System for describing optical polarization
光学 において 、 偏光は1941年に RCジョーンズ によって発明された ジョーンズ計算 [1] を 用いて記述することができる。 偏光は ジョーンズベクトル で表され、線形光学素子は ジョーンズ 行列 で表される。光が光学素子を通過する際、出射光の偏光は、光学素子のジョーンズ行列と入射光のジョーンズベクトルの積をとることで求められる。ジョーンズ計算は、既に完全に偏光している光にのみ適用可能であることに注意されたい。ランダム偏光、部分偏光、または非干渉性を有する光は、 ミュラー計算 を用いて処理する必要がある。
ジョーンズベクトル ジョーンズベクトルは、自由空間またはその他の 均質で 等方性 で減衰しない 媒質における光の偏光を記述します。この場合、光は 横波 として適切に記述できます。単色 平面 光波が正の z 方向に、角周波数 ω 、 波数 k = (0,0, k ) で進行すると仮定します。ここで、 波数 k = ω / c です。この場合、電場 E と磁場 Hは各点で k に直交し 、どちらも移動方向に対して「横」の平面上にあります。さらに、 Hは E から90 度回転し、媒質の 波動インピーダンス に依存する一定の乗数で決定されます。したがって、光の偏光は E を 調べる ことで決定できます 。E の複素振幅は次のよう に表されます。
( E x ( t ) E y ( t ) 0 ) = ( E 0 x e i ( k z − ω t + ϕ x ) E 0 y e i ( k z − ω t + ϕ y ) 0 ) = ( E 0 x e i ϕ x E 0 y e i ϕ y 0 ) e i ( k z − ω t ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i(kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz-\omega t)}.} 物理的な電界 E はこのベクトルの実部であり、複素乗数は位相情報を提供することに注意してください。 虚数単位 は です 。 i {\displaystyle i} i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1}
ジョーンズベクトルは
( E 0 x e i ϕ x E 0 y e i ϕ y ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}.} したがって、ジョーンズ ベクトルは、 x 方向と y 方向の 電界 の振幅と位相を表します 。
ジョーンズベクトルの2つの成分の絶対値の2乗の和は、光の強度に比例します。計算を簡略化するため、計算開始時点では1に正規化するのが一般的です。また、ジョーンズベクトルの最初の成分を 実数に制限することも一般的です。これにより、他のビームとの 干渉 の計算に必要な全体的な位相情報が無視されます 。
この記事のすべてのジョーンズ ベクトルおよび行列では、光波の位相は で与えられるという規則が採用されており、これは ユージン ヘクト [2] が使用した規則です 。この規則では、 （または） の増加は 位相の遅れ（遅延）を示し、 の減少は位相の進みを示します。たとえば、ジョーンズ ベクトルの成分 （ ）は、 1 （ ）と比較して （または 90 度）遅れていることを示します 。コレット [3] は、位相 （ ）に反対の定義を使用しています。また、コレットとジョーンズは、円偏光の左右の定義について異なる規則に従っています。ジョーンズの規則は「受信機の観点から」と呼ばれ、コレットの規則は「光源の観点から」と呼ばれます。ジョーンズ計算に関する参考文献を参照する際には、規則の選択に注意する必要があります。 ϕ = k z − ω t {\displaystyle \phi =kz-\omega t} ϕ x {\displaystyle \phi _{x}} ϕ y {\displaystyle \phi _{y}} i {\displaystyle i} = e i π / 2 {\displaystyle =e^{i\pi /2}} π / 2 {\displaystyle \pi /2} = e 0 {\displaystyle =e^{0}} ϕ = ω t − k z {\displaystyle \phi =\omega t-kz}
次の表は、正規化されたジョーンズ ベクトルの 6 つの一般的な例を示しています。
二極化 ジョーンズベクトル 典型的な ケット 記法 [ 要出典 ] x 方向 に直線偏光。 一般的に「水平」と呼ばれる。 ( 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}} | H ⟩ {\displaystyle |H\rangle } y 方向 に直線偏光。 通常「垂直」と呼ばれる。 ( 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}} | V ⟩ {\displaystyle |V\rangle } x 軸 から45°の直線偏光。 一般的に「対角線」L+45と呼ばれる。 1 2 ( 1 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}} | D ⟩ = 1 2 ( | H ⟩ + | V ⟩ ) {\displaystyle |D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle +|V\rangle {\big )}} x 軸 から-45°の直線偏光。 