究では、典型的には現象論的アプローチによって、元のモデルを拡張して散逸と減衰の効果を取り入れてきた。^{[21] [22] [23]}提案された拡張では量子場の多重モードも組み込まれており、原子内の追加的なエネルギーレベルとの結合や、同じ場と相互作用する複数の原子の存在が可能になっている。通常用いられるいわゆる回転波近似を超える試みもなされている（下記の数学的導出を参照）。^{[24] [25] [26]}単一の量子場モードと複数（）の 2 状態サブシステム（1/2 よりも高いスピンに相当）との結合は、ディッケ モデルまたはTavis–Cummings モデルとして知られている。例えば、これは空洞共鳴付近で遷移する複数の同一原子を含む高品質共鳴空洞や、超伝導回路上で複数の量子ドットに結合された共振器に適用される。これは、ケース の Jaynes-Cummings モデルに簡約されます。 ${\displaystyle N>1}$ ${\displaystyle N=1}$

このモデルは、実験環境においていくつかの特異な理論的可能性を実現する可能性を提供する。例えば、ラビ振動が崩壊する期間、原子-共振器系はマクロスケールで量子重ね合わせ状態にあることが分かった。このような状態は、マクロスケールの系における量子もつれの発現に関する直感に反する効果の探究を可能にするため、シュレーディンガーの猫と呼ばれることもある。 ^{[27]また、量子場における}量子情報伝達のモデル化にも用いることができる。 ^[28]

数式1

完全なシステムを記述するハミルトニアンは、自由場ハミルトニアン、原子励起ハミルトニアン、およびジェインズ・カミングス相互作用ハミルトニアンから構成されます。 $${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{\text{field}}+{\hat {H}}_{\text{atom}}+{\hat {H}}_{\text{int}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}_{\text{field}}&=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\\{\hat {H}}_{\text{atom}}&=\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\\{\hat {H}}_{\text{int}}&={\frac {\hbar \Omega }{2}}{\hat {E}}{\hat {S}}.\end{aligned}}}$$

ここでは便宜上、真空場エネルギーは に設定されています。 ${\displaystyle 0}$

JCM相互作用ハミルトニアンを導出するために、量子化された放射場は、場の演算子 を持つ 単一のボソンモードで構成されるとみなされます。ここで、演算子およびはボソン生成消滅演算子であり、はモードの角周波数です。一方、2レベル原子は、3次元ブロッホベクトルを用いて状態を記述できるスピンハーフと同等です。（ここでの「2レベル原子」は、スピンを持つ実際の原子ではなく、ヒルベルト空間がスピンハーフと同型である一般的な2レベル量子系であることを理解する必要があります。）原子は、分極演算子 を介して場に結合されます。演算子および は、原子の上昇演算子と下降演算子です。演算子 は原子反転演算子であり、は原子遷移周波数です。 ${\displaystyle {\hat {E}}=E_{\text{ZPF}}\left({\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger }\right)}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}={\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{+}=|e\rangle \langle g|}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{-}=|g\rangle \langle e|}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}=|e\rangle \langle e|-|g\rangle \langle g|}$ ${\displaystyle \omega _{a}}$

ジェインズ・カミングス・ハミルトニアン 1

シュレーディンガー描像から選択によって定義される相互作用描像（回転座標系ともいう）に移ると、次の式が得られる。 ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}={\hat {H}}_{\text{field}}+{\hat {H}}_{\text{atom}}}$ $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{int}}(t)={\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{-}e^{-i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{+}e^{i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}e^{i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}e^{-i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}\right).}$$

このハミルトニアンには、速く振動する成分と遅く振動する成分の両方が含まれています。解けるモデルを得るために、速く振動する「逆回転」項 は無視されます。これは回転波近似と呼ばれ、速く振動する項が比較的大きなエネルギー差を持つ状態を結合するため有効です。エネルギー差が結合よりもはるかに大きい場合、これらの状態の混合は小さくなります。言い換えれば、結合は状態間のポピュレーション移動をほとんど引き起こしません。シュレーディンガー描像に戻すと、JCMハミルトニアンは次のように書き表されます。 ${\displaystyle (\omega _{c}+\omega _{a})}$ ${\displaystyle (\omega _{c}-\omega _{a})}$ ${\displaystyle (\omega _{c}+\omega _{a})}$ $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right).}$$

