Jetバンドル

Construction in differential topology

微分位相幾何学において、ジェットバンドルとは、与えられた滑らかなファイバーバンドルから新しい滑らかな ファイバーバンドルを作成する特定の構成です。これにより、ファイバーバンドルの切断上の微分方程式を不変形式で記述することが可能になります。ジェットは、テイラー展開の座標自由版と見なすこともできます

歴史的に、ジェット束はシャルル・エールスマンに帰属し、新たに導入された形式変数に微分形式条件を課すことで、高次微分を幾何学的に扱うエリー・カルタンの方法（延長）の進歩でした。ジェット束はスプレーと呼ばれることもありますが、スプレーは通常、対応する束に誘起される関連するベクトル場（例えば、フィンスラー多様体上の測地線スプレー） をより具体的に指します

1980年代初頭以来、ジェットバンドルは写像の微分、特に変分法に関連する現象を記述するための簡潔な方法として登場しました。^{[1]その結果、ジェットバンドルは現在、幾何}学的共変場理論の正しい領域として認識されており、このアプローチを用いた一般相対論的な場の定式化において多くの研究が行われています。

ジェット

Mが m次元多様体であり、( E , π, M ) がファイバーバンドルであると仮定します。p ∈ Mに対して、Γ(p) は定義域にp を含むすべての局所断面の集合を表します。⁠ ⁠を多重添字（m個の非負整数の組で、必ずしも昇順である必要はありません）とすると、次を定義します。 ${\displaystyle I=(I(1),I(2),...,I(m))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|I|&:=\sum _{i=1}^{m}I(i)\\{\frac {\partial ^{|I|}}{\partial x^{I}}}&:=\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)^{I(i)}.\end{aligned}}}$

局所断面 σ, η ∈ Γ(p) が、 pで同じrジェットを持つように定義します

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\eta ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p},\quad 0\leq |I|\leq r.}$

2つの写像が同じrジェットを持つという関係は同値関係です。rジェットはこの関係における同値類であり、代表σを持つrジェットはと表記されます。整数rはジェットの 位数とも呼ばれ、 pはそのソース、σ( p )はそのターゲットです。 ${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma }$

ジェット多様体

πのr番目のジェット多様体は集合です

${\displaystyle J^{r}(\pi )=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma \in \Gamma (p)\right\}.}$

射影π _rとπ _{r ,0をそれぞれ}ソース射影とターゲット射影と呼ぶことができます。

${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r}:J^{r}(\pi )\to M\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto p\end{cases}},\qquad {\begin{cases}\pi _{r,0}:J^{r}(\pi )\to E\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto \sigma (p)\end{cases}}}$

1 ≤ k ≤ rの場合、kジェット射影は次のように定義される関数π _r,kです

$${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r,k}:J^{r}(\pi )\to J^{k}(\pi )\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto j_{p}^{k}\sigma \end{cases}}}$$

この定義から、π _r = π o π _{r ,0}であり、0 ≤ m ≤ kならばπ _r,m = π _k,m o π _r,kであることは明らかです。π r _{,r を}J  ^r ( π )上の恒等写像と見なし、 J ⁰ ( π ) をEと同一視するのが慣例です。 

関数π _r,k、π _{r ,0}、およびπ _rは滑らかな 射影的 沈み込みです。

E上の座標系はJ  ^r ( π )上の座標系を生成します。( U , u ) をE上の適応座標チャートとし、u = ( xi ^, uα ) とします。J r  ( π )上の誘導座標チャート ( U ^r , u ^r )^は次のように定義されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}U^{r}&=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma (p)\in U\right\}\\u^{r}&=\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right)\end{aligned}}}$$

ここで

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{i}\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=x^{i}(p)\\u^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=u^{\alpha }(\sigma (p))\end{aligned}}}$$

および微分座標として知られる関数： ${\displaystyle n\left({\binom {m+r}{r}}-1\right)}$

$${\displaystyle {\begin{cases}u_{I}^{\alpha }:U^{k}\to \mathbf {R} \\u_{I}^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}\end{cases}}}$$

E上の適応チャート ( U , u )のアトラスが与えられたとき、対応するチャート ( U  ^r , u  ^r )の集合はJ  ^r ( π ) 上の有限次元C ^∞アトラスである。