一般的に「反対角」L-45と呼ばれる。 1 2 ( 1 − 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}} | A ⟩ = 1 2 ( | H ⟩ − | V ⟩ ) {\displaystyle |A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle -|V\rangle {\big )}} 右旋円偏波 一般的に「RCP」または「RHCP」と呼ばれる 1 2 ( 1 − i ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}} | R ⟩ = 1 2 ( | H ⟩ − i | V ⟩ ) {\displaystyle |R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle -i|V\rangle {\big )}} 左旋円偏波 一般的に「LCP」または「LHCP」と呼ばれる 1 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\+i\end{pmatrix}}} | L ⟩ = 1 2 ( | H ⟩ + i | V ⟩ ) {\displaystyle |L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle +i|V\rangle {\big )}}
面上の任意の点を指す一般的なベクトルは ケット と表記されます。 ポアンカレ球 （ ブロッホ球 とも呼ばれます）を用いる場合、基底ケット（ と）は、上記のケットの反対（ 対蹠 ）ペアに割り当てられます 。例えば、 = と =を割り当てることができます 。これらの割り当ては任意です。反対のペアは | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } | H ⟩ {\displaystyle |H\rangle } | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } | V ⟩ {\displaystyle |V\rangle }
| H ⟩ {\displaystyle |H\rangle } そして | V ⟩ {\displaystyle |V\rangle } | D ⟩ {\displaystyle |D\rangle } そして | A ⟩ {\displaystyle |A\rangle } | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } そして | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } 等しくなく、 円上にもない 任意の点の偏光は、 楕円偏光 として知られています 。 | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } | H ⟩ , | D ⟩ , | V ⟩ , | A ⟩ {\displaystyle |H\rangle ,|D\rangle ,|V\rangle ,|A\rangle }
ジョーンズ行列 ジョーンズ計算は、 1941年に ヘンリー・ハーウィッツ・ジュニア と R・クラーク・ジョーンズによって開発され、 アメリカ光学会誌 に掲載された 行列計算 である。 [4] [5] [6] [7]
ジョーンズ行列は、上で定義したジョーンズベクトルに作用する演算子です。これらの行列は、レンズ、ビームスプリッター、ミラーなどの様々な光学素子によって実現されます。各行列は、ジョーンズベクトルの1次元複素部分空間への射影を表します。次の表は、偏光子のジョーンズ行列の例を示しています。
光学素子 ジョーンズ行列 透過軸が水平の 直線 偏光子 [8] ( 1 0 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}
透過軸が垂直な直線偏光子 [8] ( 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}
水平に対して±45°の透過軸を持つ直線偏光子 [8] 1 2 ( 1 ± 1 ± 1 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}}
水平からの 透過角軸を持つ直線偏光子 [8] θ {\displaystyle \theta } ( cos 2 ( θ ) cos ( θ ) sin ( θ ) cos ( θ ) sin ( θ ) sin 2 ( θ ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos ^{2}(\theta )&\cos(\theta )\sin(\theta )\\\cos(\theta )\sin(\theta )&\sin ^{2}(\theta )\end{pmatrix}}}
右円偏光板 [8] 1 2 ( 1 i − i 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}}
左円偏光板 [8] 1 2 ( 1 − i i 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}}
位相遅延装置 位相遅延器は、単色偏光ビームの2つの直交偏光成分間の位相差を生成する光学素子である。 [9] 数学的には、 ケット を使ってジョーンズベクトルを表すと、位相遅延器の作用は偏光を持つ光を変換することである
。