固有状態

完全なシステムのハミルトニアンを 2 つの可換部分の合計として記述することが可能であり、多くの場合非常に役立ちます。ここで、 はフィールドと 2 レベル システム間のデチューニング(周波数)と呼ばれます。 $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}={\hat {H}}_{\text{I}}+{\hat {H}}_{\text{II}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}_{\text{I}}&=\hbar \omega _{c}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\right)\\{\hat {H}}_{\text{II}}&=\hbar \delta {\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \delta =\omega _{a}-\omega _{c}}$

の固有状態はテンソル積の形式であるため簡単に解くことができ、 と表されます。ここで、 はモード内の放射量子の数を表します。 ${\displaystyle {\hat {H}}_{I}}$ ${\displaystyle |n+1,g\rangle ,|n,e\rangle }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

状態 とはすべてのに対して に関して退化しているので、の部分空間 において対角化すれば十分である。この部分空間におけるの行列要素は、 ${\displaystyle |\psi _{1n}\rangle :=|n,e\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2n}\rangle :=|n+1,g\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{I}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \{|\psi _{1n}\rangle ,|\psi _{2n}\rangle \}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}}$ ${\displaystyle {H}_{ij}^{(n)}:=\langle \psi _{in}|{\hat {H}}_{\text{JC}}|\psi _{jn}\rangle ,}$ $${\displaystyle H^{(n)}=\hbar {\begin{pmatrix}n\omega _{c}+{\frac {\omega _{a}}{2}}&{\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {n+1}}\\[8pt]{\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {n+1}}&(n+1)\omega _{c}-{\frac {\omega _{a}}{2}}\end{pmatrix}}}$$

与えられた に対して、 のエネルギー固有値はとなる。ここで は特定の離調パラメータに対するラビ周波数である。エネルギー固有値に関連付けられた固有状態は で与えられる 。ここで角度は によって定義される。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H^{(n)}}$ $${\displaystyle E_{\pm }(n)=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pm {\frac {1}{2}}\hbar \Omega _{n}(\delta ),}$$ ${\textstyle \Omega _{n}(\delta )={\sqrt {\delta ^{2}+\Omega ^{2}(n+1)}}}$ ${\displaystyle |n,\pm \rangle }$ $${\displaystyle |n,+\rangle =\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{1n}\rangle +\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{2n}\rangle }$$ $${\displaystyle |n,-\rangle =\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{1n}\rangle -\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{2n}\rangle }$$ ${\displaystyle \alpha _{n}}$ $${\displaystyle \alpha _{n}:=\tan ^{-1}\left({\frac {\Omega {\sqrt {n+1}}}{\delta }}\right).}$$

シュレーディンガー描像力学

一般状態のダイナミクスは、これを前述の固有状態へ展開することで得られる。場の初期状態として、状態の重ね合わせを考え、励起状態の原子が場に注入されると仮定する。系の初期状態は ${\textstyle |\psi _{\text{field}}(0)\rangle =\sum _{n}{C_{n}|n\rangle }}$ $${\displaystyle |\psi _{\text{tot}}(0)\rangle =\sum _{n}{C_{n}|n,e\rangle }=\sum _{n}C_{n}\left[\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,+\rangle +\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,-\rangle \right].}$$

は場-原子系の定常状態なので、時間に対する状態ベクトルは次のように与えられる。 ${\displaystyle |n,\pm \rangle }$ ${\displaystyle t>0}$ $${\displaystyle |\psi _{\text{tot}}(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|\psi _{\text{tot}}(0)\rangle =\sum _{n}C_{n}\left[\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,+\rangle e^{-iE_{+}(n)t/\hbar }+\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,-\rangle e^{-iE_{-}(n)t/\hbar }\right].}$$

ラビ振動は、状態ベクトルのsin関数とcos関数で容易に観察できます。光子の状態数によって周期は異なります。実験で観測されるのは、非常に広範囲に振動し、ある瞬間には相殺的に和がゼロになる多くの周期関数の和です。しかし、後の瞬間には再びゼロではなくなります。この瞬間の有限性は、周期性の議論の離散性から生じます。もし電場の振幅が連続的であれば、有限時間でこの復活は決して起こらなかったでしょう。

