微分方程式系

テキサス大学N体シミュレーション。重力ポテンシャルにおけるジーンズ方程式に従う

ジーンズ方程式は、重力場における星の集合の運動を記述する偏微分方程式の集合である。ジーンズ方程式は、衝突のない系における2次速度モーメントと星系の密度およびポテンシャルを関連付ける。これは流体の流れに関するオイラー方程式に類似しており、衝突のないボルツマン方程式から導出することができる。ジーンズ方程式は、モデル化される対象の構造に応じて、様々な形式をとることができる。これらの方程式は、重力によって束縛された多数の物体を含むシミュレーションにおいて最もよく利用されている。

歴史

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ジーンズ方程式は、もともとジェームズ・クラーク・マクスウェルによって導出されました。しかし、天文学に初めて応用されたのは、 1915年に恒星の流体力学の研究を行っていたジェームズ・ジーンズでした。それ以来、この方程式の複数の解が解析的および数値的に計算されてきました。注目すべき解としては、 1983年にジェームズ・ビニーによって導出された球対称解や、1995年にリチャード・アーノルドによって発見された軸対称解などがあります。^{[ 1 ] [ 2 ]}

数学

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ボルツマン方程式からの導出

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衝突のないボルツマン方程式はヴラソフ方程式とも呼ばれ、リウヴィル方程式の特殊な形であり、次のように表される。^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\partial f \over \partial t}+v{\partial f \over \partial r}-{\partial \Phi \over \partial r}{\partial f \over \partial v}=0}$ あるいはベクトル形式では: ${\displaystyle {\partial f \over \partial t}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}f-{\vec {\nabla }}\Phi \cdot {\partial f \over \partial {\vec {v}}}=0}$

ヴラソフ方程式と重力のポアソン方程式を組み合わせると、ジーンズ方程式が得られます。 $${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .}$$

より具体的には、n = n ( x , t ) が位置x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) と時間tの関数としての宇宙における星の密度、v = ( v ₁ , v ₂ , v ₃ ) が速度、Φ = Φ( x , t ) が重​​力ポテンシャルである場合、ジーンズ方程式は次のように表すことができます。^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial (n\langle {v_{i}}\rangle )}{\partial x_{i}}}=0,}$

${\displaystyle {\frac {\partial (n\langle {v_{j}}\rangle )}{\partial t}}+n{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}+\sum _{i}{\frac {\partial (n\langle {v_{i}v_{j}}\rangle )}{\partial x_{i}}}=0\qquad (j=1,2,3.)}$

ここで、⟨...⟩ という表記は、与えられた点と時刻 (x,t) における平均を意味し、例えば は与えられた点と時刻における星の速度の成分 1 の平均です。2 番目の式は次のように書くこともできます。 ${\displaystyle \langle {v_{1}}\rangle }$

${\displaystyle n{\frac {\partial \langle {v_{j}}\rangle }{\partial t}}+\sum _{i}n\langle {v_{i}}\rangle {\frac {\partial {\langle {v_{j}}\rangle }}{\partial x_{i}}}=-n{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}-\sum _{i}{\frac {\partial (n\sigma _{ij}^{2})}{\partial x_{i}}}\qquad (j=1,2,3.)}$

ここで、応力エネルギーテンソルの空間部分は次のように定義されます。また、特定の点における 成分iとjの速度分散を測定します。 ${\displaystyle \sigma _{ij}^{2}=\langle {v_{i}v_{j}}\rangle -\langle {v_{i}}\rangle \langle {v_{j}}\rangle }$

これらの方程式に関するいくつかの仮定は次のとおりです。

• 位相空間の流れは質量を保存しなければならない
• 特定の星の周囲の密度は同じまま、または圧縮不可能である

ジーンズ方程式には9つの未知数（3つの平均速度と6つの応力テンソル項）が含まれているが、方程式は3つしかないことに注意されたい。これは、ジーンズ方程式が閉じていないことを意味する。異なる系を解くには、応力テンソルに関して様々な仮定が用いられる。^{[ 6 ]}