| P ⟩ = c 1 | 1 ⟩ + c 2 | 2 ⟩ {\displaystyle |P\rangle =c_{1}|1\rangle +c_{2}|2\rangle } に
| P ′ ⟩ = c 1 e i η / 2 | 1 ⟩ + c 2 e − i η / 2 | 2 ⟩ {\displaystyle |P'\rangle =c_{1}{\rm {e}}^{i\eta /2}|1\rangle +c_{2}{\rm {e}}^{-i\eta /2}|2\rangle } ここで、は位相遅延器の物理的性質によって決定される 直交偏光成分（すなわち ）である。一般に、直交成分は任意の2つの基底ベクトルとなり得る。例えば、円形位相遅延器の作用は次のようになる。 | 1 ⟩ , | 2 ⟩ {\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle } ⟨ 1 | 2 ⟩ = 0 {\displaystyle \langle 1|2\rangle =0}
| 1 ⟩ = 1 2 ( 1 − i ) and | 2 ⟩ = 1 2 ( 1 i ) {\displaystyle |1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}\qquad {\text{ and }}\qquad |2\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}} しかし、 直線偏光である直線位相差板は、議論や実用においてより一般的に用いられます。実際、「位相差板」という用語は、直線位相差板を指すために使用されることもあります。 | 1 ⟩ , | 2 ⟩ {\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }
直線位相遅延子は通常、方解石 、MgF 2 、 石英 などの 複屈折 一軸結晶 から作られています 。この目的でこれらの材料から作られたプレートは、 波長板 と呼ばれます。一軸結晶には、他の 2 つの結晶軸とは異なる 1 つの結晶軸があります (つまり、 n i ≠ n j = n k )。この固有の軸は異常軸と呼ばれ、光軸 とも呼ばれます 。光軸は、使用する結晶に応じて、結晶の速軸または遅軸になります。光は、最小の 屈折率を持つ軸に沿ってより速い位相速度で進み、この軸は速軸と呼ばれます。同様に、最大の屈折率を持つ軸は、光の 位相速度 がこの軸に沿って最も遅い ため、遅軸と呼ばれます。 「負」の一軸性結晶（例： 方解石 CaCO 3 、 サファイア Al 2 O 3 ）は n e < n o であるため、異常軸（光軸）は速軸となります。一方、「正」の一軸性結晶（例： 石英 SiO 2 、 フッ化マグネシウム MgF 2 、 ルチル TiO 2 ）は n e > n o であるため、異常軸（光軸）は遅軸となります。他にも市販されている直線位相差板があり、より特殊な用途に使用されています。 フレネルロムは そのような代替品の一つです。
高速軸がx軸またはy軸として定義される任意の線形位相遅延器は、非対角項がゼロであるため、次のように便利に表現できます。
( e i ϕ x 0 0 e i ϕ y ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\rm {e}}^{i\phi _{x}}&0\\0&{\rm {e}}^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}} ここで 、 とはそれぞれ と方向 の電界の位相オフセットです 。位相規則 において 、2つの波間の相対位相を と定義します 。この場合、 が正の値 （つまり ＞ ）であれば 、 は より後の時点まで と同じ値に達しない、つまり が に先行 することを意味します。 同様に、 の場合 、 は に 先行します 。 ϕ x {\displaystyle \phi _{x}} ϕ y {\displaystyle \phi _{y}} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} ϕ = k z − ω t {\displaystyle \phi =kz-\omega t} ϵ = ϕ y − ϕ x {\displaystyle \epsilon =\phi _{y}-\phi _{x}} ϵ {\displaystyle \epsilon } ϕ y {\displaystyle \phi _{y}} ϕ x {\displaystyle \phi _{x}} E y {\displaystyle E_{y}} E x {\displaystyle E_{x}} E x {\displaystyle E_{x}} E y {\displaystyle E_{y}} ϵ < 0 {\displaystyle \epsilon <0} E y {\displaystyle E_{y}} E x {\displaystyle E_{x}}
例えば、1/4波長板の速軸が水平方向である場合、水平方向の位相速度は垂直方向よりも進み、 つまり が先行します 。したがって、 1/4波長板の場合、 が成立します 。 E x {\displaystyle E_{x}} E y {\displaystyle E_{y}} ϕ x < ϕ y {\displaystyle \phi _{x}<\phi _{y}} ϕ y = ϕ x + π / 2 {\displaystyle \phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2}