ジェットバンドル

それぞれのアトラスは多様体を定義するので、3つ組、およびはすべてファイバー多様体を定義する。特に、がファイバーバンドルである場合、3つ組は π のr番目のジェットバンドルを定義する。 ${\displaystyle J^{r}(\pi )}$ ${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r,k},J^{k}(\pi ))}$ ${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r,0},E)}$ ${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)}$ ${\displaystyle (E,\pi ,M)}$ ${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)}$

W ⊂ Mが開部分多様体である場合、

${\displaystyle J^{r}\left(\pi |_{\pi ^{-1}(W)}\right)\cong \pi _{r}^{-1}(W).\,}$

p ∈ Mの場合、ファイバーは と表記される ${\displaystyle \pi _{r}^{-1}(p)\,}$ ${\displaystyle J_{p}^{r}(\pi )}$

σ を、定義域W ⊂ Mを持つ π の局所切断とします。σのr番目のジェット延長は、次のように定義される写像です。 ${\displaystyle j^{r}\sigma :W\rightarrow J^{r}(\pi )}$

${\displaystyle (j^{r}\sigma )(p)=j_{p}^{r}\sigma .\,}$

なので、実際には切断であることに注意してください。局所座標では、 は次のように与えられます。 ${\displaystyle \pi _{r}\circ j^{r}\sigma =\mathbb {id} _{W}}$ ${\displaystyle j^{r}\sigma }$ ${\displaystyle j^{r}\sigma }$

${\displaystyle \left(\sigma ^{\alpha },{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right)\qquad 1\leq |I|\leq r.\,}$

を と同一視します ${\displaystyle j^{0}\sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

代数幾何学的観点

切断層の独立に動機付けられた構成が与えられる。 ${\displaystyle \Gamma J^{k}\left(\pi _{TM}\right)}$

対角写像 を考える。ここで、滑らかな多様体は各開 に対してによって局所環化された空間である。の理想層とし、同値として、すべての に対してで消える滑らかな芽の層とする。商層のから への引き戻しは、k-ジェット層の層である。^[2] ${\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \Delta _{n}(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \Delta _{n}(M)}$ ${\displaystyle 0<n\leq k}$ ${\displaystyle {\Delta _{n}}^{*}\left({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{n+1}\right)}$ ${\textstyle \prod _{i=1}^{n+1}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta _{n}}$

層の標準的な包含によって与えられる注入の列の直接極限は、無限ジェット層を生み出す。直接極限構成により、それはフィルターされた環であることに注意されたい。 ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{n+1}\hookrightarrow {\mathcal {I}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{\infty }(TM)}$

例

π が自明な束( M × R , pr ₁ , M ) である場合、最初のジェット束とT*M × Rの間には標準的な微分同相写像が存在する。この微分同相写像を構成するには、 の各 σ に対して と書く。 ${\displaystyle J^{1}(\pi )}$ ${\displaystyle \Gamma _{M}(\pi )}$ ${\displaystyle {\bar {\sigma }}=pr_{2}\circ \sigma \in C^{\infty }(M)\,}$

そして、p ∈ Mであるときはいつでも

${\displaystyle j_{p}^{1}\sigma =\left\{\psi :\psi \in \Gamma _{p}(\pi );{\bar {\psi }}(p)={\bar {\sigma }}(p);d{\bar {\psi }}_{p}=d{\bar {\sigma }}_{p}\right\}.\,}$

したがって、写像

${\displaystyle {\begin{cases}J^{1}(\pi )\to T^{*}M\times \mathbf {R} \\j_{p}^{1}\sigma \mapsto \left(d{\bar {\sigma }}_{p},{\bar {\sigma }}(p)\right)\end{cases}}}$

は明確に定義されており、明らかに単射である。座標で書き出すと、それが微分同相写像であることが示される。なぜなら、(x ⁱ , u)がM × R上の座標であり、u = id _Rが恒等座標である場合、J ¹ (π)上の微分座標u _{i は}T*M上の座標 ∂ _iに対応するからである。