球面ジーンズ方程式

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ジャン方程式の基本的な用途の一つは、球状の重力体におけるものである。球座標系では、方程式は以下の通りである。^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\partial \rho \langle v_{r}\rangle \over \partial t}+{\partial \rho \langle v_{r}^{2}\rangle \over \partial r}+{\rho \over r}[2\langle v_{r}^{2}\rangle -\langle v_{\theta }^{2}\rangle -\langle v_{\phi }^{2}\rangle ]+\rho {\partial \Phi \over \partial r}=0}$

${\displaystyle {\partial \rho \langle v_{\theta }\rangle \over \partial t}+{\partial \rho \langle v_{r}v_{\theta }\rangle \over \partial r}+{\rho \over r}[3\langle v_{r}v_{\theta }\rangle +(\langle v_{\theta }^{2}\rangle -\langle v_{\phi }^{2}\rangle )\cot(\theta )]=0}$

${\displaystyle {\partial \rho \langle v_{\phi }\rangle \over \partial t}+{\partial \rho \langle v_{r}v_{\phi }\rangle \over \partial r}+{\rho \over r}[3\langle v_{r}v_{\phi }\rangle +2\langle v_{\theta }v_{\phi }\rangle \cot(\theta )]=0}$

応力テンソルが対角で であるという仮定のもとで使用すると、これらの方程式を 1 つの簡略化された方程式に簡略化できます。 ${\displaystyle \sigma _{\theta }^{2}=\sigma _{\phi }^{2}}$

${\displaystyle {\partial (\rho \sigma _{r}^{2}) \over \partial r}+{2\rho \over r}[\sigma _{r}^{2}-\sigma _{\theta }^{2}]+\rho {\partial \Phi \over \partial r}=0}$

ここでも、方程式を解くために仮定を必要とする 2 つの未知の関数 (および)があります。 ${\displaystyle \sigma _{r}^{2}(r)}$ ${\displaystyle \sigma _{\theta }^{2}(r)}$

アプリケーション

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ジーンズ方程式は、N体シミュレーションによる重力研究において大きな有用性が見出されています。 ^{[ 7 ]}これらのシミュレーションの規模は、太陽系から宇宙全体まで多岐にわたります。恒星の数密度と様々な運動量の測定値を用いることで、ジーンズ方程式内のパラメータを推定することができます。これにより、ジーンズ方程式を通して様々な解析を行うことができます。特に、等温で非相互作用的な挙動を示す暗黒物質ハローの分布をシミュレーションする際に有用です。銀河形成、暗黒物質形成、そして宇宙形成における構造の探索においては、ジーンズ方程式を用いたシミュレーションによって観測結果を補完することができます。

Jeans 方程式のパラメータ推定にデータを提供する SDSS 望遠鏡。

天の川銀河の暗黒物質ハロー

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天の川銀河の周囲に広がる暗黒物質ハローの芸術的表現。ジーンズ方程式シミュレーションにより、このハローの大きさには限界がある。

こうした分析の一例としては、天の川銀河内の暗黒物質ハローに課される制約が挙げられる。スローン・デジタル・スカイ・サーベイ（SDS）による銀河系の観測データを用いて、研究者たちはジーンズ方程式を用いて暗黒物質ハローの分布をシミュレートすることができた。^{[ 8 ]}測定値とジーンズ方程式のシミュレーション結果を比較することで、研究者たちは余分な暗黒物質が必要であることを確認し、その楕円体サイズに制限を設けた。彼らはこのハローの短軸と長軸の比を0.47× 0.14と推定した。この手法は他の多くの銀河ハローにも適用されており^{[ 9 ]}、暗黒物質ハローのトポロジーに関しても同様の結果が得られている。 ${\displaystyle \pm }$

シミュレーションの制限

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しかしながら、これらのシミュレーションの制限要因は、ジーンズ方程式の挙動を規定する応力テンソルパラメータ値を近似するために必要なデータ量であった。さらに、信頼性の高い結果を得るために、ジーンズ方程式シミュレーションにはいくつかの制約が課される可能性がある^{[ 10 ] [ 11 ]。} これらの制約には、波長分解能の要件、重力軟化の変動、および最小鉛直構造粒子分解能などが含まれる。