逆の規則では 、相対位相を と定義します 。この場合、 は、 が と同じ値に達するのは、 後の時点、つまり が に先行する時点までである ことを意味します 。 ϕ = ω t − k z {\displaystyle \phi =\omega t-kz} ϵ = ϕ x − ϕ y {\displaystyle \epsilon =\phi _{x}-\phi _{y}} ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} E y {\displaystyle E_{y}} E x {\displaystyle E_{x}} E x {\displaystyle E_{x}} E y {\displaystyle E_{y}}
位相遅延装置 対応するジョーンズ行列 高速軸が垂直な 1/4波長板 [2] [注 1] e i π 4 ( 1 0 0 − i ) {\displaystyle {\rm {e}}^{\frac {i\pi }{4}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}} 高速軸が水平の 1/4波長板 [2] e − i π 4 ( 1 0 0 i ) {\displaystyle {\rm {e}}^{-{\frac {i\pi }{4}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}} 水平軸に対して 角度をつけた速軸を持つ 1/4波長板 θ {\displaystyle \theta } e − i π 4 ( cos 2 θ + i sin 2 θ ( 1 − i ) sin θ cos θ ( 1 − i ) sin θ cos θ sin 2 θ + i cos 2 θ ) {\displaystyle {\rm {e}}^{-{\frac {i\pi }{4}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}} 半波長板を [1]回転させて θ {\displaystyle \theta } ( cos 2 θ sin 2 θ sin 2 θ − cos 2 θ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}} 水平軸 に対して角度をつけた速軸を持つ 半波長板 [11] θ {\displaystyle \theta } e − i π 2 ( cos 2 θ − sin 2 θ 2 cos θ sin θ 2 cos θ sin θ sin 2 θ − cos 2 θ ) {\displaystyle {\rm {e}}^{-{\frac {i\pi }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta &2\cos \theta \sin \theta \\2\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta -\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}} 一般的な波長板（直線位相遅延器） [9] e − i η 2 ( cos 2 θ + e i η sin 2 θ ( 1 − e i η ) cos θ sin θ ( 1 − e i η ) cos θ sin θ sin 2 θ + e i η cos 2 θ ) {\displaystyle {\rm {e}}^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right)\cos \theta \sin \theta \\\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right)\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}} 任意複屈折材料（楕円位相遅延材） [9] [12] e − i η 2 ( cos 2 θ + e i η sin 2 θ ( 1 − e i η ) e − i ϕ cos θ sin θ ( 1 − e i η ) e i ϕ cos θ sin θ sin 2 θ + e i η cos 2 θ ) {\displaystyle {\rm {e}}^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}
任意の複屈折物質に対するジョーンズ行列は、ジョーンズ計算における偏光変換の最も一般的な形であり、任意の偏光変換を表すことができる。これを確認するには、次に示す。
e − i η 2 ( cos 2 θ + e i η sin 2 θ ( 1 − e i η ) e − i ϕ cos θ sin θ ( 1 − e i η ) e i ϕ cos θ sin θ sin 2 θ + e i η cos 2 θ ) = ( cos ( η / 2 ) − i sin ( η / 2 ) cos ( 2 θ ) − sin ( η / 2 ) sin ( ϕ ) sin ( 2 θ ) − i sin ( η / 2 ) cos ( ϕ ) sin ( 2 θ ) sin ( η / 2 ) sin ( ϕ ) sin ( 2 θ ) − i sin ( η / 2 ) cos ( ϕ ) sin ( 2 θ ) cos ( η / 2 ) + i sin ( η / 2 ) cos ( 2 θ ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\rm {e}}^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos(\eta /2)-i\sin(\eta /2)\cos(2\theta )&-\sin(\eta /2)\sin(\phi )\sin(2\theta )-i\sin(\eta /2)\cos(\phi )\sin(2\theta )\\\sin(\eta /2)\sin(\phi )\sin(2\theta )-i\sin(\eta /2)\cos(\phi )\sin(2\theta )&\cos(\eta /2)+i\sin(\eta /2)\cos(2\theta )\end{pmatrix}}\end{aligned}}} 上記の行列は、 SU(2) の要素に対する一般的なパラメータ化であり、
SU ( 2 ) = { ( α − β ¯ β α ¯ ) : α , β ∈ C , | α | 2 + | β | 2 = 1 } {\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\ \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~} ここで上線は 複素活用 を表します。
最後に、ユニタリ変換 の集合は次のように表せることを 認識する 。 C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}
{ e i γ ( α − β ¯ β α ¯ ) : α , β ∈ C , | α | 2 + | β | 2 = 1 , γ ∈ [ 0 , 2 π ] } {\displaystyle \left\{{\rm {e}}^{i\gamma }{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\ \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,\ \ \gamma \in [0,2\pi ]\right\}} 任意の複屈折物質のジョーンズ行列は、位相係数 までの任意のユニタリ変換を表すことが明らかになります。したがって 、、、 および を 適切に選択すれば 、位相係数 までの任意の2つのジョーンズベクトル間の変換が求められます 。しかし、ジョーンズ計算では、このような位相係数はジョーンズベクトルの偏光特性を変化させないため、任意とみなされるか、定められた規則に従うために場当たり的に課されるものとなります。 e i γ {\displaystyle {\rm {e}}^{i\gamma }} η {\displaystyle \eta } θ {\displaystyle \theta } ϕ {\displaystyle \phi } e i γ {\displaystyle {\rm {e}}^{i\gamma }}
位相遅延材の特殊な表現は、複屈折材料の一般式において適切なパラメータ値を取ることで得られる。 [12] 一般式では：
高速軸と低速軸の間に誘起される相対位相遅れは次のように表される。 η = ϕ y − ϕ x {\displaystyle \eta =\phi _{y}-\phi _{x}} θ {\displaystyle \theta } x軸に対する高速軸の方向です。 ϕ {\displaystyle \phi } 循環性です。 直線位相子の場合、 = 0 であり、円形位相子の場合、 = ± /2、 = /4 であることに注意してください。一般に、楕円位相子の場合、は - /2 から/2 の間の値を取ります 。 ϕ {\displaystyle \phi } ϕ {\displaystyle \phi } π {\displaystyle \pi } θ {\displaystyle \theta } π {\displaystyle \pi } ϕ {\displaystyle \phi } π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi }
軸方向に回転した要素 光学素子の光軸 [ 要説明 ]が 入射面 [ 要説明 ] の面ベクトルに垂直であり 、この面ベクトルを中心に角度 θ/2 回転していると仮定する（つまり、 光軸が通過する 主面 [ 要説明 ]は、入射TE波の電界 [ 要説明 ] の偏光面に対して 角度 θ/2 を形成する）。半波長板は、入射偏光と光軸（主面）との間の角度の 2倍 だけ偏光を回転させることを思い出してほしい。したがって、回転偏光状態のジョーンズ行列M( θ )は、
M ( θ ) = R ( − θ ) M R ( θ ) , {\displaystyle M(\theta )=R(-\theta )\,M\,R(\theta ),} どこ R ( θ ) = ( cos θ sin θ − sin θ cos θ ) . {\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.} これは上の表の半波長板の式と一致しています。これらの回転は、光学物理学におけるビームユニタリースプリッター変換と同一であり、次式で与えられます。
R ( θ ) = ( r t ′ t r ′ ) {\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}r&t'\\t&r'\end{pmatrix}}} ここで、ダッシュ付き係数とダッシュなし係数は、 ビームスプリッタ の反対側から入射するビームを表す。反射成分と透過成分は、それぞれ位相 θ r と θ t を得る。この要素の有効な表現のための要件は [13]である。