ハイゼンベルクの描像力学

ハイゼンベルク記法では、ハミルトニアンからユニタリー進化演算子を直接決定することができる。^[29]ここで演算子は次のように定義され、次のように与えられる。 $${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}{\hat {U}}(t)&=e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }\\&={\begin{pmatrix}e^{-i\omega _{c}t\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)}\left(\cos t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}-i\delta /2{\frac {\sin t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\right)&-ige^{-i\omega _{c}t\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)}{\frac {\sin t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\,{\hat {a}}\\-ige^{-i\omega _{c}t\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{2}}\right)}{\frac {\sin t{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\hat {a}}^{\dagger }&e^{-i\omega _{c}t\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{2}}\right)}\left(\cos t{\sqrt {\hat {\varphi }}}+i\delta /2{\frac {\sin t{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}}\right)\end{pmatrix}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$ $${\displaystyle {\hat {\varphi }}=g^{2}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\delta ^{2}/4}$$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g={\frac {\Omega }{\hbar }}}$$

のユニタリー性は、恒等式とそれらのエルミート共役によって保証されます。 ${\displaystyle {\hat {U}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin t\,{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\;{\hat {a}}&={\hat {a}}\;{\frac {\sin t\,{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}},\\\cos t\,{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}\;{\hat {a}}&={\hat {a}}\;\cos t{\sqrt {\hat {\varphi }}},\end{aligned}}}$$

ユニタリ進化演算子を使用すると、密度行列によって記述されるシステムの状態の時間発展を計算し、そこから初期状態が与えられた場合の任意の観測可能な値の期待値を計算することが可能です。 ${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)}$ $${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)={\hat {U}}^{\dagger }(t){\hat {\rho }}(0){\hat {U}}(t)}$$ $${\displaystyle \langle {\hat {\Theta }}\rangle _{t}={\text{Tr}}[{\hat {\rho }}(t){\hat {\Theta }}]}$$

システムの初期状態は で表され、は観測可能量を表す演算子です。 ${\displaystyle {\hat {\rho }}(0)}$ ${\displaystyle {\hat {\Theta }}}$

数式2

説明を簡単にするために、原子の2つのエネルギーサブレベルと量子化された電磁場との相互作用を考えてみましょう。ボソン場と結合した他の任意の2状態系の挙動は、これらのダイナミクスと同型になります。この場合、原子-場系のハミルトニアンは^[30]です 。ここで、以下の定義を行いました。 $${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{A}+{\hat {H}}_{F}+{\hat {H}}_{AF}}$$

• ${\displaystyle {\hat {H}}_{A}=E_{g}|g\rangle \langle g|+E_{e}|e\rangle \langle e|}$は原子のハミルトニアンであり、文字はそれぞれ励起状態と基底状態を表します。エネルギーのゼロを原子の基底状態エネルギーに設定すると、これは次のように簡略化されます。ここで、は原子のサブレベル間の遷移の共鳴周波数です。 ${\displaystyle e,g}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{A}=E_{e}|e\rangle \langle e|=\hbar \omega _{eg}|e\rangle \langle e|}$ ${\displaystyle \omega _{eg}}$
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{F}=\sum _{\mathbf {k} ,\lambda }\hbar \omega _{\mathbf {k} }\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }+{\frac {1}{2}}\right)}$は量子化された電磁場のハミルトニアンです。すべての可能な波数ベクトルと2つの可能な直交偏光状態にわたる無限和 に注目してください。演算子と は、場の各インデックス付きモードに対する光子生成および消滅演算子です。ジェインズ・カミングスモデルの単純さは、この一般的な和を抑制し、場の単一モードのみを考慮することで、 と書くことができることにあります。ここで、添え字は空洞の共鳴モードのみを考慮していることを示しています。 ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }}$ ${\textstyle {\hat {H}}_{F}=\hbar \omega _{c}\left({\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}+{\frac {1}{2}}\right)}$ ${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{AF}=-{\hat {\mathbf {d} }}\cdot {\hat {\mathbf {E} }}(\mathbf {R} )}$は双極子原子場相互作用ハミルトニアンです（ここで原子の位置は です）。量子化された電磁場の電場演算子は で与えられ、双極子演算子は で与えられます。 を設定して定義すると、は直交場モードであり、とは原子の部分空間に作用する上昇演算子と下降演算子です。ジェインズ・カミングス模型を適用することで、この和を抑制し、場の単一モードにのみ注目することができます。したがって、原子場ハミルトニアンは となります。 ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {E} }}(\mathbf {R} )=i\sum _{\mathbf {k} ,\lambda }{\sqrt {\frac {2\pi \hbar \omega _{\mathbf {k} }}{V}}}\mathbf {u} _{\mathbf {k} ,\lambda }\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }-{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }^{\dagger }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\right)}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}={\hat {\sigma }}_{+}\langle e|{\hat {\mathbf {d} }}|g\rangle +{\hat {\sigma }}_{-}\langle g|{\hat {\mathbf {d} }}|e\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {0} }$ $${\displaystyle \hbar g_{\mathbf {k} ,\lambda }=i{\sqrt {\frac {2\pi \hbar \omega _{\mathbf {k} }}{V}}}\langle e|{\hat {\mathbf {d} }}|g\rangle \cdot \mathbf {u} _{\mathbf {k} ,\lambda },}$$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathbf {k} ,\lambda }}$ $${\displaystyle {\hat {H}}_{AF}=-\sum _{\mathbf {k} ,\lambda }\hbar \left(g_{\mathbf {k} ,\lambda }{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }-g_{\mathbf {k} ,\lambda }^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }^{\dagger }-g_{\mathbf {k} ,\lambda }{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }^{\dagger }+g_{\mathbf {k} ,\lambda }^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }\right),}$$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{+}=|e\rangle \langle g|}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{-}=|g\rangle \langle e|}$ ${\displaystyle \{|e\rangle ,|g\rangle \}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{AF}=\hbar \left[\left(g_{c}{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}-g_{c}^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\right)+\left(-g_{c}{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }+g_{c}^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}\right)\right]}$