参照

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• ジーンズの定理

参考文献

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1. アーノルド、リチャード (1995). 「ジーンズ方程式の軸対称解」 .王立天文学会月報. 276 : 293–300 . Bibcode : 1995MNRAS.276..293A . doi : 10.1093/mnras/276.1.293 . ISSN  1365-2966 .
2. Cappellari, Michele (2020-06-01). 「銀河ダイナミクスのための恒星流体力学の異方性球面整合軸対称ジーンズ方程式の効率的解」 . Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 494 (4): 4819– 4837. arXiv : 1907.09894 . doi : 10.1093/mnras/staa959 . ISSN 0035-8711 . 
3. 「衝突なしのボルツマン方程式」 www.cv.nrao.edu . 2022年4月23日閲覧。
4. ビニー、ジェームズ、トレメイン、スコット(1988). 「4.2」.銀河ダイナミクス(第1版).プリンストン大学出版局. pp.  195– 197.書誌コード: 1988gady.book.....B . ISBN 0-691-08445-9。
5. メリット、デイビッド(2013).銀河核のダイナミクスと進化. プリンストン、ニュージャージー州: プリンストン大学出版局.
6. ファン・デン・ボッシュ、フランク. 「イェール大学天文学講義ノート」(PDF) .
7. Haas, Brian L.; Hash, David B.; Bird, Graeme A.; Lumpkin, Forrest E.; Hassan, HA (1994). 「直接シミュレーションモンテカルロ法における熱緩和速度」 . Physics of Fluids . 6 (6): 2191– 2201. Bibcode : 1994PhFl....6.2191H . doi : 10.1063/1.868221 . ISSN 1070-6631 . 
8. Loebman, Sarah R.; Ivezić, Željko; Quinn, Thomas R.; Governato, Fabio; Brooks, Alyson M.; Christensen, Charlotte R.; Jurić, Mario (2012-09-26). 「ジーンズ方程式のスローン・デジタル・スカイ・サーベイ・データへの適用による天の川銀河暗黒物質ハローの形状に対する制約」 .アストロフィジカル・ジャーナル. 758 (1): L23. arXiv : 1209.2708 . Bibcode : 2012ApJ...758L..23L . doi : 10.1088/2041-8205/758/1/l23 . ISSN 2041-8205 . S2CID 18220516 .  
9. Adams, Joshua J.; Gebhardt, Karl; Blanc, Guillermo A.; Fabricius, Maximilian H.; Hill, Gary J.; Murphy, Jeremy D.; van den Bosch, Remco CE; van de Ven, Glenn (2012-01-03). 「NGC 2976の中心暗黒物質分布」 . The Astrophysical Journal . 745 (1): 92. arXiv : 1110.5951 . Bibcode : 2012ApJ...745...92A . doi : 10.1088/0004-637x/745/1/92 . hdl : 2152/35153 . ISSN 0004-637X . S2CID 118429887。  
10. Nelson, Andrew F. (2006). 「自己重力円盤および非自己重力円盤のシミュレーションにおける数値的要件」 . Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 373 (3): 1039– 1073. arXiv : astro-ph/0609493 . Bibcode : 2006MNRAS.373.1039N . doi : 10.1111/j.1365-2966.2006.11119.x . ISSN 0035-8711 . S2CID 17175349 .  
11. Truelove, J. Kelly; Klein, Richard I.; McKee, Christopher F.; Holliman Ii, John H.; Howell, Louis H.; Greenough, Jeffrey A. (1997). 「ジーンズ条件：等温自己重力流体力学シミュレーションにおける空間分解能に対する新たな制約」 .アストロフィジカル・ジャーナル. 489 (2): L179 – L183 .書誌コード: 1997ApJ...489L.179T . doi : 10.1086/310975 . S2CID 120393398 .  

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