θ t − θ r + θ t' − θ r' = ± π {\displaystyle \theta _{\text{t}}-\theta _{\text{r}}+\theta _{\text{t'}}-\theta _{\text{r'}}=\pm \pi } そして r ∗ t ′ + t ∗ r ′ = 0. {\displaystyle r^{*}t'+t^{*}r'=0.}
これら両方の表現はこれらの要件に適合するユニタリ行列であり、したがって両方とも有効です。
任意に回転した要素 任意の回転に対するジョーンズ行列 J( α , β , γ ) を求めるには、3次元 回転行列 が関係します。以下の表記において、 α 、 β 、 γ はそれぞれ ヨー角、ピッチ角、ロール 角（Z軸、Y軸、X軸を中心とした回転で、X軸は伝播方向）を表します。3次元回転行列の完全な組み合わせは以下のとおりです。
R 3 D ( θ ) = [ cos α cos β cos α sin β sin γ − sin α cos γ cos α sin β cos γ + sin α sin γ sin α cos β sin α sin β sin γ + cos α cos γ sin α sin β cos γ − cos α sin γ − sin β cos β sin γ cos β cos γ ] {\displaystyle R_{3D}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \beta &\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma -\sin \alpha \cos \gamma &\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma \\\sin \alpha \cos \beta &\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\cos \alpha \sin \gamma \\-\sin \beta &\cos \beta \sin \gamma &\cos \beta \cos \gamma \\\end{bmatrix}}} 上記を使用すると、任意の基本ジョーンズ行列 J に対して、回転状態 J( α 、 β 、 γ ) を次のように見つけることができます。
J ( α , β , γ ) = R 3 D ( − α , − β , − γ ) ⋅ J ⋅ R 3 D ( α , β , γ ) {\displaystyle J(\alpha ,\beta ,\gamma )=R_{3D}(-\alpha ,-\beta ,-\gamma )\cdot J\cdot R_{3D}(\alpha ,\beta ,\gamma )} [1] 最も単純なケースでは、ジョーンズ行列は理想的な直線水平偏光子用であり、次のように簡略化されます。
J ( α , β , γ ) = [ c α 2 c β 2 c α c β [ c α s β s γ − s α c γ ] c α c β [ c α s β c γ + s α s γ ] s α c α c β 2 s α c β [ c α s β s γ − s α c γ ] s α c β [ c α s β c γ + s α s γ ] − c α s β c β − s β [ c α s β s γ − s α c γ ] − s β [ c α s β c γ + s α s γ ] ] {\displaystyle J(\alpha ,\beta ,\gamma )={\begin{bmatrix}c_{\alpha }^{2}c_{\beta }^{2}&c_{\alpha }c_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-s_{\alpha }c_{\gamma }]&c_{\alpha }c_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\gamma }]\\s_{\alpha }c_{\alpha }c_{\beta }^{2}&s_{\alpha }c_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-s_{\alpha }c_{\gamma }]&s_{\alpha }c_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\gamma }]\\-c_{\alpha }s_{\beta }c_{\beta }&-s_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-s_{\alpha }c_{\gamma }]&-s_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\gamma }]\\\end{bmatrix}}} ここで、ci と si は それぞれ、与えられた角度「i」の余弦または正弦を表します。
これに基づいたさらなる研究については、ラッセル・A・チップマンとガラム・ユンを参照してください。 [14] [15] [16] [17] [18]
参照