回転フレームと回転波近似

次に、いわゆる「共回転」系への受動的な変換を行うことで、解析を簡略化できます。これを行うには、相互作用描像を使用します。 とします 。すると、相互作用ハミルトニアンは次のようになります。ここで、空洞の共鳴周波数が原子の遷移周波数に近い、つまり であると仮定します。この条件下では、 で振動する指数項はほぼ共鳴し、 で振動する他の指数項はほぼ反共鳴します。共鳴項が1回の完全な振動を完了するのにかかる時間で、反共鳴項は多くの完全なサイクルを完了します。反共鳴振動の各完全なサイクルにおいて、共鳴挙動を解析したい時間スケールにおいて、高速で振動する反共鳴項の正味の効果は平均して0になる傾向があるため、反共鳴項の値はほぼ共鳴項の値と比較して無視できるため、反共鳴項を完全に無視することができます。この近似は回転波近似として知られており、エネルギーは保存されるという直感と一致します。すると、相互作用ハミルトニアン（簡潔にするために実数とします）は次のようになります。 ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}={\hat {H}}_{A}+{\hat {H}}_{F}}$ $${\displaystyle {\hat {H}}_{AF}(t)=e^{i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }{\hat {H}}_{AF}e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }=\hbar \left(g_{c}{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }e^{i(\omega _{c}+\omega _{eg})t}+g_{c}^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}e^{-i(\omega _{c}+\omega _{eg})t}-g_{c}^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }e^{-i(\omega _{eg}-\omega _{c})t}-g_{c}{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}e^{i(\omega _{eg}-\omega _{c})t}\right)}$$ ${\displaystyle |\omega _{eg}-\omega _{c}|\ll \omega _{eg}+\omega _{c}}$ ${\displaystyle \omega _{eg}-\omega _{c}\simeq 0}$ ${\displaystyle \omega _{eg}+\omega _{c}\simeq 2\omega _{c}}$ ${\displaystyle \tau ={\frac {2\pi }{\Delta }},\Delta \equiv \omega _{eg}-\omega _{c}}$ ${\displaystyle {\frac {2\pi }{2\omega _{c}}}\ll \tau }$ ${\displaystyle g_{c}}$

$${\displaystyle {\hat {H}}_{AF}(t)=-\hbar g_{c}\left({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}e^{i(\omega _{eg}-\omega _{c})t}+{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }e^{-i(\omega _{eg}-\omega _{c})t}\right)}$$

この近似値を使って（そして負の符号を に吸収して）、シュレーディンガー像に戻すことができます。 ${\displaystyle g_{c}}$

$${\displaystyle {\hat {H}}_{AF}=e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }{\hat {H}}_{AF}(t)e^{i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }=\hbar g_{c}\left({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}+{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\right)}$$