同様に、π が自明バンドル ( R × M , pr ₁ , R ) である場合、とR × TMの間には標準微分同相写像が存在する。 ${\displaystyle J^{1}(\pi )}$

接触構造

空間J ^r (π) は、カルタン分布と呼ばれる接束TJ ^r (π)の部分束である自然超関数を持つ。カルタン分布は、ホロノミック切断のグラフ、すなわちj ^r φの形（ φはπの切断）のグラフのすべての接平面によって張られる。

カルタン分布の消滅子は、 J ^r (π)上の 接触形式^と呼ばれる微分一形式空間である。J r (π)上の微分一形式空間はで表され、接触形式空間は で表されます。一形式は、すべての延長に沿った引き戻しがゼロである場合に接触形式となります。言い換えれば、 が接触形式である場合、かつその場合のみ ${\displaystyle \Lambda ^{1}J^{r}(\pi )}$ ${\displaystyle \Lambda _{C}^{r}\pi }$ ${\displaystyle \theta \in \Lambda ^{1}J^{r}\pi }$

${\displaystyle \left(j^{r+1}\sigma \right)^{*}\theta =0}$

M上の π のすべての局所切断 σ に対して。

カルタン分布はジェット空間上の主要な幾何学的構造であり、偏微分方程式の幾何学的理論において重要な役割を果たします。カルタン分布は完全に非積分です。特に、それらは対合的ではありません。カルタン分布の次元はジェット空間の位数とともに増加します。しかし、無限ジェット空間J ^∞上では、カルタン分布は対合的かつ有限次元になります。その次元は、基本多様体Mの次元と一致します。

例

(E, π, M)の場合を考えます。ここで、 E ≃ R ²、M ≃ Rです。すると、(J ¹ (π), π, M)は第一ジェット束を定義し、(x, u, u ₁ )で座標付けできます。ここで

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=x(p)=x\\u\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}=\sigma '(x)\end{aligned}}}$

すべてのp ∈ MおよびΓ _p (π)のσに対して。J 1 (π)上の一般的な1-形式は次^の形をとります

${\displaystyle \theta =a(x,u,u_{1})dx+b(x,u,u_{1})du+c(x,u,u_{1})du_{1}\,}$

_{Γ p} (π)のσ断面には第一延長があります

${\displaystyle j^{1}\sigma =(u,u_{1})=\left(\sigma (p),\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}\right).}$

したがって、(j ¹ σ)*θは次のように計算できます

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{1}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma (x))+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma '(x))\\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)dx+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)dx\\&=[a(x,\sigma (x),\sigma '(x))+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)]dx\end{aligned}}}$

これは、 c = 0 かつa = − bσ′(x)の場合にのみ、すべての断面 σ に対して消えます。したがって、θ = b(x, u, u ₁ )θ _{0 は、必然的に基本接触形式 θ 0} = du − u ₁ dxの倍数でなければなりません。追加の座標u ₂を持つ第2ジェット空間J ² (π)に進むと、

${\displaystyle u_{2}(j_{p}^{2}\sigma )=\left.{\frac {\partial ^{2}\sigma }{\partial x^{2}}}\right|_{p}=\sigma ''(x)\,}$

一般的な 1-形式は次のように構成されます

${\displaystyle \theta =a(x,u,u_{1},u_{2})dx+b(x,u,u_{1},u_{2})du+c(x,u,u_{1},u_{2})du_{1}+e(x,u,u_{1},u_{2})du_{2}\,}$

これは接触形式であるため、かつその場合に限ります

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(j_{p}^{2}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{2}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma (x))+{}\\&\qquad \qquad c(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma '(x))+e(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma ''(x))\\&=adx+b\sigma '(x)dx+c\sigma ''(x)dx+e\sigma '''(x)dx\\&=[a+b\sigma '(x)+c\sigma ''(x)+e\sigma '''(x)]dx\\&=0\end{aligned}}}$

これはe = 0 かつa = − bσ′(x) − cσ′′(x)であることを意味する。したがって、θ が接触形式となるのは、

${\displaystyle \theta =b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{0}+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{1},}$

