ジョンソン計画

数学において、セルマー・M・ジョンソンにちなんで名付けられたジョンソンスキームは、三角連想スキームとも呼ばれる。これは、長さℓ、重み nの2元ベクトルXのすべての集合から成り、次を満たす。^[1]^[2]^[3] 2つのベクトル x , y ∈ Xは、 i = 0, 1, ..., nに対してdist( x , y ) = 2 iが成り立つとき、 i番目の連想ベクトルと呼ばれる。固有値は次式で与えられる。 $v=\left|X\right|={\binom {\ell }{n}}$

p_{i}\left(k\right)=E_{i}\left(k\right),

q_{k}\left(i\right)={\frac {\mu _{k}}{v_{i}}}E_{i}\left(k\right),

どこ

\mu _{i}={\frac {\ell -2i+1}{\ell -i+1}}{\binom {\ell }{i}},

E _k ( x ) は次のように定義されるエーベルライン多項式である。

E_{k}\left(x\right)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {x}{j}}{\binom {nx}{kj}}{\binom {\ell -nx}{kj}},\qquad k=0,\ldots ,n.

参考文献

^ P. DelsarteとVI Levenshtein、「アソシエーションスキームとコーディング理論」、 IEEE Trans. Inf. Theory、vol. 44、no. 6、pp. 2477–2504、1998年。
^ P. Camion、「コードとアソシエーションスキーム: コーディングに関連するアソシエーションスキームの基本特性」、Handbook of Coding Theory、VS Pless および WC Huffman 編、Elsevier、オランダ、1998 年。
^ FJ MacWilliams と NJA Sloane、「誤り訂正符号の理論」、Elsevier、ニューヨーク、1978 年。

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[1] P. DelsarteとVI Levenshtein、「アソシエーションスキームとコーディング理論」、 IEEE Trans. Inf. Theory、vol. 44、no. 6、pp. 2477–2504、1998年。

[2] P. Camion、「コードとアソシエーションスキーム: コーディングに関連するアソシエーションスキームの基本特性」、Handbook of Coding Theory、VS Pless および WC Huffman 編、Elsevier、オランダ、1998 年。

[3] FJ MacWilliams と NJA Sloane、「誤り訂正符号の理論」、Elsevier、ニューヨーク、1978 年。