ジェインズ・カミングス・ハミルトニアン 2

前の2つの節で得られた結果を用いて、完全なジェインズ・カミングス・ハミルトニアンを書き表すことができる。^[30] 定数項は場の零点エネルギーを表す。これは力学には寄与しないので無視することができ、以下の式が得られる。 $${\displaystyle {\hat {H}}_{JC}=\hbar \omega _{c}\left({\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}+{\frac {1}{2}}\right)+\hbar \omega _{eg}|e\rangle \langle e|+\hbar g_{c}\left({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}+{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\right)}$$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\hbar \omega _{c}}$ $${\displaystyle {\hat {H}}_{JC}=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}+\hbar \omega _{eg}|e\rangle \langle e|+\hbar g_{c}\left({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}+{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\right)}$$

次に、いわゆる数演算子を次のように 定義します。この演算子と原子場ハミルトニアンとの交換子を考えます。 $${\displaystyle {\hat {N}}=|e\rangle \langle e|+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {H}}_{AF},{\hat {N}}\right]&=\hbar g_{c}\left(\left[{\hat {a}}_{c}{\hat {\sigma }}_{+},|e\rangle \langle e|+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}\right]+\left[{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-},|e\rangle \langle e|+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}\right]\right)\\&=\hbar g_{c}\left({\hat {a}}_{c}\left[{\hat {\sigma }}_{+},|e\rangle \langle e|\right]+\left[{\hat {a}}_{c},{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}\right]{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\left[{\hat {\sigma }}_{-},|e\rangle \langle e|\right]+\left[{\hat {a}}_{c}^{\dagger },{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}\right]{\hat {\sigma }}_{-}\right)\\&=\hbar g_{c}\left(-{\hat {a}}_{c}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}_{c}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}-{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)\\&=0\end{aligned}}}$$

このように、数演算子は原子場ハミルトニアンと可換である。数演算子の固有状態は、場の状態が特定の数の光子を持つ状態であるテンソル積状態 の基礎となる。数演算子は、原子場系における量子の総数を数える。 ${\displaystyle \left\{|g,0\rangle ;|e,0\rangle ,|g,1\rangle ;\cdots ;|e,n-1\rangle ,|g,n\rangle \right\}}$ ${\displaystyle \left\{|n\rangle \right\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\hat {N}}}$ ${\displaystyle n}$

この（全数状態）の固有状態の基底において、ハミルトニアンはブロック対角構造をとる： ^[30] ${\displaystyle {\hat {N}}}$ $${\displaystyle {\hat {H}}_{JC}={\begin{bmatrix}H_{0}&0&0&0&\cdots &\cdots &\cdots \\0&{\hat {H}}_{1}&0&0&\ddots &\ddots &\ddots \\0&0&{\hat {H}}_{2}&0&\ddots &\ddots &\ddots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\\vdots &\ddots &\ddots &0&{\hat {H}}_{n}&0&\ddots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\\end{bmatrix}}}$$

スカラーを除いて、対角線上の各 は、それ自体が形式の行列です。 ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{n}}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ $${\displaystyle {\hat {H}}_{n}={\begin{bmatrix}\hbar \omega _{c}(n-1)+\hbar \omega _{eg}&\langle e,n-1|{\hat {H}}_{JC}|g,n\rangle \\\langle g,n|{\hat {H}}_{JC}|e,n-1\rangle &n\hbar \omega _{c}\\\end{bmatrix}}}$$

ここで、次の関係を使用します。 $${\displaystyle \langle g,n|{\hat {H}}_{JC}|e,n-1\rangle =\hbar g_{c}\langle g,n|{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}|e,n-1\rangle +\hbar g_{c}\langle g,n|{\hat {a}}_{c}{\hat {\sigma }}_{+}|e,n-1\rangle ={\sqrt {n}}\hbar g_{c}}$$

^n番目の部分空間で作用するハミルトニアンの部分は次のようになります。 $${\displaystyle {\hat {H}}_{n}={\begin{bmatrix}n\hbar \omega _{c}-\hbar \Delta &{\frac {{\sqrt {n}}\hbar \Omega }{2}}\\{\frac {{\sqrt {n}}\hbar \Omega }{2}}&n\hbar \omega _{c}\\\end{bmatrix}}}$$