ここで、θ ₁ = du ₁ − u ₂ dxは次の基本接触形式です（ここでは、θ _0形式をJ ² (π)への引き戻しと同一視していることに注意してください）。 ${\displaystyle \left(\pi _{2,1}\right)^{*}\theta _{0}}$

一般に、x, u ∈ Rとすると、 J ^r+1 (π)上の接触形式は、基本接触形式の線形結合として表すことができます。

${\displaystyle \theta _{k}=du_{k}-u_{k+1}dx\qquad k=0,\ldots ,r-1\,}$

ここで

${\displaystyle u_{k}\left(j^{k}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{k}\sigma }{\partial x^{k}}}\right|_{p}.}$

同様の議論により、すべての接触形式の完全な特徴付けが導かれます。

局所座標では、 J ^r+1 (π)上のすべての接触一形式は、線形結合として表すことができます。

${\displaystyle \theta =\sum _{|I|=0}^{r}P_{\alpha }^{I}\theta _{I}^{\alpha }}$

基本接触形式の滑らかな係数を持つ ${\displaystyle P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })}$

${\displaystyle \theta _{I}^{\alpha }=du_{I}^{\alpha }-u_{I,i}^{\alpha }dx^{i}\,}$

|I|は接触形式の位数として知られています。J ^r+1 (π)上の接触形式の位数は最大でrであることに注意してください。接触形式は、π の切断の延長であるπ _r+1の局所切断の特徴付けを提供します ${\displaystyle \theta _{i}^{\alpha }}$

ψ ∈ Γ _W ( π _r+1 ) とすると、ψ = j ^r+1 σ となる。ただし、σ ∈ Γ _{W (π) とする場合、かつその場合に限る。} ${\displaystyle \psi ^{*}(\theta |_{W})=0,\forall \theta \in \Lambda _{C}^{1}\pi _{r+1,r}.\,}$

ベクトル場

全空間E上の一般的なベクトル場は、で座標付けされ、 ${\displaystyle (x,u)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,}$

${\displaystyle V\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.\,}$

ベクトル場は水平と呼ばれ、= 0 のとき、すべての垂直係数がゼロになることを意味する。 ${\displaystyle \phi ^{\alpha }}$

ベクトル場は垂直と呼ばれ、 ρ ⁱ = 0のとき、すべての水平係数がゼロになることを意味する。

固定された(x, u)に対して、

${\displaystyle V_{(x,u)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,}$

座標(x, u, ρ ⁱ , φ ^α )を持つベクトルを、 Eにおける(x, u)上のTEのファイバーT _xu Eの元、 TEにおける接ベクトルと同一視する。切断は 、

${\displaystyle {\begin{cases}\psi :E\to TE\\(x,u)\mapsto \psi (x,u)=V\end{cases}}}$

を持つE上のベクトル場と呼ばれ、

${\displaystyle V=\rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}}$

および ψ をΓ(TE)に持つ

ジェット束J ^r (π)は によって座標付けられます。(x, u, w)を固定した場合、 を識別します 。 ${\displaystyle (x,u,w)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha },w_{i}^{\alpha }\right)\,}$

${\displaystyle V_{(x,u,w)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} V^{i}(x,u,w){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+V^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+V_{i}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i}^{\alpha }}}+V_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }}}+\cdots +V_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}}}$

座標を持つ

${\displaystyle \left(x,u,w,v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }\right),}$

TJ ^r (π)のファイバー上の元(x, u, w) ∈ J ^r (π)をTJ ^r (π)の接ベクトルと呼びます。ここで、 ${\displaystyle T_{xuw}(J^{r}\pi )}$

${\displaystyle v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\ldots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}$

はJ ^r (π)上の実数値関数です。セクション

${\displaystyle {\begin{cases}\Psi :J^{r}(\pi )\to TJ^{r}(\pi )\\(x,u,w)\mapsto \Psi (u,w)=V\end{cases}}}$

はJ ^r (π)上のベクトル場であり、 ${\displaystyle \Psi \in \Gamma (T\left(J^{r}\pi \right)).}$

偏微分方程式

(E, π, M)をファイバー束とします。π上のr階偏微分方程式は、ジェット多様体J ^r (π)の閉じた 埋め込み部分多様体Sです。解は、 M内のすべてのpに対して、を満たす局所セクション σ ∈ Γ _W (π)です。 ${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma \in S}$