注記 ^ 前置係数は 位相遅延を対称的に定義する場合にのみ現れる。つまり、 である 。これはHecht [2] では行われているが、Fowles [8]やPeatrossとWare [10] では行われていない。 後者の2つの文献では、1/4波長板のジョーンズ行列に前置係数は存在しない。 e i π / 4 {\displaystyle {\rm {e}}^{i\pi /4}} ϕ x = − ϕ y = π / 4 {\displaystyle \phi _{x}=-\phi _{y}=\pi /4}
参考文献 ^ abc 「ジョーンズ微積分」. spie.org . 2025年5月4日 閲覧 。 ^ abcd ユージン・ヘクト (2001). 光学 （第4版）. アディソン・ウェスレー. p. 378. ISBN 978-0805385663 。 ^ Collett, E. (2005). フィールドガイド・トゥ・ポラリゼーション . SPIEフィールドガイド. Vol. FG05. SPIE . ISBN 0-8194-5868-6 。 ^ ハーウィッツ, ヘンリー ; ジョーンズ, R. クラーク (1941). 「光学系の取り扱いのための新しい計算法 II. 三つの一般同値定理の証明」. アメリカ光学会誌 . 31 (7): 493– 499. Bibcode :1941JOSA...31..493H. doi :10.1364/JOSA.31.000493. ^ Jones, R. Clark (1941). 「光学系の取り扱いのための新しい計算法 I. 計算法の解説と考察」. Journal of the Optical Society of America . 31 (7): 488– 493. Bibcode :1941JOSA...31..488J. doi :10.1364/JOSA.31.000488. ^ Jones, R. Clark (1941). 「光学系の取り扱いのための新しい計算法 III. 光学活性のゾンケ理論」. アメリカ光学会誌 . 31 (7): 500– 503. Bibcode :1941JOSA...31..500J. doi :10.1364/JOSA.31.000500. ^ Jones, R. Clark (1942). 「光学系の取り扱いのための新しい計算法 IV」. Journal of the Optical Society of America . 32 (8): 486– 493. Bibcode :1942JOSA...32..486C. doi :10.1364/JOSA.32.000486. ^ abcdefg ファウルズ、G. (1989)。 現代光学入門 (第 2 版)。ドーバー。 p. 35.ISBN 9780486659572 。 ^ abc PS Theocaris; EE Gdoutos (1979). 光弾性の行列理論. Springer Series in Optical Sciences. 第11巻（第1版）. Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-540-35789-6. ISBN 978-3-662-15807-4 。 ^ ピートロス, ジャスティン; ウェア, マイケル (2025). 『光と光学の物理学』（2015年版、2025年1月31日改訂版）. Lulu.com. ISBN 978-1-312-92927-2 。 ^ ジェラルド・A.; バーチ・JM (1975). 光学における行列法入門 （第1版）. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ . p. 212. ISBN 978-0471296850 。 ^ ab Gill, Jose Jorge; Bernabeu, Eusebio (1987). 「非偏光解消光学系の偏光パラメータと遅延パラメータのミュラー行列の極分解からの取得」. Optik . 76 (2): 67– 71. ISSN 0030-4026. ^ Ou, ZY; Mandel, L. (1989). 「エネルギーバランスからのビームスプリッターの相互関係の導出」 Am. J. Phys . 57 (1): 66. Bibcode :1989AmJPh..57...66O. doi :10.1119/1.15873. ^ Chipman, RA; Lam, WST; Young, G. (2018). 偏光と光学システム. 光の光学科学と応用. CRC Press. ISBN 978-1-4987-0057-3 . 2023年1月20日 閲覧 。 ^ Chipman, Russell A. (1995). 「偏光レイトレーシングの力学」. Opt. Eng . 34 (6): 1636– 1645. Bibcode :1995OptEn..34.1636C. doi :10.1117/12.202061. ^ Yun, Garam; Crabtree, Karlton; Chipman, Russell A. (2011). 「3次元偏光光線追跡計算I：定義と減衰」. 応用光学 . 50 (18): 2855– 2865. Bibcode :2011ApOpt..50.2855Y. doi :10.1364/AO.50.002855. PMID 21691348. ^ Yun, Garam; McClain, Stephen C.; Chipman, Russell A. (2011). 「3次元偏光レイトレーシング計算II：リターダンス」. 応用光学 . 50 (18): 2866– 2874. Bibcode :2011ApOpt..50.2866Y. doi :10.1364/AO.50.002866. PMID 21691349. ^ Yun, Garam (2011). 偏光レイトレーシング （博士論文）. アリゾナ大学. hdl :10150/202979.