エネルギーを から にシフトし、の量で、 ^[30]を得ることができる。 ${\displaystyle |e\rangle }$ ${\displaystyle |g\rangle }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\hbar \Delta }$ $${\displaystyle {\hat {H}}_{n}={\begin{bmatrix}n\hbar \omega _{c}-{\frac {1}{2}}\hbar \Delta &{\frac {{\sqrt {n}}\hbar \Omega }{2}}\\{\frac {{\sqrt {n}}\hbar \Omega }{2}}&n\hbar \omega _{c}+{\frac {1}{2}}\hbar \Delta \\\end{bmatrix}}=n\hbar \omega _{c}{\hat {I}}^{(n)}-{\frac {\hbar \Delta }{2}}{\hat {\sigma }}_{z}^{(n)}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {n}}\hbar \Omega {\hat {\sigma }}_{x}^{(n)}}$$

ここで、 は系のラビ周波数、 は共振器と原子遷移の周波数間のいわゆる「デチューニング」である。また、以下の演算子も定義した。 ${\displaystyle 2g_{c}=\Omega }$ ${\displaystyle \Delta =\omega _{c}-\omega _{eg}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {I}}^{(n)}&=\left|e,n-1\right\rangle \left\langle e,n-1\right|+\left|g,n\right\rangle \left\langle g,n\right|\\[1ex]{\hat {\sigma }}_{z}^{(n)}&=\left|e,n-1\right\rangle \left\langle e,n-1\right|-\left|g,n\right\rangle \left\langle g,n\right|\\[1ex]{\hat {\sigma }}_{x}^{(n)}&=\left|e,n-1\right\rangle \left\langle g,n\right|+\left|g,n\right\rangle \left\langle e,n-1\right|.\\[-1ex]\,\end{aligned}}}$$

原子場系のn^{番目のエネルギー準位の}ヒルベルト空間における恒等演算子とパウリのx, z演算子である。この単純なハミルトニアンは、ラビ問題で見られるものと同じ形である。対角化により、エネルギー固有値と固有状態は以下のようになる。^{[30] [31]}ここで、角度は関係式で定義される。 ${\displaystyle 2\times 2}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{n,\pm }&=\left(n\hbar \omega _{c}-{\frac {1}{2}}\hbar \Delta \right)\pm {\frac {1}{2}}\hbar {\sqrt {\Delta ^{2}+n\Omega ^{2}}}\\|n,+\rangle &=\cos \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|e,n-1\rangle +\sin \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|g,n\rangle \\|n,-\rangle &=\cos \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|g,n\rangle -\sin \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|e,n-1\rangle \\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle \tan \theta _{n}=-{\frac {{\sqrt {n}}\Omega }{\Delta }}}$

真空ラビ振動

原子が励起状態で共振器に進入し、共振器が真空状態にある場合を考える。さらに、モードの角周波数は、 を含む原子遷移周波数に近似できると仮定する。このとき、原子場系の状態は時間の関数として次のように表される。 ${\displaystyle \Delta \approx 0}$ $${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\cos \left({\frac {\Omega t}{2}}\right)|e,0\rangle -i\sin \left({\frac {\Omega t}{2}}\right)|g,1\rangle }$$

したがって、一定時間空洞と相互作用した後にシステムが基底状態または励起状態にある確率は次のようになります。^[32] ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}(t)&=|\langle e,0|\psi (t)\rangle |^{2}=\cos ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)\\P_{g}(t)&=|\langle g,1|\psi (t)\rangle |^{2}=\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$$

したがって、原子がどちらの状態にあるかの確率振幅は振動する。これは真空ラビ振動現象の量子力学的説明である。この場合、原子場系には最初に励起された原子によって運ばれた単一の量子しか存在しなかった。一般に、量子の原子場系に関連するラビ振動は周波数を持つ。後述するように、この離散的な周波数スペクトルが、モデルにおける崩壊とそれに続く再生の確率の根本的な理由である。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega _{n}={\frac {{\sqrt {n}}\Omega }{2}}}$

ジェインズ・カミングス・ラダー

前の節で示したように、原子空洞系の初期状態がまたは である場合（最初は特定の状態（基底状態または励起状態）にある原子が、既知の数の光子を含む空洞に入る場合）、その後の原子空洞系の状態は、原子空洞系の新しい固有状態の重ね合わせになります。 ${\displaystyle |e,n-1\rangle }$ ${\displaystyle |g,n\rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|n,+\rangle &=\cos \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|e,n-1\rangle +\sin \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|g,n\rangle \\|n,-\rangle &=\cos \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|g,n\rangle -\sin \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|e,n-1\rangle \\\end{aligned}}}$$