1階偏微分方程式の例を考えてみましょう。

例

πを、グローバル座標が( x ¹ , x ² , u ¹ )である自明なバンドル( R ² × R , pr ₁ , R ² )とします。すると、写像F  : J ¹ (π) → Rは、次のように定義されます。

${\displaystyle F=u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}}$

は、微分方程式を生じます。

${\displaystyle S=\left\{j_{p}^{1}\sigma \in J^{1}\pi \ :\ \left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)=0\right\}}$

これは次のように書くことができます。

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial x^{1}}}{\frac {\partial \sigma }{\partial x^{2}}}-2x^{2}\sigma =0.}$

特定の

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma :\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {R} \\\sigma (p_{1},p_{2})=\left(p^{1},p^{2},p^{1}(p^{2})^{2}\right)\end{cases}}}$

は、最初の延長が次のように与えられます。

${\displaystyle j^{1}\sigma \left(p_{1},p_{2}\right)=\left(p^{1},p^{2},p^{1}\left(p^{2}\right)^{2},\left(p^{2}\right)^{2},2p^{1}p^{2}\right)}$

そして、この微分方程式の解です。なぜなら、

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u_{1}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u_{2}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)-2x^{2}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)\\&=\left(p^{2}\right)^{2}\cdot 2p^{1}p^{2}-2\cdot p^{2}\cdot p^{1}\left(p^{2}\right)^{2}\\&=2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}-2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}\\&=0\end{aligned}}}$

そして、すべてのp ∈ R ²に対して、このようにです。 ${\displaystyle j_{p}^{1}\sigma \in S}$

ジェット延長

局所微分同相写像ψ  : J ^r ( π ) → J ^r ( π )は、接触イデアルを保存する場合、位数rの接触変換を定義します。つまり、θがJ ^r ( π )上の任意の接触形式である場合、ψ*θも接触形式です

ジェット空間Jr (π)上のベクトル場Vrによって生成される流れは、^任意の接触形式θのリー微分が接触イデアルを保存する場合のみ^、接触変換の1パラメータ群を形成します ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}(\theta )}$

まず第一階の場合から始めましょう。J 1 ( π )上の一般ベクトル場V ^1を考えます。これは

${\displaystyle V^{1}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\chi _{i}^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}.}$

ここで、基本接触形式に適用し、関数の外微分を座標に関して展開して、次式を得ます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}}$ ${\displaystyle \theta _{0}^{\alpha }=du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(\theta _{0}^{\alpha }\right)&={\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i}\right)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du^{\alpha }-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{i}^{\alpha }\right)dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx^{i}\right)\\&=d\left(V^{1}u^{\alpha }\right)-V^{1}u_{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\left(V^{1}x^{i}\right)\\&=d\phi ^{\alpha }-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\rho ^{i}\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial x^{m}}}dx^{m}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u_{m}^{k}}}du_{m}^{k}\right]\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{l}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}\right]\\&=\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}-u_{l}^{\alpha }\left({\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}\right)-\chi _{i}^{\alpha }\right]dx^{i}+\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}\right]du_{i}^{k}+\left({\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\right)\theta ^{k}\end{aligned}}}$

したがって、V ^{1 が}接触変換を決定するのは、式中のdx ⁱと の係数がゼロになる場合のみです。後者の要件は接触条件を意味します。 ${\displaystyle du_{i}^{k}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}=0}$

前者の要件は、 V ¹の1次微分項の係数に対する明示的な式を提供します。

${\displaystyle \chi _{i}^{\alpha }={\widehat {D}}_{i}\phi ^{\alpha }-u_{l}^{\alpha }\left({\widehat {D}}_{i}\rho ^{l}\right)}$

ここで

${\displaystyle {\widehat {D}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+u_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial u^{k}}}}$

は全微分D _iの0次の切り捨てを表します。

したがって、接触条件は、任意の点または接触ベクトル場の延長を一意に規定します。つまり、がこれらの式を満たす場合、V ^rはJ ^r (π)上のベクトル場へのVのr次の延長と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}}$

