ジョルダンのトーティエント関数

算術関数

数論において、ジョルダンのトーティエント関数（は正の整数）は、 （ ）以下の正の整数の組の数に等しく、とともに互いに素な整数の集合を形成する正の整数の関数です。 ${\displaystyle J_{k}(n)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k+1}$

ジョルダンのトーシェント関数はオイラーのトーシェント関数の一般化であり、 と同じです。この関数はカミーユ・ジョルダンにちなんで名付けられました。 ${\displaystyle J_{1}(n)}$

意味

それぞれの正の整数に対して、ジョルダンのトーティエント関数は乗法関数であり、次のように評価できる。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle J_{k}}$

${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)\,}$（は の素約数までの範囲） ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$

プロパティ

• ${\displaystyle \sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}.\,}$

これはディリクレ畳み込みの言語で次のように記述できる^[1]

${\displaystyle J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,}$

メビウス反転により

${\displaystyle J_{k}(n)=\mu (n)\star n^{k}}$。

のディリクレ生成関数はであり、 のディリクレ生成関数はであるので、 の級数はとなる。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 1/\zeta (s)}$ ${\displaystyle n^{k}}$ ${\displaystyle \zeta (s-k)}$ ${\displaystyle J_{k}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}}$。

• 平均順序は​ ${\displaystyle J_{k}(n)}$

${\displaystyle J_{k}(n)\sim {\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)}}}$。

• デデキントのψ関数は

${\displaystyle \psi (n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)}}}$、

また、定義を調べることにより（素数の積の各因数は の円分多項式であることを認識して）、またはで定義される算術関数も整数値の乗法関数であることが示されます。 ${\displaystyle p^{-k}}$ ${\displaystyle {\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)}}}$ ${\displaystyle {\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}$

• ${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$. ^[2]

行列群の順序

• 上の階数の一般線形行列群は階数^{[3]を持つ。} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$

${\displaystyle |\operatorname {GL} (m,\mathbf {Z} /n)|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{k}(n).}$

• 上の位数の行列の特殊線型群は位数 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$

${\displaystyle |\operatorname {SL} (m,\mathbf {Z} /n)|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^{m}J_{k}(n).}$

• 上の位数の行列のシンプレクティック群は位数 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$

${\displaystyle |\operatorname {Sp} (2m,\mathbf {Z} /n)|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}(n).}$

最初の 2 つの式はジョーダンによって発見されました。

例

• OEISの明示的なリストは、 OEISのJ ₂ : A007434 、 OEISのJ ₃ : A059376、OEISのJ ₄ : A059377、OEISのJ ₅ : A059378、OEIS_{の J 6}から J ₁₀ : A069091からOEISのJ 10 : A069095です。
• 比で定義される乗法関数は、OEIS_{の J 2} (n)/J ₁ (n) : A001615、OEIS_{の J 3} (n)/J ₁ (n) : A160889 、 OEISのJ ₄ (n)/J ₁ (n) : A160891、OEIS の J ₅ (n)/J ₁ (n) : A160893 、 OEIS のJ ₆ (n)/J ₁ (n) : A160895、OEIS_{の J 7} (n)/J ₁ (n) : A160897、OEIS_{の J 8} (n)/J ₁ (n) : A160908、OEIS の J 9 ₍ n)/J ₁ (n) : A160953、J ₁₀ (n)/J OEIS_の1 (n) : A160957 、 OEISのJ ₁₁ (n)/J ₁ (n) : A160960。
• 比 J _2k (n)/J _k (n)の例としては、 OEIS : A065958の J ₄ (n)/J ₂ (n) 、OEIS : A065959 の J ₆ (n)/J ₃ (n) 、 OEIS : A065960のJ ₈ (n)/J ₄ (n)などがあります。

注記

1. サンダー＆クリスティシ (2004) p.106
2. Holden et al（外部リンク）。式はゲーゲンバウアーのものです。
3. これらの式はすべて、#外部リンクの Andrica と Piticari からのものです。

参考文献

• LEディクソン(1971) [1919].数論の歴史 第1巻チェルシー出版147頁ISBN 0-8284-0086-5. JFM  47.0100.04。
• M. ラム・マーティ(2001).解析的数論の問題.大学院数学テキスト. 第206巻.シュプリンガー・フェアラーク. p. 11. ISBN 0-387-95143-1. Zbl  0971.11001。
• サンダー、ジョゼフ。クリスティチ、ボリスラフ (2004)。整数論ハンドブック II．ドルドレヒト: クルーワー学者。32 ～ 36ページ 。ISBN 1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001。

外部リンク

• アンドリカ、ドリン。ピティカリ、ミハイ (2004)。 「ジョルダンの算術関数のいくつかの拡張について」。Acta Universitatis Apulensis。7 : 13–22。MR 2157944 。 ​
• ホールデン、マシュー、オリソン、マイケル、ヴレイブル、「オイラーのトーティエント関数のもう一つの一般化」(PDF) 。 2016年3月5日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2011年12月21日閲覧。

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