原子-場相互作用によって引き起こされるハミルトニアンの変化によるこの固有状態の変化は、原子の「ドレッシング」と呼ばれることもあり、新しい固有状態はドレッシング状態と呼ばれます。^[30]ドレッシング状態間のエネルギー差は：特に興味深いのは、空洞周波数が原子の遷移周波数と完全に共鳴する場合です。つまり、共鳴の場合、ドレッシング状態は：^[31] $${\displaystyle \delta E=E_{+}-E_{-}=\hbar {\sqrt {\Delta ^{2}+n\Omega ^{2}}}}$$ ${\displaystyle \omega _{eg}=\omega _{c}\implies \Delta =0}$ $${\displaystyle |n,\pm \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|g,n\rangle \mp |e,n-1\rangle \right)}$$

エネルギー差は である。したがって、原子と場の相互作用により、状態と状態の縮退はによって 分割される。このエネルギー準位の非線形階層構造は、ジェインズ・カミングス・ラダーとして知られている。この非線形分割効果は純粋に量子力学的なものであり、いかなる半古典的モデルでも説明できない。^[20] ${\displaystyle \delta E={\sqrt {n}}\hbar \Omega }$ ${\displaystyle |e,n-1\rangle }$ ${\displaystyle |g,n\rangle }$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}\hbar \Omega }$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

確率の崩壊と復活

最初は基底状態にあった原子が、最初はコヒーレント状態に準備された場のモードと相互作用すると仮定します。この場合、原子場システムの初期状態は次のようになります。 $${\displaystyle |\psi (0)\rangle =|g,\alpha \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }e^{-|\alpha |^{2}/2}{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}|g,n\rangle }$$

簡単にするために共鳴ケース( )を取ると、n^番目の数の部分空間のハミルトニアンは次のようになります。 ${\displaystyle \Delta =0}$ $${\displaystyle {\hat {H}}_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right){\hat {I}}^{(n)}+{\frac {\hbar {\sqrt {n}}\Omega }{2}}{\hat {\sigma }}_{x}^{(n)}}$$

これを用いると、原子場システムの時間発展は次のようになります。定数因子もも、零点エネルギーを表すため、全体的な位相を超えてダイナミクスに寄与しないことに注意してください。この場合、原子が後の時点で励起状態に反転している確率は次のようになります。ここで、 はコヒーレント状態における平均光子数であることを確認しました。平均光子数が大きい場合、コヒーレント状態の統計はポアソン分布に従うため、分散と平均の比は となります。この結果を用いて、を の最小の非ゼロ次数まで展開すると、次のようになります。これを和に代入すると、複雑な指数積が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi (t)\rangle &=e^{-i{\hat {H}}_{n}t/\hbar }|\psi (0)\rangle \\&=e^{-|\alpha |^{2}/2}|g,0\rangle +\sum _{n=1}^{\infty }e^{-|\alpha |^{2}/2}{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}e^{-in\omega _{c}t}\left(\cos {({\sqrt {n}}\Omega t/2)}{\hat {I}}^{(n)}-i\sin {({\sqrt {n}}\Omega t/2)}{\hat {\sigma }}_{x}^{(n)}\right)|g,n\rangle \\&=e^{-|\alpha |^{2}/2}|g,0\rangle +\sum _{n=1}^{\infty }e^{-|\alpha |^{2}/2}{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}e^{-in\omega _{c}t}\left(\cos {({\sqrt {n}}\Omega t/2)}|g,n\rangle -i\sin {({\sqrt {n}}\Omega t/2)}|e,n-1\rangle \right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\frac {\hbar \omega _{c}}{2}}{\hat {I}}^{(n)}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}(t)=\left|\langle e|\psi (t)\rangle \right|^{2}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{-|\alpha |^{2}}}{n!}}|\alpha |^{2n}\sin ^{2}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {n}}\Omega t\right)\\[2ex]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{-\langle n\rangle }\langle n\rangle ^{n}}{n!}}\sin ^{2}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {n}}\Omega t\right)\\[2ex]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{-\langle n\rangle }\langle n\rangle ^{n}}{n!}}\sin ^{2}(\Omega _{n}t)\\{}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \langle n\rangle =|\alpha |^{2}}$ ${\displaystyle \langle (\Delta n)^{2}\rangle /\langle n\rangle ^{2}\simeq 1/\langle n\rangle }$ ${\displaystyle \Omega _{n}}$ ${\displaystyle \langle n\rangle }$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \Omega _{n}\simeq {\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {\langle n\rangle }}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {n-\langle n\rangle }{\langle n\rangle }}\right)}$$ $${\displaystyle P_{e}(t)\simeq {\frac {1}{2}}-{\frac {e^{-\langle n\rangle }}{4}}\cdot \left(e^{-i{\sqrt {\langle n\rangle }}\Omega t/2}\exp \left[\langle n\rangle \exp \left(-{\frac {i\Omega t}{2{\sqrt {\langle n\rangle }}}}\right)\right]+e^{i{\sqrt {\langle n\rangle }}\Omega t/2}\exp \left[\langle n\rangle \exp \left({\frac {i\Omega t}{2{\sqrt {\langle n\rangle }}}}\right)\right]\right)}$$