これらの結果は、特定の例に適用すると最もよく理解されます。したがって、以下を検討してみましょう。

例

(E, π, M)の場合を考えます。ここで、 E ≅ R ²、M ≃ Rです。すると、(J ¹ (π), π, E) は最初のジェット束を定義し、(x, u, u ₁ )で座標付けできます。ここで

${\displaystyle {\begin{aligned}x(j_{p}^{1}\sigma )&=x(p)=x\\u(j_{p}^{1}\sigma )&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}(j_{p}^{1}\sigma )&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}={\dot {\sigma }}(x)\end{aligned}}}$

すべてのp ∈ MおよびσがΓ _p ( π ) の場合。J 1 (π)上の接触形式は次の形式を持ちます

${\displaystyle \theta =du-u_{1}dx}$

E上のベクトルV考えます。次の形式を持ちます

${\displaystyle V=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}}$

このとき、このベクトル場のJ ¹ (π)への最初の延長は

${\displaystyle {\begin{aligned}V^{1}&=V+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\end{aligned}}}$

この延長されたベクトル場に関して接触形式のリー微分を取ると、次のようになります ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta ),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta )&={\mathcal {L}}_{V^{1}}(du-u_{1}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{1}\right)dx-u_{1}\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx\right)\\&=d\left(V^{1}u\right)-V^{1}u_{1}dx-u_{1}d\left(V^{1}x\right)\\&=dx-\rho (x,u,u_{1})dx+u_{1}du\\&=(1-\rho (x,u,u_{1}))dx+u_{1}du\\&=[1-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}(\theta +u_{1}dx)&&du=\theta +u_{1}dx\\&=[1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}\theta \end{aligned}}}$

したがって、接触イデアルを保存するためには、次の式が必要です

${\displaystyle 1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})=0\quad \Leftrightarrow \quad \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}.}$

そして、VのJ ¹ (π)上のベクトル場への最初の延長は

${\displaystyle V^{1}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}.}$

VのJ ² (π)上のベクトル場への2次延長も計算しましょう。J 2 (π) 上の座標は です。したがって、延長されたベクトルは次の形になります。 ${\displaystyle \{x,u,u_{1},u_{2}\}}$

${\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.}$

接触形式は

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=du-u_{1}dx\\\theta _{1}&=du_{1}-u_{2}dx\end{aligned}}}$

接触イデアル

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta )&=0\\{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&=0\end{aligned}}}$

ここで、θはu ₂依存性を持たない。したがって、この式からρの公式を拾い上げると、これは必然的にV ¹で得た結果と同じになる。したがって、この問題はベクトル場V ¹をJ ² (π)に延長することに類似している。つまり、接触形式のリー微分を延長されたベクトル場に関してr回再帰的に適用することで、ベクトル場のr次延長を生成できる。したがって、

${\displaystyle \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}&=V^{1}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\end{aligned}}}$

したがって、 V ²に関する2番目の接触形式のリー微分は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&={\mathcal {L}}_{V^{2}}(du_{1}-u_{2}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{2}}du_{1}-\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}u_{2}\right)dx-u_{2}\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}dx\right)\\&=d(V^{2}u_{1})-V^{2}u_{2}dx-u_{2}d(V^{2}x)\\&=d(1+u_{1}u_{1})-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du&=\theta +u_{1}dx\\&=2u_{1}(\theta _{1}+u_{2}dx)-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du_{1}&=\theta _{1}+u_{2}dx\\&=[3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})]dx+u_{2}\theta +2u_{1}\theta _{1}\end{aligned}}}$

、接触イデアルを保存するためには、 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})}$

${\displaystyle 3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})=0\quad \Leftrightarrow \quad \phi (x,u,u_{1},u_{2})=3u_{1}u_{2}.}$

そして、J ² (π)上のベクトル場へのVの2番目の延長は

${\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+3u_{1}u_{2}{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.}$

V ²の2番目の微分項を省略するか、J ¹ (π)に射影し直すことで、 Vの最初の延長を復元できることに注意してください。

無限ジェット空間

射影列の逆極限は、無限ジェット空間J∞ (π)を生じます。点は^、すべてのkの値に対して σ と同じkジェットをpに持つ π 切断の同値類です。自然な射影 π∞_はpに写像されます ${\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}$ ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$ ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$