さらに読む Brosseau, Christian; Givens, Clark R.; Kostinski, Alexander B. (1993). 「ミュラー・ジョーンズ偏光行列における一般化トレース条件」. Journal of the Optical Society of America A. 10 ( 10): 2248– 2251. Bibcode :1993JOSAA..10.2248B. doi :10.1364/JOSAA.10.002248. Fymat, AL (1971). 「光学機器のジョーンズ行列表現 1: ビームスプリッター」. 応用光学 . 10 (11): 2499– 2505. Bibcode :1971ApOpt..10.2499F. doi :10.1364/AO.10.002499. PMID :20111363. Fymat, AL (1971). 「光学機器のジョーンズ行列表現 2: フーリエ干渉計（分光計および分光偏光計）」. 応用光学 . 10 (12): 2711– 2716. Bibcode :1971ApOpt..10.2711F. doi :10.1364/AO.10.002711. PMID 20111418. Fymat, AL (1972). 「フーリエ分光法における偏光効果 I: コヒーレンス行列表現」. 応用光学 . 11 (1): 160– 173. Bibcode :1972ApOpt..11..160F. doi :10.1364/AO.11.000160. PMID :20111472. ジェラルド・A.; バーチ・JM (1975). 光学における行列法入門 （第1版）. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 0-471-29685-6 。 ギル、ホセ・ホルヘ；ベルナベウ、エウゼビオ（1987）「非偏光解消光学系の偏光パラメータと遅延パラメータのミュラー行列の極分解からの取得」 Optik . 76 : 67– 71. ゴールドスタイン, D.; コレット, E. (2003). 『偏光』 （第2版）. CRC Press . ISBN 0-8247-4053-X 。 ヘクト, E. (1987). 光学 （第2版）. アディソン・ウェスレー. ISBN 0-201-11609-X 。 McGuire, James P.; Chipman, Russel A. (1994). 「偏光収差．1. 回転対称光学系」. 応用光学 . 33 (22): 5080– 5100. Bibcode :1994ApOpt..33.5080M. doi :10.1364/AO.33.005080. PMID: 20935891. S2CID : 3805982. Moreno, Ignacio; Yzuel, Maria J .; Campos, Juan; Vargas, Asticio (2004). 「偏光フーリエ光学におけるジョーンズ行列処理」. Journal of Modern Optics . 51 (14): 2031– 2038. Bibcode :2004JMOp...51.2031M. doi :10.1080/09500340408232511. hdl : 10533/175322 . S2CID 120169144. Moreno, Ivan (2004). 「像回転プリズムのためのジョーンズ行列」. 応用光学 . 43 (17): 3373– 3381. Bibcode :2004ApOpt..43.3373M. doi :10.1364/AO.43.003373. PMID 15219016. S2CID 24268298. シール、レイフ、マクナブ、イアン（2024年） 『ペドロッティス光学入門』 （第4版）イギリス：ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-1316518625 。 Pistoni, Natale C. (1995). 「光回路の追跡におけるジョーンズ計算への簡略化されたアプローチ」. 応用光学 . 34 (34): 7870– 7876. Bibcode :1995ApOpt..34.7870P. doi :10.1364/AO.34.007870. PMID : 2106888. シャークリフ、ウィリアム (1966). 「第8章 ミュラー計算とジョーンズ計算」. 偏光：生成と利用 . ハーバード大学出版局 . p. 109.
外部リンク Optipedia の E. Collett 著「Jones Calculus」 
![{\displaystyle \left\{{\rm {e}}^{i\gamma }{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\ \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,\ \ \gamma \in [0,2\pi ]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3aafdc6ee449b0317c6b50130ddc16973306fc9)
![{\displaystyle J(\alpha,\beta,\gamma)={\begin{bmatrix}c_{\alpha}^{2}c_{\beta}^{2}&c_{\alpha}c_{\beta}[c_{\alpha}s_{\beta}s_{\gamma}-s_{\alpha}c_{\gamma}]&c_{\alpha}c_{\beta}[c_{\alpha}s_{\beta}c_{\gamma}+s_{\alpha}s_{\gamma}]\\s_{\alpha}c_{\alpha}c_{\beta}^{2}&s_{\alpha}c_{\beta}[c_{\alpha}s_{\beta}s_{\gamma}-s_{\alpha}c_{\gamma}]&s_{\alpha }c_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\gamma }]\\-c_{\alpha }s_{\beta }c_{\beta }&-s_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-s_{\alpha }c_{\gamma }]&-s_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\gamma }]\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b224c24b74e9ef6b06dcb8964e0b0128ab72069b)