平均光子数 の系において、系が励起状態にある確率を単位のないパラメータの関数としてプロットしたグラフ。短時間で初期崩壊が起こり、その後長時間で回復する様子に注目してください。この挙動は、場の量子化によって生じる周波数の離散スペクトルに起因します。 ${\displaystyle gt}$ ${\displaystyle \langle n\rangle =25}$

となるような「小さい」時間の場合、最後の項の二重指数関数内の内部指数関数は2次まで展開して次式を得ることができます。 ${\displaystyle {\frac {\Omega t}{2}}\ll {\sqrt {\langle n\rangle }}}$

$${\displaystyle P_{e}(t)\simeq {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cdot \cos \left[{\sqrt {\langle n\rangle }}\Omega t\right]e^{-\Omega ^{2}t^{2}/8}}$$

この結果は、励起状態の占有確率が有効周波数で振動することを示している。また、それが特性時間とともに減衰することも示している：^{[6] [7] [31]} ${\textstyle \Omega _{\text{eff}}={\sqrt {\langle n\rangle }}\Omega }$ $${\displaystyle \tau _{c}={\frac {\sqrt {2}}{\Omega }}}$$

この崩壊は、異なる周波数成分が位相をずらし、時間の経過とともに相殺的に干渉し始めるため、それらの成分間の相殺的干渉の結果として容易に理解できる。^{[31] [32]}しかし、周波数が離散的なスペクトルを持つという事実は、より長い時間領域において別の興味深い結果をもたらす。その場合、ゆっくりと変化する二重指数関数の周期的な性質は、時間において確率の復活も起こるはずであると予測する。 $${\displaystyle \tau _{r}={\frac {4\pi }{\Omega }}{\sqrt {\langle n\rangle }}.}$$

確率の復活は、様々な離散周波数の再位相によるものである。もし場が古典的であれば、周波数は連続スペクトルを持ち、そのような再位相は有限時間内には決して起こり得ない。^{[7] [31] [32]}

右は、コヒーレント状態で準備された共振器と相互作用した後に、基底状態にあった原子が励起状態へ遷移する確率を、単位のないパラメータに対してプロットしたものです。初期の崩壊と、それに続く長時間にわたる明確な回復に注目してください。 ${\displaystyle gt=\Omega t/2}$

量子振動の崩壊と復活

場が最初にコヒーレント状態に準備されると、ジェインズ・カミングス模型は原子反転の崩壊と復活を予測する。コヒーレントラビ振動は、異なる光子数成分間の干渉により当初は減衰するが、後に周期的に復活する。この非古典的な効果は半古典的な放射理論には見当たらず、この模型の最も特徴的な予測の一つとされている。^{[33] [34]}

この原子反転の量子振動のグラフは、二次スケールのデチューニングパラメータ （デチューニングパラメータ ）について、AA KaratsubaとEA Karatsubaによって得られた公式に基づいて作成されたものである。^[35] ${\displaystyle a=(\delta /2g)^{2}=40}$ ${\displaystyle \delta }$

参照

• カルデイラ・レゲットモデル
• ジェインズ・カミングス・ハバードモデル
• ラビ問題
• 自然放出
• 真空ラビ振動

参考文献

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