座標だけで考えると、J∞ (π)は^無限次元の幾何学的対象であるように見えます。実際、微分可能チャートに頼らずにJ∞(π)に微分可能構造を導入する最も簡単な方法は、可換代数上の微分積分によって与えられます。多様体の射影の列の双対は、^可換代数の注入の列です。単にで表しましょう。ここで、の直接極限を取ります。これは可換代数であり、幾何学的対象J∞ (π)上の滑らかな関数代数であると仮定できます。直接極限として生まれたが、追加の構造を持っていることに注意してください。それはフィルターされ^た可換代数です ${\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}$ ${\displaystyle \pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(J^{k}(\pi ))}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$

大まかに言えば、具体的な要素は常に何らかの に属するため、通常の意味では 有限次元多様体J ^k (π)上の滑らかな関数になります。 ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {F}}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$

無限に延長された偏微分方程式

k 次偏微分方程式系E ⊆ J ^k (π)が与えられたとき、 E上で消失するJ ^∞ (π)上の滑らかな関数の集合I(E)は代数におけるイデアルであり、したがって直接極限においてもイデアルである。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$

すべての元に適用される全微分のすべての可能な合成を加えることで、I(E)を強化する。こうして、全微分を取る操作に関して閉じた新しいイデアルIが得られる。Iによって切り取られたJ ^∞ (π)の部分多様体E _(∞)は、 Eの無限延長と呼ばれる。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$

幾何学的には、E _(∞)はEの形式解の多様体である。E ( _∞)の点は、kジェットのグラフが任意の高次の接線を持つ点でEに接する切断 σ によって表されることが容易にわかる ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$ ${\displaystyle j_{p}^{k}(\sigma )}$

解析的に、E がφ = 0 で与えられる場合、形式解は、点pにおける σ 断面のテイラー係数の集合として理解でき、点pにおけるのテイラー級数を零にする。 ${\displaystyle \varphi \circ j^{k}(\sigma )}$

最も重要なのは、 Iの閉包性から、 E _(∞)はJ ^∞ (π)上の無限次接触構造 に接することを意味するため、E _(∞)に制限することで微分が得られ、関連するヴィノグラドフ（C-スペクトル）列を調べることができる。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (E_{(\infty )},{\mathcal {C}}|_{E_{(\infty )}})}$

注

この記事では束の局所断面のジェットを定義したが、関数f: M → Nのジェットを定義することも可能である。ここで、MとNは多様体である。fのジェットは、断面のジェットに対応する。

gr _f : M → M × N

gr _f (p) = (p, f(p))

（gr _fは関数fのグラフとして知られています）自明バンドル（M × N、π ₁、M ）のグラフです。しかし、π の大域自明性はπ ₁の大域自明性を意味しないため、この制約は理論を単純化しません。

参照

• ジェット群
• ジェット（数学）
• ラグランジアン系
• 変分双複体

参考文献

1. クルプカ、デメテル (2015). 大域変分幾何学入門. アトランティス・プレス. ISBN 978-94-6239-073-7。
2. Vakil, Ravi (1998年8月25日). 「代数幾何学の観点から見たジェットバンドルの初心者向けガイド」(PDF) . 2017年6月25日閲覧.

さらに読む

• エールスマン, C., 「無限小構造と擬リー群の理論入門」 『微分幾何学』,国際学術研究センター国際会議, ストラスブール, 1953, 97-127.
• コラーシュ, I., ミコール, P., スロバキア, J., 微分幾何学における自然演算. シュプリンガー出版社: ベルリン・ハイデルベルク, 1993. ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4。
• サンダース, DJ, 「ジェット束の幾何学」, ケンブリッジ大学出版局, 1989, ISBN 0-521-36948-7
• Krasil'shchik, I.S.、Vinogradov, A.M.、[他]、「数理物理学の微分方程式の対称性と保存則」、アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、1999年、ISBN 0-8218-0958-X。
• Olver, PJ、「同値性、不変量、対称性」、ケンブリッジ大学出版局、1995年、ISBN 0-521-47811-1

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Jet_bundle&oldid=1317979339"